Ver o código fonte de «Grao dun polinomio»

O [[Grao sesaxesimal|grao]] dun termo dunha [[variábel]] nun [[polinomio]] é o [[Potenciación|expoñente]] desa variábel nese termo. E o grao dun polinomio e o grao do termo de maior grao. 

Por exemplo, en <math>2x^3 + 4x^2 + x + 7</math>, o termo '''de maior grao''' é <math>2x^3</math>; dise que este termo e, polo tanto, todo o polinomio, é de ''grao 3''.

Nos polinomios de dúas ou máis variábeis, o grao dun termo é a ''suma'' dos expoñentes das variábeis nese termo; o grao do polinomio, de novo, é o grao maior. Por exemplo, o polinomio <math>x^2y^2 + 3x^3 + 4y</math> ten grao 4, o mesmo grao que o termo <math>x^2y^2</math>.

== Comportamento baixo operacións con polinomios ==

=== Comportamento baixo a suma ===
O grao da suma (ou diferenza) de dous polinomios é menor ou igual ao maior dos dous graos: <math display="block">\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)).</math><math display="block">\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)).</math>

Por exemplo,

* O grao de <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> é 3. Teña en conta que 3 ≤ máximo (3, 2).
* O grao de <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> é 2. Teña en conta que 2 ≤ máximo (3, 3).

=== Comportamento baixo a multiplicación ===

O grao do produto dun polinomio por un [[escalar (matemáticas)|escalar]] distinto de cero é igual ao grao do polinomio; é dicir,

:<math>\deg(cP)=\deg(P)</math>.

Por exemplo, o grao de <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> é 2, que é igual ao grao de <math>x^2+3x- 2</math>.

Así, o [[Conxunto|conxunto]] de polinomios (con coeficientes dun corpo dado ''F'') cuxos graos son menores ou iguais a un número dado ''n'' forma un [[espazo vectorial]].

Máis xeralmente, o grao do produto de dous polinomios sobre un [[Corpo (matemáticas)|corpo]] ou un [[dominio de integridade]] é a suma dos seus graos:
:<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)</math>.

Por exemplo, o grao de <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> é 5 = 3 + 2.

Para polinomios sobre un [[anel (matemáticas)|anel]] arbitrario, as regras anteriores poden non ser válidas, debido á cancelación que pode ocorrer ao multiplicar dúas constantes distintas de cero. Por exemplo, no anel <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math> de [[Aritmética modular|números enteiros módulo 4]], temos <math>\deg(2x) = \deg(1+2x) = 1</math>, maos <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>, que non é igual á suma dos graos dos factores.

=== Comportamento baixo a composición de funcións ===
O grao da composición de dous polinomios non constantes <math>P</math> e <math>Q</math> nun corpo ou dominio de integridade é o produto dos seus graos:
<math display="block">\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q).</math>

Por exemplo, se <math>P = x^3+x</math> ten o grao 3 e <math>Q = x^2 - 1</math> ten o grao 2, daquela a súa composición é <math>P \circ Q = P \circ (x^2 - 1) = (x^2 - 1)^3+(x^2 - 1) = x^6 - 3x^4+4x^2 - 2,</math> que ten o grao 6.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*{{cita libro|last=Axler |first=Sheldon |author-link=Sheldon Axler |year=1997 |title=Linear Algebra Done Right |edition=2nd |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780387982595 |url=https://books.google.com/books?id=ovIYVIlithQC&q=%220+polynomial%22&pg=PA64 }}
*{{cita libro|last=Childs |first=Lindsay N. |year=1995 |title=A Concrete Introduction to Higher Algebra |edition=2nd |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780387989990 |url=https://books.google.com/books?id=rUApHgaTVx0C&q=%22zero+polynomial%22&pg=PA233 }}
*{{cita libro|last=Childs |first=Lindsay N. |year=2009 |title=A Concrete Introduction to Higher Algebra |edition=3rd |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780387745275 |url=https://books.google.com/books?id=qyDAKBr_I2YC&q=%22zero+polynomial%22&pg=PA287 }}
*{{cita libro|last=Grillet |first=Pierre Antoine |year=2007 |title=Abstract Algebra |edition=2nd |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780387715681 |url=https://books.google.com/books?id=LJtyhu8-xYwC&q=%22degree+of+the+zero+polynomial%22&pg=PA121 }}
*{{cita libro|last=King |first=R. Bruce | author-link=R. Bruce King |year=2009 |title=Beyond the Quartic Equation |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780817648497 |url=https://books.google.com/books?id=9cKX_9zkeg4C }}
*{{cita libro|last1=Mac Lane |first1=Saunders | author-link=Saunders Mac Lane |last2=Birkhoff |first2=Garrett |author-link2=Garrett Birkhoff |year=1999 |title=Algebra |edition=3rd |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821816462 |url=https://books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC&q=linear+quadratic+cubic+quartic+quintic&pg=PA107 }}
*{{cita libro|last=Shafarevich |first=Igor R. |author-link=Igor Shafarevich |year=2003 |title=Discourses on Algebra |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9783540422532 |url=https://books.google.com/books?id=hpkkJgU8rwcC&q=%22the+degree+of+the+polynomial+is+undefined%22&pg=PA27 }}

=== Outros artigos ===
* [[Teorema fundamental da álxebra]].


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Polinomios]]