Ver o código fonte de «Función diferenciábel»

[[Ficheiro:Polynomialdeg3.svg|miniatura|dereita|Unha función diferenciábel]]
En [[matemáticas]], unha '''función diferenciábel''' dunha [[número real|variábel real]] é unha [[función (matemáticas)|función]] cuxa [[derivada]] existe en cada punto do seu [[dominio de definición|dominio]]. Unha función diferenciábel é [[suavidade|suave]] (a función está localmente ben aproximada como unha [[función linear]] en cada punto interior) e non contén ningún salto ou [[cúspide (singularidade)|cúspide]].

Se {{math|''x''<sub>0</sub>}} é un punto interior no dominio dunha función {{mvar|f}}, entón {{mvar|f}} dise que é ''diferenciábel en'' {{math|''x''<sub>0</sub>}} se a derivada <math>f'(x_0)</math> existe. {{mvar|f}} dise que é ''continuamente diferenciábel'' se a súa derivada é tamén unha función continua sobre o dominio da función <math display="inline">f</math>. En xeral, {{mvar|f}} dise que é de clase {{em|<math>C^k</math>}} se as súas primeiras <math>k</math> derivadas <math display="inline">f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> existen e son continuas sobre o dominio da función <math display="inline">f</math>.

Para unha función multivariábel, como se mostra [[#Diferenciabilidade en dimensións superiores|embaixo]], a diferenciabilidade é algo máis complexa que a existencia das derivadas parciais.

==Diferenciabilidade de funcións reais dunha variábel==

Unha función <math>f:U\to\mathbb{R}</math>, definida nun conxunto aberto <math display="inline">U\subset\mathbb{R}</math>, dise que é ''diferenciábel'' en <math>a\in U</math> se a derivada
:<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> 
existe. Isto implica que a función é [[función continua|continua]] en {{mvar|a}}.

Esta función {{mvar|f}} dise que é ''diferenciábel'' en {{mvar|U}} se é diferenciábel en cada punto de {{mvar|U}}. Neste caso, a derivada de {{mvar|f}} é así unha función de {{mvar|U}} en <math>\mathbb R.</math> 

Unha función dise que é ''continuamente diferenciábel'' se a súa derivada é tamén unha función continua; existen funcións que son diferenciábeis mais non continuamente diferenciábeis (un exemplo dase na sección [[Función diferenciábel#Clases de diferenciabilidade|Clases de diferenciabilidade]]).

==Diferenciabilidade e continuidade==
{{Véxase tamén|Función continua}}
[[Ficheiro:Absolute value.svg|esquerda|miniatura|A función [[valor absoluto]] é continua (é dicir, non ten ocos). É diferenciábel en todas as partes ''agás'' no punto {{math|''x''}} = 0, onde fai un xiro brusco ao cruzar o eixo {{math|''y''}}.]]
[[Ficheiro:Cusp at (0,0.5).svg|miniatura|dereita|Unha [[cúspide (singularidade)|cúspide]] na gráfica dunha función continua. En cero, a función é continua mais non diferenciábel.]]
Se {{math|''f''}} é diferenciábel nun punto {{math|''x''<sub>0</sub>}}, entón {{math|''f''}} debe tamén ser [[función continua|continua]] en {{math|''x''<sub>0</sub>}}. En particular, calquera función diferenciábel debe ser continua en cada punto do seu dominio. ''O contrario non é certo'': unha función continua non ten por que ser diferenciábel. Por exemplo, unha función cunha curva, [[cúspide (singularidade)|cúspide]] ou [[tanxente|tanxente vertical]] pode ser continua, pero non ser diferenciábel no lugar da anomalía.

A maioría das funcións que aparecen na práctica teñen derivadas en todos os puntos ou en [[case en todas partes|case todos]] os puntos. O primeiro exemplo coñecido dunha función que é continua en todas partes pero non diferenciábel en ningunha parte é a [[función de Weierstrass]].<ref>{{cita revista |last=Banach |first=S. |title=Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen |journal=[[Studia Mathematica|Studia Math.]] |volume=3 |issue=1 |year=1931 |pages=174–179 |doi=10.4064/sm-3-1-174-179  }}.  Citado por {{cita libro|author1=Hewitt, E  |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref>

<br/>
==Clases de diferenciabilidade==
[[Ficheiro:Approximation of cos with linear functions without numbers.svg|300px|miniatura|As funcións diferenciábeis poden ser aproximadas localmente por funcións lineares.]]
[[Ficheiro:The function x^2*sin(1 over x).svg|miniatura|300px|A función <math>f : \R \to \R</math> con <math>f(x) = x^2\sin\left(\tfrac 1x\right)</math> para <math>x \neq 0</math> e <math>f(0) = 0</math> é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.]]
{{Principal|Suavidade}}
Unha función <math display="inline">f</math> dise que é {{em|{{visible anchor|continuamente diferenciábel|Diferenciabilidade continua}}}} se a derivada <math display="inline">f^{\prime}(x)</math> existe e é ela mesma unha función continua. Aínda que a derivada dunha función diferenciábel nunca ten unha [[descontinuidade de salto]], é posíbel que a derivada teña unha [[Clasificación das descontinuidades#Descontinuidade esencial|descontinuidade esencial]]. Por exemplo, a función
<math display="block">f(x) \;=\; \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & \text{ se }x \neq 0 \\ 0 & \text{ se } x = 0\end{cases}</math>
é diferenciábel en 0, xa que
<math display="block">f'(0) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\frac{\varepsilon^2\sin(1/\varepsilon)-0}{\varepsilon}\right) = 0</math>
existe. No entanto, para <math>x \neq 0,</math> as [[regras de diferenciación]] implican
<math display="block">f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)\;,</math>
que non ten límite cando <math>x \to 0.</math> Así, este exemplo mostra a existencia dunha función que é diferenciábel pero non continuamente diferenciábel (é dicir, a derivada non é unha función continua). Con todo, o [[teorema de Darboux (análise)|teorema de Darboux]] implica que a derivada de calquera función satisfai a conclusión do [[teorema do valor intermedio]].

De xeito similar a como as [[función continua|funcións continuas]] se din que son de {{em|clase <math>C^0,</math>}} as funcións continuamente diferenciábeis ás veces dinse que son de {{em|clase <math>C^1</math>}}. Unha función é de {{em|clase <math>C^2</math>}} se a primeira e a [[derivada|segunda derivada]] da función existen e son continuas. Máis xeralmente, unha función dise que é de {{em|clase <math>C^k</math>}} se as primeiras <math>k</math> derivadas <math display="inline">f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> existen e son continuas. Se as derivadas <math>f^{(n)}</math> existen para todos os enteiros positivos <math display="inline">n,</math> a función é [[función suave|suave]] ou equivalentemente, de {{em|clase <math>C^{\infty}.</math>}}
{{-}}

==Diferenciabilidade en dimensións superiores==
Unha [[Cálculo multivariábel|función de varias variábeis reais]] {{math|'''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} dise que é diferenciábel nun punto {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} se [[cuantificador existencial|existe]] unha [[aplicación linear]] {{math|'''J''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} tal que
:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}\mathbf{(h)}\|_{\mathbf{R}^{n}}}{\| \mathbf{h} \|_{\mathbf{R}^{m}}} = 0.</math>

Se unha función é diferenciábel en {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}, entón todas as [[derivada parcial|derivadas parciais]] existen en {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}, e a aplicación linear {{math|'''J'''}} vén dada pola [[matriz jacobiana]], unha matriz ''n'' × ''m'' neste caso. 

Se todas as derivadas parciais dunha función existen nunha [[veciñanza (matemáticas)|veciñanza]] dun punto {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} e son continuas no punto {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}, entón a función é diferenciábel nese punto {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}.

No entanto, a existencia das derivadas parciais (ou mesmo de todas as [[derivada direccional|derivadas direccionais]]) non garante que unha función sexa diferenciábel nun punto. Por exemplo, a función {{math|''f'': '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''}} definida por

:<math display="block">f(x,y) = \begin{cases}x & \text{se }y \ne x^2 \\ 0 & \text{se }y = x^2\end{cases}</math>

non é diferenciábel en {{math|(0, 0)}}, pero todas as derivadas parciais e direccionais existen neste punto. Para un exemplo continuo, a función

:<math>f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{se }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{se }(x,y) = (0,0)\end{cases}</math>

non é diferenciábel en {{math|(0, 0)}}, mais de novo todas as derivadas parciais e direccionais existen.

{{Véxase tamén|Cálculo multivariábel|Suavidade}}

==Diferenciabilidade en análise complexa==
{{Principal|Función holomorfa}}
En [[análise complexa]], a diferenciabilidade complexa defínese usando a mesma definición que as funcións reais dunha variábel. Isto é debido á posibilidade de dividir [[números complexos]]. Así, unha función <math display="inline">f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> dise que é diferenciábel en <math display="inline">x=a</math> cando

:<math>f'(a)=\lim_{\underset{h\in\mathbb C}{h\to 0}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.</math>

Aínda que esta definición parece similar á diferenciabilidade das funcións reais dunha variábel, é unha condición máis restritiva. Unha función <math display="inline">f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>, que é complexo-diferenciábel nun punto <math display="inline">x=a</math>, é automaticamente diferenciábel nese punto, cando se ve como unha función <math>f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. Isto débese a que a diferenciabilidade complexa implica que

:<math>\lim_{\underset{h\in\mathbb C}{h\to 0}}\frac{|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}=0.</math>

No entanto, unha función <math display="inline">f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> pode ser diferenciábel como unha función multivariábel, mentres non é complexo-diferenciábel. Por exemplo, <math>f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}</math> é diferenciábel en cada punto, vista como a función real de 2 variábeis <math>f(x,y)=x</math>, mais non é complexo-diferenciábel en ningún punto porque o límite <math display="inline">\lim_{h\to 0}\frac{h+\bar h}{2h}</math> non existe (o límite depende do ángulo de aproximación).

Calquera función que é complexo-diferenciábel nunha veciñanza dun punto chámase [[función holomorfa|holomorfa]] nese punto. Tal función é necesariamente infinitamente diferenciábel, e de feito [[función analítica|analítica]].

==Funcións diferenciábeis en variedades==
{{Véxase tamén|Variedade diferenciábel}}
Se ''M'' é unha [[variedade diferenciábel]], unha función real ou complexa ''f'' en ''M'' dise que é diferenciábel nun punto ''p'' se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de ''p''. Se ''M'' e ''N'' son variedades diferenciábeis, unha función ''f'':&nbsp;''M''&nbsp;→&nbsp;''N'' dise que é diferenciábel nun punto ''p'' se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de ''p'' e ''f''(''p'').
== Notas ==
{{reflist|30em}} 
  
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 

=== Outros artigos ===
*[[Derivada]]
*[[Función suave]]

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Cálculo]]