Ver o código fonte de «Grupo (matemáticas)»

[[Ficheiro:Rubik's cube.svg|miniatura|225px|As posibles manipulacións do [[cubo de Rubik]] forman un grupo.]]
En [[álxebra abstracta]], un '''grupo''' é unha [[estrutura alxébrica]] que consta dun [[conxunto]] cunha [[Operación (matemáticas)|operación]] que combina calquera par dos seus elementos para formar un terceiro elemento. Para que se poida cualificar como un grupo o conxunto e a operación deben satisfacer os [[axioma]]s de grupo: ter a [[Asociatividade (álxebra)|propiedade asociativa]], [[elemento neutro]] e [[elemento inverso]].

A [[teoría de grupos]] estuda os grupos en si.

== Historia ==
O concepto de grupo xurdiu do estudo das [[polinomio|ecuacións polinómicas]] comezado por [[Évariste Galois]] durante a década de 1830. Despois de contribucións desde outros campos como a [[teoría dos números]] e a [[xeometría]], a noción xeneralizouse e estableceuse fortemente en torno a 1870.

A definición formal de grupo  (G, *) foi formulada por [[Ferdinand Georg Frobenius]] en 1887, advertindo que os teoremas que demostraba dependían unicamente dos axiomas propostos e non tiña que acudir ao grupo das permutacións que empregaban os seus antecesores [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], [[Camille Jordan|Jordan]] e [[Peter Ludwig Mejdell Sylow|Sylow]].<ref>''Introducción a la Teoría de Grupos'' ( 2009) Zaldívar, Felipe ISBN 978-968-36-3591-4 e outros; páx. 17</ref>

Unha teoría especialmente rica foi desenvolvida para grupos finitos, culminada co [[Clasificación dos grupos simples finitos|teorema de clasificación de grupos simples]], completado en 1983. Así mesmo, desde mediados da década de 1980 a [[teoría de grupos xeométricos]], que estuda os grupos de xeración finita como obxectos xeométricos, converteuse nunha área particularmente activa na teoría dos grupos.

== Definición ==
Un grupo é un [[conxunto]], ''G'', cunha [[operación binaria]] «•» que compón dous elementos calquera ''a'' e ''b'' de ''G'' para formar outro elemento denotado como ''a • b'' o ''ab''. Para poder cualificar como un grupo a (''G, •''), deben satisfacer catro propiedades:<ref>{{Cita Harvard |Herstein|1975| p=§2, p. 27}}</ref>

'''Operación interna'''
:Para todo ''a'', ''b'' de ''G'', o resultado da operación ''a • b'' tamén pertence a ''G''.
:<math>\forall a, b \in G \quad : \quad a \cdot b \in G</math>

'''Asociatividade'''
:Para todos os ''a'', ''b'' e ''c'' de ''G'', cúmprese que ''(a • b) • c = a • (b • c)''.

'''Elemento neutro'''
:Existe un elemento ''e'' de ''G'', tal que para todos os elementos ''a'' de ''G'' se cumpre que ''e • a = a • e = a''. O elemento neutro dun grupo ''G'' escríbese en ocasións como 1 ou 1<sub>G</sub>,<ref>Weisstein, Eric W. "[http://mathworld.wolfram.com/IdentityElement.html Identity Element]"; extraído de MathWorld.</ref> notación herdada da identidade multiplicativa.
:<math>\exist e \,\,\forall a \in G \quad : \quad a \cdot e = e \cdot a = a</math>

'''Elemento inverso'''
:Para todo ''a'' de ''G'', existe un elemento ''b'' de ''G'' tal que ''a • b = b • a = e''.
:<math> \forall a \in G \,\, \exist a^{-1} \, : \, {a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a} = e</math>

A orde na que se realiza a operación do grupo pode ser significativa, é dicir, o resultado de operar o elemento ''a'' co elemento ''b'' non é necesariamente igual que o resultado de ''b'' con ''a''; a expresión 
:::''a • b = b • a'' 
pode non ser certa. Os grupos nos que si se cumpre chámanse [[grupo abeliano|grupos abelianos]], en honor a [[Niels Henrik Abel]].

== Notación e terminoloxía ==
Formalmente, un grupo é un [[par ordenado]] dun conxunto e unha operación binaria neste conxunto que satisfai os axiomas do grupo. O conxunto chámase ''conxunto subxacente'' do grupo, e a operación chámase ''operación de grupo'' ou ''lei de grupo''.

Un grupo e o seu conxunto subxacente son, polo tanto, dous obxectos matemáticos diferentes. Para evitar a notación engorrosa, é común abusar da notación ao usar o mesmo símbolo para indicar ambos os dous. Isto reflicte tamén unha forma informal de pensar: que o grupo é o mesmo que o conxunto, salvo que se enriqueceu coa estrutura adicional proporcionada pola operación.

Por exemplo, considere o conxunto dos [[número real|números reais]] {{tmath|1= \R }}, que ten as operacións de suma <math>a+b</math> e [[multiplicación]] {{tmath |1= ab }}. Formalmente, <math>\R</math> é un conxunto, <math>(\R,+)</math> é un grupo e <math>(\R,+,\cdot)</math> é un [[corpo (matemáticas)|corpo]]. Mais é común escribir <math>\R</math> para indicar calquera destes tres obxectos.

O ''grupo aditivo'' do corpo <math>\R</math> é o grupo cuxo conxunto subxacente é <math>\R</math> e cuxa operación é a suma. O ''grupo multiplicativo'' do corpo <math>\R</math> é o grupo <math>\R^{\times}</math> cuxo conxunto subxacente é o conxunto de números reais distintos de cero <math>\ R \smallsetminus \{0\}</math> e cuxa operación é a multiplicación.

De forma máis xeral, fálase dun ''grupo aditivo'' sempre que a operación do grupo se denota como adición; neste caso, a identidade denotase normalmente {{tmath|1= 0 }}, e a inversa dun elemento <math>x</math> denotase {{tmath|1= -x }}. Do mesmo xeito, fálase dun ''grupo multiplicativo'' sempre que a operación do grupo se denota como multiplicación; neste caso, a identidade adoita denotarse {{tmath|1= 1 }}, e a inversa dun elemento <math>x</math> denotase {{tmath|1= x^{-1} }}. Nun grupo multiplicativo, o símbolo da operación adoita omitirse por completo, de xeito que a operación se denota mediante xustaposición, <math>ab</math> en lugar de {{tmath|1= a\cdot b }}.

== Exemplos ==
* O conxunto dos [[número enteiro|números enteiros]] Z coa suma teñen estrutura de grupo abeliano, xa que: 
# Para calquera par de enteiros ''a'' e ''b'', a suma ''a + b'' tamén é enteiro. 
# Para todos os enteiros ''a'', ''b'' e ''c'', ''(a + b) + c = a + (b + c)''. 
# Para calquera enteiro ''a'', ''0 + a = a + 0 = a''. 
# Para cada enteiro ''a'', existe un enteiro ''b'' tal que ''a + b = b + a = 0''. O enteiro ''b'' denomínase [[elemento inverso]] de ''a'' e denótase como ''-a''.

* As [[simetría]]s (rotacións e reflexións) dun cadrado forma un grupo chamado [[Grupo diédrico|diédrico]], que se expresa como D<sub>4</sub>.
* O produto define unha estrutura de grupo conmutativo nos [[número racional|números racionais]] non nulos Q*.
* As [[matriz (matemáticas)|matrices]] cadradas de n columnas con elementos reais e determinante distinto de cero forman un grupo co produto de matrices.
* O grupo de movementos no espazo ou [[grupo de isometría]] do [[espazo euclidiano]].
* O [[grupo de Galileo]] está formado polas transformacións do espazo e o tempo que conservan os sistemas de referencia inercais.

=== Grupos cíclicos ===
{{Principal|Grupo cíclico}}
[[Image:Cyclic group.svg|right|thumb|upright|As raíces sextas complexas da unidade forman un grupo cíclico. <math>z</math> é un elemento xerador, mais <math>z^2</math> non o é, porque as potencias impares de <math>z</math> non son unha potencia de {{tmath|1 = z^2 }}.|alt=Un hexágono cuxas esquinas están situadas regularmente nunha circunferencia]]
Un ''grupo cíclico'' é un grupo cuxos elementos son [[potencia (matemáticas)|potencias]] dun elemento particular <math>a</math>.{{sfn|Lang|2005|loc=§II .1|p=22}} En notación multiplicativa, os elementos do grupo son
<math display=block>\dots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a, a^2, a^3, \dots,</math >
onde <math>a^2</math> significa {{tmath|1= a\cdot a }}, <math>a^{-3}</math> significa {{tmath|1= a^{- 1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1} }}, etc.{{efn|A notación aditiva para os elementos dun ciclo cíclico grupo sería <!--use {{math}}, xa que <math> nas notas ao pé de páxina non é lexible en dispositivos móbiles-->{{math|''t'' ⋅ ''a''}}, onde {{math} |''t''}} está en {{math|'''Z'''}}.}} Tal elemento <math>a</math> chámase '''xerador''' ou elemento primitivo do grupo. En notación aditiva, o requisito para que un elemento sexa xerador é que cada elemento do grupo se poida escribir como
<math display=block>\dots, (-a)+(-a), -a, 0, a, a+a, \dots.</math>

Nos [[aritmética modular|grupos modulares]] <math>(\Z/n\Z,+)</math>, o elemento <math>1</math> é xerador, polo que estes grupos son cíclicos. De feito, todo elemento é expresábel como unha suma con todos os seus termos {{tmath|1= 1}}. Calquera grupo cíclico con <math>n</math> elementos é isomorfo a este grupo. Un segundo exemplo de grupos cíclicos é o grupo das {{tmath|1= n}}-ésimas [[raíz da unidade|raíces complexas da unidade]], dado porlos [[número complexo|números complexos]] <math>z</math> satisfacendo {{tmath|1= z^n=1 }}. Estes números pódense visualizar como os [[vértice (teoría de grafos)|vértices]] dun <math>n</math>-gon regular, como se mostra en azul na imaxe para {{tmath|1= n=6 }}. A operación de grupo é a multiplicación de números complexos. Na imaxe, multiplicar con <math>z</math> correspóndese cunha rotación [[sentido horario|no sentido horario]] de 60°.{{sfn|Lang|2005|loc=§II.2|p=26}} Da [[teoría de corpos]] sábese que o grupo <math>\mathbb F_p^\times</math> é cíclico para <math>p</math> primo: por exemplo, se {{tmath |1= p=5 }}, <math>3</math> é un xerador xa que {{tmath|1= 3^1=3 }}, {{tmath|1= 3^2=9\equiv 4 }}, {{tmath|1= 3^3\equiv 2 }} e {{tmath|1= 3^4\equiv 1 }}.

Algúns grupos cíclicos teñen un número infinito de elementos. Nestes grupos, para cada elemento {{tmath|1= a }} distinto de cero, todas as potencias de <math>a</math> son distintas; a pesar do nome de "grupo cíclico", as potencias dos elementos non resultan nun ciclo. Un grupo cíclico infinito é isomorfo a {{tmath|1= (\Z, +) }}, o grupo de números enteiros baixo a suma introducido anteriormente.{{sfn|Lang|2005|p=22|loc=§II.1 ( exemplo 11)}} Como estes dous modelos son ambos os dous abelianos, tamén o son todos os grupos cíclicos.

O estudo dos grupos abelianos finitamente xerados está bastante estudado, incluíndo o [[grupo abeliano finitamente xerado|teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados]]; e reflectindo este estado de cousas, moitas nocións relacionadas co grupo, como [[Centro (teoría de grupos)|centro]] e [[conmutador]], describen ata que punto un determinado grupo non é abeliano.{{sfn|Lang |2002|loc=§I.5|pp=26, 29}}

=== Aritmética modular ===
{{Principal|Aritmética modular}}

[[Ficheiro:Clock group.svg|thumb|dereita|As horas dun reloxo forman un grupo que usa un [[Aritmética modular|módulo]] con suma 12. Aquí, {{nowrap|9 + 4 ≡ 1}}.|alt=O punteiro do reloxo apunta ás 9 en punto; 4 horas despois é a 1 en punto.]]
A aritmética modular ''módulo'' <math>n</math> define dous elementos calquera <math>a</math> e <math>b</math> que difiren nun múltiplo de <math>n</math> para seren equivalentes, denotado como {{tmath|1= a \equiv b\pmod{n} }}. Todo número enteiro é equivalente a un dos enteiros que van de <math>0</math> a {{tmath|1= n-1 }}, e as operacións da aritmética modular modifican a aritmética normal substituíndo o resultado de calquera operación polo seu representante equivalente. A suma modular, definida deste xeito para os enteiros de <math>0</math> a {{tmath|1= n-1 }}, forma un grupo, denotado como <math>\mathrm{Z}_n</math > ou {{tmath|1= (\Z/n\Z,+) }}, con <math>0</math> como elemento identidade e <math>n-a</math> como elemento inverso de {{ tmath|1= a }}.

Un exemplo familiar é a suma de horas dun [[reloxo de 12 horas|reloxo]], onde se escolle 12 en lugar de 0 como representante da identidade. Se a agulla das horas está en <math>9</math> e avanza <math>4</math> horas, rematará en {{tmath|1= 1 }}, como se mostra na ilustración. Isto exprésase dicindo que <math>9+4</math> é congruente con <math>1</math> "módulo {{tmath|1= 12 }}" ou, en símbolos,
<math display=block>9+4\equiv 1 \pmod{12}.</math>

Para calquera número primo {{tmath|1= p }}, tamén existe o grupo multiplicativo de enteiros módulo {{tmath|1= p}}.{{sfn|Lang| 2005|loc=Capítulo VII}} Os seus elementos pódense representar de <math>1</math> a {{tmath|1= p-1 }}. A operación de grupo, multiplicación módulo {{tmath|1= p }}, substitúe o produto habitual polo seu representante, o [[resto]] da división por {{tmath|1=p }}. Por exemplo, para {{tmath|1= p=5 }}, os catro elementos do grupo pódense representar por {{tmath|1= 1,2,3,4 }}. Neste grupo, {{tmath|1= 4\cdot 4\equiv 1\bmod 5 }}, porque o produto habitual <math>16</math> é equivalente a {{tmath|1= 1 }}: cando se divide por <math>5</math> dá un resto de {{tmath|1= 1 }}. A primalidade de <math>p</math> garante que o produto habitual de dous representantes non sexa divisíbel por {{tmath|1= p}} e, polo tanto, que o produto modular sexa distinto de cero. O elemento identidade está representado por {{tmath|1= 1}}, e a asociatividade dedúcese da propiedade correspondente dos números enteiros. Finalmente, o axioma do elemento inverso require que dado un enteiro <math>a</math> non divisíbele {{tmath|1= p }}, exista un enteiro <math>b</math> tal que
<math display=block>a\cdot b\equiv 1\pmod{p}.</math>
No caso <math>p=5</math> anterior, a inversa do elemento representado por <math>4</math> é el mesmo, e a inversa do elemento representado por <math>3</math> represéntase por {{tmath|1 = 2 }}, pois {{tmath|1= 3\cdot 2=6\equiv 1\bmod{5} }}. Polo tanto, cúmprense todos os axiomas de grupo.  Estes grupos, denotados {{tmath|1= \mathbb F_p^\times }}, son fundamentais para a [[criptografía de clave pública]].{{efn|Por exemplo, o protocolo [[Diffie–Hellman]] usa o [[logaritmo discreto]]. Ver {{harvnb|Gollmann|2011|loc=§15.3.2}}.}}

=== Grupo linear xeral  ===
{{Principal|Grupo linear xeral}}

Os [[grupo linear|grupos de matrices]] consisten en [[Matriz (matemáticas)|matrices]] xunto coa [[multiplicación de matrices]]. O ''grupo linear xeral'' <math>\mathrm {GL}(n, \R)</math> consta de todas as [[matriz invertíbel|matrices invertíbeis]] <math>n \times n</math> con coeficientes reais.{{sfn|Lay|2003}} Os seus subgrupos denomínanse ''grupos de matrices'' ou ''[[grupo linear|grupos lineares]]''. O exemplo de grupo diédrico mencionado anteriormente pódese ver como un grupo matricial (moi pequeno). Outro grupo matricial importante é o [[grupo ortogonal|grupo ortogonal especial]] {{tmath|1= \mathrm{SO}(n) }}. Describe todas as rotacións posíbeis en <math>n</math> dimensións. As [[Matriz de rotación|matrices de rotación]] deste grupo utilízanse extensamente nos [[gráficos por ordenador]].{{sfn|Kuipers|1999}}

=== Grupos de Galois ===
{{Principal|Grupo de Galois}}
Os ''Grupos de Galois'' foron desenvolvidos para axudar a resolver ecuacións polinómicas capturando as súas características de simetría.{{sfn|Robinson|1996|p=viii}}{{sfn|Artin|1998}} Por exemplo, as solucións da [[ecuación cadrática]] <math>ax^2+bx+c=0</math> están dadas por
<math display=block alt="x = (b negativo máis ou menos a raíz cadrada de (b cadrado menos 4 a c)) sobre 2a">x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a}.</math>
Coñécense fórmulas análogas para a [[ecuación cúbica|cubica]] e a [[ecuación cuártica]], mais "non" existen en xeral para as de [[ecuación quíntica|grao 5]] e superior.{{sfn|Lang |2002|loc=Capítulo VI (ver en particular a p. 273 para exemplos concretos)}} Na [[ecuación cadrática|fórmula cadrática]], o cambio de signo (permutando as dúas solucións resultantes) pódese ver como unha operación de grupo (moi sinxela). Os grupos de Galois análogos actúan sobre as solucións de ecuacións polinómicas de grao superior e están intimamente relacionados coa existencia de fórmulas para a súa solución. As propiedades abstractas destes grupos (en particular a súa [[grupo solucionábel|solubilidade]]) dan un criterio para a capacidade de expresar as solucións destes polinomios usando unicamente a suma, a multiplicación e raíces.{{sfn|Lang|2002|p=292|loc=(Teorema VI.7.2)}}

A [[teoría de Galois]] moderna xeneraliza o tipo anterior de grupos de Galois mudando á teoría de corpos e considerando as [[extensións de corpo]] formadas como o [[corpo de descomposición]] dun polinomio. Esta teoría estabelece (a través do [[teorema fundamental da teoría de Galois]]) unha relación precisa entre corpos e grupos, subliñando unha vez máis a ubicuidade dos grupos en matemáticas.{{sfn|Stewart|2015|loc=§12.1}}

== Conceptos básicos ==
As seguintes seccións usan símbolos matemáticos como <math>X=\{x,y,z\}</math> para indicar un [[conxunto]] <math>X</math> que contén [[elemento (matemáticas)|elementos]] {{tmath|1= x}}, {{tmath|1= y}} e {{tmath|1= z}} ou <math>x\in X</math> para indicar que <math>x</math> é un elemento de {{tmath|1= X}}. A notación <math>f:X \to Y</math> significa que <math>f</math> é unha [[función (matemáticas)|función]] que asocia a cada elemento de <math>X</math> un elemento de {{tmath|1= Y}}.

Cando se estudan conxuntos, utilízanse conceptos como [[subconxunto]], función e [[conxunto cociente]] por unha [[relación de equivalencia]]. Cando se estudan grupos, utilízanse no seu lugar [[subgrupo|subgrupos]], [[homomorfismo de grupos|homomorfismos]] e [[grupo cociente|grupos cociente]]. Estes son os análogos que teñen en conta a estrutura do grupo.{{efn|Consulte, por exemplo, {{harvnb|Lang|2002}}, {{harvnb|Lang|2005}}, {{harvnb|Herstein|1996}} e {{harvnb|Herstein|1975}}.}}

=== Homomorfismos de grupo ===
{{Principal|Homomorfismo de grupos}}
Os homomorfismos de grupos{{efn|A palabra homomorfismo deriva do [[grego antigo|grego]] ὁμός—a mesma estrutura e [[wikt:μορφή|μορφή]]—. Ver {{harvnb|Schwartzman|1994|p=108}}.}} son funcións que respectan a estrutura do grupo; poden utilizarse para relacionar dous grupos. Un ''homomorfismo'' dun grupo <math>(G,\cdot)</math> cara a un grupo <math>(H,*)</math> é unha función <math>\varphi : G\to H </math> tal que
:<math>\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)*\varphi(b)</math> para todos os elementos <math>a</math> e <math>b</math> en {{tmath|1= G }}.
Sería natural esixir tamén que <math>\varphi</math> respectase as identidades, {{tmath|1= \varphi(1_G)=1_H}}, e as inversas, <math>\varphi(a^{-1 })=\varphi(a)^{-1}</math> para todas as <math>a</math> en {{tmath|1= G}}. No entanto, estes requisitos adicionais non precisan incluírse na definición de homomorfismos, porque xa están implicados pola esixencia de respectar a operación de grupo.{{sfn|Lang|2005|loc=§II.3|p=34}}

O ''homomorfismo identidade'' dun grupo <math>G</math> é o homomorfismo <math>\iota_G : G\to G</math> que asigna cada elemento de <math>G</math> a si mesmo. Un ''homomorfismo inverso'' dun homomorfismo <math>\varphi : G\to H</math> é un homomorfismo <math>\psi : H\to G</math> tal que <math>\psi \circ \varphi=\iota_G</math> e {{tmath|1= \varphi\circ\psi=\iota_H }}, é dicir, tal que <math>\psi\bigl(\varphi(g)\bigr)= g</math> para todas as <math>g</math> en <math>G</math> e tal que <math>\varphi\bigl(\psi(h)\bigr)=h</math> para todas as <math>h</math> en {{tmath|1= H }}. Un ''[[isomorfismo]]'' é un homomorfismo que ten un homomorfismo inverso; equivalentemente, é un homomorfismo [[bixectiva|bixectivo]]. Os grupos <math>G</math> e <math>H</math> chámanse ''isomorfos'' se existe un isomorfismo {{tmath|1= \varphi : G\to H}}. Neste caso, <math>H</math> pódese obter de <math>G</math> simplemente renomeando os seus elementos segundo a función {{tmath|1= \varphi}}; entón calquera afirmación verdadeira para <math>G</math> tamén é verdadeira para {{tmath|1= H}}.

A colección de todos os grupos, xunto cos homomorfismos entre eles, forman unha [[categoría (matemáticas)|categoría]], a [[categoría de grupos]].{{sfn|Mac Lane|1998}}

Un homomorfismo [[inxectiva|inxectiva]] <math>\phi : G' \to G</math> factoriza canonicamente como un isomorfismo seguido dunha inclusión, <math>G' \;\stackrel{\sim}{\to}\ ; H \hookrightarrow G</math> para algún subgrupo {{tmath|1= H }} de {{tmath|1= G }}.
Os homomorfismos inxectivos son os [[monomorfismo|monomorfismos]] da categoría de grupos.

=== Subgrupos ===
{{Principal|Subgrupo}}
Informalmente, un ''subgrupo'' é un grupo <math>H</math> contido dentro dun máis grande, {{tmath|1= G}}: ten un subconxunto dos elementos de {{tmath|1= G}}, coa mesma operación.{{sfn|Lang|2005|loc=§II.1|p=19}} Concretamente, isto significa que o elemento identidade de <math>G</math> debe estar contido en {{tmath|1= H }}, e sempre que <math>h_1</math> e <math>h_2</math> estean ambos os dous en {{tmath|1= H}}, entón tamén o son <math>h_1\cdot h_2</math> e {{tmath|1= h_1^{-1} }}, polo que os elementos de {{tmath|1= H }}, equipados coa operación de grupo en <math>G</math> restrinxidos a {{tmath|1= H}}, de feito forman un grupo. Neste caso, o mapa de inclusión <math>H \to G</math> é un homomorfismo.

=== Coclases ===
{{Principal|Coclase}}
En moitas situacións é desexábel considerar dous elementos do grupo iguais se se diferencian por un elemento dun subgrupo dado. Por exemplo, no grupo de simetría dun cadrado, unha vez que se realiza calquera reflexión, as rotacións por si soas non poden devolver o cadrado á súa posición orixinal, polo que se pode pensar que as posicións reflectidas do cadrado son todas equivalentes entre si e como non nequivalentes das posicións non reflexivas; as operacións de rotación son irrelevantes para a cuestión de se se realizou unha reflexión. As coclases utilízanse para formalizar esta visión: un subgrupo <math>H</math> determina as coclases pola esquerda e pola dereita, que se poden considerar como as translacións de <math>H</math> por un elemento arbitrario do grupo {{tmath|1 = g}}. En termos simbólicos, as coclases ''esquerda'' e ''dereita'' de {{tmath|1= H}}, que conteñen un elemento {{tmath|1=g}}, son

:<math>gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}</math> e {{tmath|1= Hg=\{h\cdot g\mid h \in H\} }}, respectivamente.{{sfn|Lang|2005|loc=§II.4|p=41}}

As coclases pola esquerda de calquera subgrupo <math>H</math> forman unha [[Partición dun conxunto|partición]] de {{tmath|1= G}}; é dicir, a [[Unión (conxuntos)|unión]] de todas as coclases pola esquerda é igual a <math>G</math> e dúas coclases pola esquerda ou son iguais ou teñen unha [[Intersección (conxuntos)|intersección]] [[conxunto baleiro|baleira]].{{sfn|Lang|2002|loc=§I.2|p=12}} O primeiro caso <math>g_1H=g_2H</math> ocorre [[se e só se |precisamente cando]] {{tmath|1= g_1^{-1}\cdot g_2\in H }}, é dicir, cando os dous elementos difiren por un elemento de {{tmath|1= H}}. Consideracións similares aplícanse ás clases pola dereita de {{tmath|1= H}}. Os grupos pola esquerda de <math>H</math> poden ser ou non os mesmos que os de pola dereita. Se o son (é dicir, se todos os <math>g</math> en <math>G</math> satisfán {{tmath|1= gH=Hg}}), entón dise que <math>H</math> é un ''[[subgrupo normal]]''.

En {{tmath|1= \mathrm{D}_4}}, o grupo de simetrías dun cadrado, co seu subgrupo <math>R</math> de rotacións, as coclases pola esquerda <math>gR</math> son igual a {{tmath|1= R}}, se <math>g</math> é un elemento da propia <math>R</math>, ou igual a <math>U=f_{\mathrm{c}}R=\{f_{\mathrm{c}},f_{\mathrm{d}},f_{\mathrm{v}},f_{\mathrm{h}}\}</math> (resaltado en verde na táboa de Cayley de {{tmath|1= \mathrm{D}_4 }}). O subgrupo <math>R</math> é normal, porque <math>f_{\mathrm{c}}R=U=Rf_{\mathrm{c}}</math> e de xeito similar para os demais elementos do grupo. (De feito, no caso de {{tmath|1= \mathrm{D}_4 }}, as coclases xeradas polas reflexións son todas iguais: {{tmath|1= f_{\mathrm{h} }R=f_{ \mathrm{v} }R=f_{\mathrm{d} }R=f_{\mathrm{c} }R }}.)

{| class="wikitable" style="float:center; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[Táboa de Cayley]] de <math>\mathrm{D}_4</math>
|-
!  style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| <math>\circ</math>
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| <math>\mathrm{id}</math>
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| <math>r_1</math>
!  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| <math>r_2</math>
!  style="background:#fdd; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px; width:11%;"| <math>r_3</math>
! style="width:11%;"| <math>f_{\mathrm{v}}</math> !! style="width:11%;"| <math>f_{\mathrm{h}}</math> !! style="width:11%;"| <math>f_{\mathrm{d}}</math> !! style="width:11%;"| <math>f_{\mathrm{c}}</math>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | <math>\mathrm{id}</math>
|style="background:#FDD;"| <math>\mathrm{id}</math>
|style="background:#FDD;"| <math>r_1</math>
|style="background:#FDD;" | <math>r_2</math>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| <math>r_3</math> || <math>f_{\mathrm{v}}</math> || <math>f_{\mathrm{h}}</math> || <math>f_{\mathrm{d}}</math>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-top:solid black 2px;"| <math>f_{\mathrm{c}}</math>
|-
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | <math>r_1</math>
|style="background:#FDD;"| <math>r_1</math>
|style="background:#FDD;"| <math>r_2</math>
|style="background:#FDD;"| <math>r_3</math>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| <math>\mathrm{id}</math> || <math>f_{\mathrm{c}}</math> || <math>f_{\mathrm{d}}</math> || <math>f_{\mathrm{v}}</math>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| <math>f_{\mathrm{h}}</math>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | <math>r_2</math>
|style="background:#FDD;"| <math>r_2</math>
|style="background:#FDD;"| <math>r_3</math>
|style="background:#FDD;"| <math>\mathrm{id}</math>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| <math>r_1</math> || <math>f_{\mathrm{h}}</math> || <math>f_{\mathrm{v}}</math> || <math>f_{\mathrm{c}}</math>
|style="background:#FFFC93; border-right: solid black 2px; border-left: solid black 2px;"| <math>f_{\mathrm{d}}</math>
|- style="height:10%"
!style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | <math>r_3</math>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| <math>r_3</math>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| <math>\mathrm{id}</math>
|style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px;"| <math>r_1</math>
|style="background:#FDD; border-right:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"| <math>r_2</math> ||  <math>f_{\mathrm{d}}</math> ||  <math>f_{\mathrm{c}}</math> ||  <math>f_{\mathrm{h}}</math>
|style="background:#FFFC93; border-right:solid black 2px; border-left:solid black 2px; border-bottom:solid black 2px;"|  <math>f_{\mathrm{v}}</math>
|- style="height:10%"
! <math>f_{\mathrm{v}}</math>
| <math>f_{\mathrm{v}}</math> || <math>f_{\mathrm{d}}</math> || <math>f_{\mathrm{h}}</math> || <math>f_{\mathrm{c}}</math> || <math>\mathrm{id}</math> || <math>r_2</math> || <math>r_1</math> || <math>r_3</math>
|- style="height:10%"
! <math>f_{\mathrm{h}}</math>
| <math>f_{\mathrm{h}}</math> || <math>f_{\mathrm{c}}</math> || <math>f_{\mathrm{v}}</math>
|style="background:#BACDFF; border: solid black 2px;"| <math>f_{\mathrm{d}}</math>
|"style=background:#FFFC93;"| <math>r_2</math> || <math>\mathrm{id}</math> || <math>r_3</math> || <math>r_1</math>
|- style="height:10%"
! <math>f_{\mathrm{d}}</math>
| <math>f_{\mathrm{d}}</math> || <math>f_{\mathrm{h}}</math> || <math>f_{\mathrm{c}}</math> || <math>f_{\mathrm{v}}</math> || <math>r_3</math> || <math>r_1</math> || <math>\mathrm{id}</math> || <math>r_2</math>
|- style="height:10%"
! <math>f_{\mathrm{c}}</math>
|style="background:#9DFF93; border-left: solid black 2px; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | <math>f_{\mathrm{c}}</math>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | <math>f_{\mathrm{v}}</math>
|style="background:#9DFF93; border-bottom: solid black 2px; border-top: solid black 2px;" | <math>f_{\mathrm{d}}</math>
|style="background:#9DFF93; border-bottom:solid black 2px; border-top:solid black 2px; border-right:solid black 2px;" | <math>f_{\mathrm{h}}</math> || <math>r_1</math> || <math>r_3</math> || <math>r_2</math> || <math>\mathrm{id}</math>
|-
| colspan="9" style="text-align:left"| Os elementos {{tmath|1= \mathrm{id} }}, {{tmath|1= r_1 }}, {{tmath|1= r_2 }}, ae {{tmath|1= r_3 }} forman un [[subgrupo]] cuxa táboa de Cayley está en vermello {{color box|#FDD}} (rexión superior dereita). Unha [[coclase]] pola esquerda deste subgrupo está en {{color box|#9DFF93}} verde (na última fila na esquerda) e a coclase pola dereita está {{color box|#FFFC93}} en amarelo (última columna). O resultado da composición {{tmath|1= f_{\mathrm{h} }\circ r_3 }}, a simetría {{tmath|1= f_{\mathrm{d} } }}, está en {{color box|#BACDFF}} azul (máis ou menos no centro da táboa).
|}

===Grupos cociente===
{{Principal|Grupo cociente}}
Supoña que <math>N</math> é un subgrupo normal dun grupo {{tmath|1= G }}, e
:<math>G/N = \{gN \mid g\in G\}</math>
denota o seu conxunto de coclases.
Entón hai unha lei de grupo única en <math>G/N</math> para a cal o mapa <math>G\to G/N</math> que envía cada elemento <math>g</math> a <math> gN</math>é un homomorfismo.
Explicitamente, o produto de dúas coclases <math>gN</math> e <math>hN</math> é {{tmath|1= (gh)N }}, o grupo <math>eN = N</math> serve como a identidade de {{tmath|1= G/N }}, e a inversa de <math>gN</math> no grupo cociente é {{tmath|1= (gN)^{-1} = \left(g^{-1}\right)N }}.
O grupo {{tmath|1= G/N }}, lese como "{{tmath|1= G }} módulo {{tmath|1= N }}",{{sfn|Lang|2005|loc=§II .4|p=45}} chámase ''grupo cociente'' ou ''grupo de factores''.
O grupo cociente pode ser caracterizado alternativamente por unha [[propiedade universal]].

{| class="wikitable" style="float:right; text-align:center; margin:.5em 0.5em 1em; width:200px;"
|+ Táboa de Cayley do grupo cociente <math>\mathrm{D}_4/R</math>
|-
! style="width:30px;"| <math>\cdot</math>
! style="width:33%;"| <math>R</math>
! style="width:33%;"| <math>U</math>
|-
! <math>R</math>
| <math>R</math> || <math>U</math>
|-
! <math>U</math>
| <math>U</math> || <math>R</math>
|}
Os elementos do grupo cociente <math>\mathrm{D}_4/R</math> son <math>R</math> e {{tmath|1= U=f_{\mathrm{v} }R }}. A operación do grupo sobre o cociente móstrase na táboa. Por exemplo, {{tmath|1= U\cdot U=f_{\mathrm{v} }R\cdot f_{\mathrm{v} }R=(f_{\mathrm{v} }\cdot f_{\mathrm{v} {v} })R=R }}. Tanto o subgrupo <math>R=\{\mathrm{id},r_1,r_2,r_3\}</math> como o cociente <math>\mathrm{D}_4/R</math> son abelianos, mais <math>\mathrm{D}_4</math> non o é.

O [[Teoremas do isomorfismo|teorema primeiro do isomorfismo]] implica que calquera homomorfismo [[sobrexectiva|sobrexectivo]] <math>\phi : G \to H</math> factoriza canonicamente como un homomorfismo cociente seguido dun isomorfismo: {{tmath|1= G \to G/\ker \phi \;\stackrel{\sim}{\to}\; H}}.
Os homomorfismos sobrectivos son os [[epimorfismo|epimorfismos]] da categoría de grupos.

=== Presentacións ===
{{Principal|Presentación dun grupo}}
Cada grupo é isomorfo a un cociente dun [[grupo libre]], de moitos xeitos.

Por exemplo, o grupo diédrico <math>\mathrm{D}_4</math> xérase pola rotación á dereita <math>r_1</math> e pola reflexión <math>f_{\mathrm{v}}</math> nunha liña vertical (cada elemento de <math>\mathrm{D}_4</math> é un produto finito de copias destes e os seus inversos).
Polo tanto, hai un homomorfismo sobrexectivo {{tmath|1= \phi }} do grupo libre <math>\langle r,f \rangle</math> en dous xeradores cara a <math>\mathrm{D}_4</math > enviando <math>r</math> a <math>r_1</math> e <math>f</math> a {{tmath|1= f_1 }}.
Os elementos en <math>\ker \phi</math> chámanse ''relacións'';algúns  exemplos inclúen {{tmath|1= r^4,f^2,(r \cdot f)^2 }}.
De feito, resulta que <math>\ker \phi</math> é o subgrupo normal máis pequeno de <math>\langle r,f \rangle</math> que contén estes tres elementos; noutras palabras, todas as relacións son consecuencias destas tres.
O cociente do grupo libre por este subgrupo normal é {{tmath|1= \langle r,f \mid r^4=f^2=(r\cdot f)^2=1 \rangle }}.
Isto chámase ''[[presentación dun grupo|presentación]]'' de <math>\mathrm{D}_4</math> que ben dada mediante xeradores e relacións, porque debido ao primeiro teorema de isomorfismo para {{tmath|1= \phi }}, este produce un isomorfismo {{tmath|1= \langle r,f \mid r^4=f^2=(r\cdot f)^2=1 \rangle \to \mathrm{D}_4 }}. {{sfn|Lang|2002|loc=§I.2|p=9}}

Pódese usar unha presentación dun grupo para construír un [[grafo de Cayley]], que é unha representación gráfica dun [[grupo discreto]].{{sfn|Magnus|Karrass|Solitar|2004|loc=§1.6|pp=56 –67}}

== Grupos con estrutura adicional ==
Unha definición equivalente de grupo consiste en substituír a parte "existe" dos axiomas de grupo por operacións cuxo resultado é o elemento que debe existir. Así, un grupo é un conxunto <math>G</math> equipado cunha operación binaria <math>G \times G \rightarrow G</math> (a operación de grupo), unha [[operación unaria]] <math> G \rightarrow G</math> (que proporciona a inversa) e unha [[operación nula]], que non ten operando e dá como resultado o elemento identidade. En caso contrario, os axiomas do grupo son exactamente os mesmos. Esta variante da definición evita os [[cuantificadores existenciais]] e úsase na computación con grupos.

Esta forma de definir grupos préstase a xeneralizacións como a noción de [[obxecto de grupo]] nunha categoría. Brevemente, este é un obxecto con [[morfismo|morfismos]] que imitan os axiomas de grupo.{{sfn|Awodey|2010|loc=§4.1}}

=== Grupos topolóxicos ===
[[Imaxe:Circle as Lie group2.svg|right|thumb|A [[circunferencia unitaria]] no [[plano complexo]] baixo a multiplicación complexa é un grupo de Lie e, polo tanto, un grupo topolóxico. É topolóxico xa que a multiplicación e división complexas son continuas. É unha variedade e, polo tanto, un grupo de Lie, porque cada [[veciñanza (matemáticas)|pequena peza]], como o arco vermello da figura, aseméllase a unha parte da [[recta real]] (mostrada na parte inferior).|alt=Unha parte dunha circunferencia (resaltada) proxéctase sobre unha recta.]]
{{Principal|Grupo topolóxico}}
Algúns [[espazos topolóxicos]] poden estar dotados dunha lei de grupo. Para que a lei de grupo e a topoloxía se entretezan ben, as operacións de grupo deben ser funcións continuas; informalmente, <math>g \cdot h</math> e <math>g^{-1}</math> non deben variar moito se <math>g</math> e <math>h</math> varían só un pouco. Eses grupos chámanse ''grupos topolóxicos'' e son os obxectos de grupo na [[categoría de espazos topolóxicos]].{{sfn|Husain|1966}} Os exemplos máis básicos son o grupo de números reais baixo a suma e o grupo de números reais distintos de cero baixo multiplicación. Exemplos semellantes pódense formar a partir de calquera outro [[corpo topolóxico]], como o corpo dos números complexos ou o corpo dos [[número p-ádicos|números {{math|''p''}}-ádicos]]. Estes exemplos son [[grupo topolóxico localmente compacto|localmente compactos]], polo que teñen [[medida de Haar]] e pódense estudar mediante [[análise harmónica]]. Outros grupos topolóxicos localmente compactos inclúen o grupo de puntos dun grupo alxébrico sobre un [[corpo local]] ou un [[anel adélico]]; estes son básicos para a teoría de números{{sfn|Neukirch|1999}}. Os grupos de Galois de corpos alxébricos de extensións infinitas están equipados coa [[topoloxía de Krull]], que xoga un papel no [[Teorema fundamental da teoría de Galois#Caso infinito|Teoría de Galois infinita]].{{sfn|Shatz|1972}} Unha xeneralización utilizada en xeometría alxébrica é o [[grupo fundamental étale]].{{sfn|Milne|1980}}

=== Grupos de Lie ===
{{Principal|Grupo de Lie}}
Un ''grupo de Lie'' é un grupo que tamén ten a estrutura dunha [[variedade diferenciable|variedade diferenciábel]]; informalmente, isto significa que o [[difeomorfismo|se parece localmente]] a un espazo euclidiano dalgunha dimensión fixa.{{sfn|Warner|1983}} De novo, a definición require que a estrutura adicional, aquí a estrutura de variedades, sexa compatíbel: os mapas de multiplicación e inverso deben ser [[mapa suave|suaves]].

Un exemplo estándar é o grupo linear xeral introducido anteriormente: é un [[subconxunto aberto]] do espazo de todas as matrices <math>n \times n</math>, porque se dá pola identidade
:<math>\det (A) \ne 0,</math>
onde <math>A</math> denota unha matriz <math>n \times n</math>.{{sfn|Borel|1991}}
Os grupos de Lie son de importancia fundamental na física moderna: o [[Teorema de Noether]] vincula simetrías continuas a [[cantidades conservadas]].{{sfn|Goldstein|1980}} A [[rotación]], así como as translación no [[espazo]] e o [[tempo]], son simetrías básicas das leis da [[mecánica]].
== Notas ==
{{Listaref}}
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro
  | last1=Artin
  | first1=Michael
  | authorlink1=Michael Artin
  | title=Algebra
  | url=https://archive.org/details/algebra0000arti_x4a1
  | publisher=[[Prentice Hall]]
  | isbn=978-0-89871-510-1
  | year=1991
 }}, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* {{cita libro| last1=Devlin | first1=Keith | authorlink1=Keith Devlin | title=The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible | publisher=Owl Books | isbn=978-0-8050-7254-9 | year=2000}}, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
* {{cita libro| authorlink=George G. Hall | last=Hall | first=G. G. | title=Applied group theory | publisher=American Elsevier Publishing Co., Inc., New York | mr=0219593 | year=1967}}, an elementary introduction.
* {{cita libro | last1=Herstein | first1=Israel Nathan |authorlink1 = Israel Nathan Herstein | title=Abstract algebra | publisher=Prentice Hall Inc. | location=Upper Saddle River, NJ | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | mr=1375019 | year=1996}}.
* {{cita libro | last1=Herstein | first1=Israel Nathan | title=Topics in algebra | publisher=Xerox College Publishing | location=Lexington, Mass. | edition=2nd | mr=0356988 | year=1975}}.
* {{cita libro | last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005}}.
* {{cita libro | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to the theory of finite groups | publisher=Oliver and Boyd, Edinburgh and London | mr=0054593 | year=1953}}.
* {{cita libro | last1=Ledermann | first1=Walter | title=Introduction to group theory | publisher=Barnes and Noble | location=New York | oclc=795613 | year=1973}}.
* {{cita libro | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A course in the theory of groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}.
=== Outros artigos ===
*[[Clasificación dos grupos simples finitos]]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de grupos]]