Ver o código fonte de «Homomorfismo de grupos»

[[Image:Group homomorphism ver.2.svg|right|thumb|250px|Descrición dun homomorfismo de grupos (''h'') de ''G'' (esquerda) a ''H'' (dereita). O óvalo dentro da ''H'' é a [[Imaxe_(matemáticas)|imaxe]] de ''h''. ''N'' é o [[Kernel_(álxebra)#Group_homomorphisms|kernel]] de ''h'' e ''aN'' é un [[Coclase|coset]] de ''N''.]]

En [[matemáticas]], dados dous [[grupo (matemáticas)|grupos]], (''G'',∗) e (''H'', ·), un '''homomorfismo de grupos''' de (''G'',∗) a (''H'', ·) é unha función  ''h: ''G'' → ''H'' tal que para todos os ''u'' e ''v'' en ''G'' cumpre
:<math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v) </math>

onde a operación de grupo no lado esquerdo da ecuación é a de ''G'' e a operación do lado dereito a de ''H''.

Desta propiedade pódese deducir que ''h'' mapea o [[elemento neutro|elemento neutro]] ''e<sub>G</sub>'' de ''G'' co elemento neotro ''e<sub>H</sub>'' de ''H'',
:<math> h(e_G) = e_H</math>

e tamén mapea inversos a inversos no sentido de que
:<math> h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,</math>

Por iso pódese dicir que a ''h'' "é compatíbel  coa estrutura do grupo".

Nas áreas das matemáticas onde se consideran grupos dotados de estrutura adicional, un ''homomorfismo'' ás veces significa un mapa que respecta non só a estrutura do grupo (como anteriormente) senón tamén a estrutura extra. Por exemplo, un homomorfismo de [[grupo topolóxico|grupos topolóxicos]] adoita ser necesario que sexa continuo.


== Tipos ==
;[[Monomorfismo]]{{anchor|monomorfismo}}: homomorfismo de grupos que é unha [[función inxectiva]] (ou, un a un).
;[[Epimorfismo]]: un homomorfismo de grupos que é [[función sobrexectiva|sobrexectivo]] (ou, onto); é dicir, chega a todos os puntos do codominio.
;[[isomorfismo de grupos|Isomorfismo]]: homomorfismo de grupos que é [[Función bixectiva|bixectivo]]; é dicir, inxectivo e sobrexectivo. O seu inverso tamén é un homomorfismo de grupos. Neste caso, os grupos ''G'' e ''H'' chámanse ''isomorfos''; difiren só na notación dos seus elementos (agás o elemento de identidade) e son idénticos para todos os efectos prácticos. i.e. reetiquetamos todos os elementos agás a identidade.
;[[Endomorfismo]]: un homomorfismo de grupos, ''h'': ''G'' → ''G''; o dominio e o codominio son iguais. Tamén se chama endomorfismo de ''G''.
;[[Automorfismo]]: un endomorfismo de grupos que é bixectivo, e polo tanto un isomorfismo. O conxunto de todos os [[automorfismo|automorfismos]] dun grupo ''G'', coa composición de funcións como operación, forma por si mesmo un grupo, o ''grupo de automorfismos'' de ''G'' desígnase por Aut(''G''). Como exemplo, o grupo de automorfismos de ('''Z''', +) contén só dous elementos, a transformación da identidade e a multiplicación por −1; é isomorfo a ('''Z'''/2'''Z''', +).

== Imaxe e kernel ==
{{artigo principal|Imaxe (matemáticas)|kernel (álxebra)}}
Definimos que o ''[[kernel (álxebra)|kernel]] de h'' é o conxunto de elementos en ''G'' que están mapeados coa identidade en ''H''
: <math> \operatorname{ker}(h) := \left\{u \in G\colon h(u) = e_{H}\right\}.</math>

e a ''[[Imaxe (matemáticas)|imaxe]] de h'' é
: <math> \operatorname{im}(h) := h(G) \equiv \left\{h(u)\colon u \in G\right\}.</math>

O kernel e a imaxe dun homomorfismo poden interpretarse como unha medida do preto que está de ser un isomorfismo. O [[teoremas do isomorfismo|primeiro teorema do isomorfismo]] afirma que a imaxe dun homomorfismo de grupo, ''h''(''G'') é isomorfa ao grupo cociente ''G''/ker ''h''.

O kernel de h é un [[subgrupo normal]] de ''G''. Supoñemos que <math>u \in \operatorname{ker}(h)</math> e mostramos que <math>g^{-1} \circ u \circ g \in \operatorname{ker}(h)</math> para  <math>u, g</math> arbitrarios:
: <math>\begin{align}
  h\left(g^{-1} \circ u \circ g\right) &= h(g)^{-1} \cdot h(u) \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot e_H  \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot h(g) = e_H,
\end{align}</math>

A imaxe de h é un [[subgrupo]] de ''H''.

O homomorfismo, ''h'', é un [[#monomorfismo|''monomorfismo de grupos'']]; é dicir, ''h'' é inxectiva (un-a-un) se e só se {{nowrap|ker(''h'') {{=}} {''e''<sub>''G''</sub>}}}. A inxección dá directamente que hai un elemento único no núcleo e, pola contra, un elemento único no núcleo dá a inxección:
:<math>\begin{align}
                  &&                           h(g_1) &= h(g_2) \\
  \Leftrightarrow &&         h(g_1) \cdot h(g_2)^{-1} &= e_H \\
  \Leftrightarrow && h\left(g_1 \circ g_2^{-1}\right) &= e_H,\  \operatorname{ker}(h) = \{e_G\} \\
  \Rightarrow     &&               g_1 \circ g_2^{-1} &= e_G \\
  \Leftrightarrow &&                              g_1 &= g_2 
\end{align}</math>

== Exemplos ==
* Considere o [[grupo cíclico]] Z{{sub|3}} = ('''Z'''/3'''Z''', +) = ({0, 1, 2}, +) e o grupo de enteiros ('''Z''', +). O mapa ''h'' : '''Z''' → '''Z'''/3'''Z''' con ''h''(''u'') = ''u'' [[aritmética modular|mod]] 3 é un homomorfismo de grupos. É [[sobrexectiva|sobrexectivo]] e o seu núcleo está formado por todos os números enteiros que son divisíbeis  por 3.
{{bulleted list|
O conxunto
:<math>G \equiv \left\{\begin{pmatrix}
    a & b \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} \bigg| a > 0, b \in \mathbf{R}\right\}
</math>
forma un grupo baixo a multiplicación matricial. Para calquera número complexo ''u'' a función ''f<sub>u</sub>'' : ''G'' → '''C<sup>*</sup>''' definida por
:<math>\begin{pmatrix}
    a & b \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} \mapsto a^u
</math>
é un homomorfismo de grupos.
|
Considere un grupo multiplicativo de [[número real|números reais positivos]] ('''R'''<sup>+</sup>, ⋅) e tamén calquera número complexo ''u''. A continuación, a función ''f<sub>u</sub>'' : '''R'''<sup>+</sup> → '''C''' definida por
:<math>f_u(a) = a^u</math>
é un homomorfismo de grupos.
}}
* O [[función exponencial|mapa exponencial]] produce un homomorfismo de grupos a partir do grupo de [[número real|números reais]] '''R''' con adición no grupo de números reais distintos de cero '''R'''* con multiplicación. O kernel é {0} e a imaxe está formada polos números reais positivos.
* O mapa exponencial tamén produce un homomorfismo de grupos do grupo de [[números complexos]] '''C''' con adición no grupo de números complexos distintos de cero '''C'''* con multiplicación. Este mapa é sobrexectivo e ten o kernel {2π''ki'' : ''k'' ∈ '''Z'''}, como se pode ver na [[fórmula de Euler]]. Corpos como '''R''' e '''C''' que teñen homomorfismos do seu grupo aditivo ao seu grupo multiplicativo reciben o nome de ''corpos exponenciais''.
* A función <math>\Phi: (\mathbb{N}, +) \rightarrow (\mathbb{R}, +)</math>, definida por <math>\Phi(x) = \sqrt[]{2}x</math> é un homomorfismo.
* Considere os dous grupos <math>(\mathbb{R}^+, *)</math> e <math>(\mathbb{R}, +)</math>, representados respectivamente por <math>G</math> e <math>H</math>, onde <math>\mathbb{R}^+</math> son os números reais positivos. Entón, a función <math>f: G \rightarrow H </math> definida pola [[Logaritmo|función logaritmo]] é un homomorfismo.
== Categoría de grupos ==
Se {{nowrap|''h'' : ''G'' → ''H''}} e {{nowrap|''k'' : ''H'' → ''K''}} son homomorfismos de grupos, entón tamén o é {{nowrap|''k'' ∘ ''h'' : ''G'' → ''K''}}. Isto mostra que a clase de todos os grupos, xunto cos homomorfismos de grupos como morfismos, forman unha [[teoría de categorías|categoría]] (especificamente a [[categoría de grupos]]).

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
== Véxase tamén ==
===Bibliografía===
*{{cite book
| last1 = Dummit
| first1 = D. S.
| last2 = Foote
| first2 = R.
| title = Abstract Algebra
| publisher = Wiley
| pages = 71–72
| year = 2004
| edition = 3rd
| isbn = 978-0-471-43334-7
}}
* {{Lang Algebra|edition=3r}}

==Outros artigos==
*[[Homomorfismo]]
*[[Teorema fundamental dos homomorfismos]]
*[[Cuasimorfismo]]
*[[Homomorfismo do anel]]

==Ligazóns externas==
*{{MathWorld|title=Group Homomorphism|urlname=GroupHomomorphism|author=Rowland, Todd|author2=Weisstein, Eric W.}}
{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]