Ver o código fonte de «Fracción continua xeneralizada»

Na [[análise complexa]], unha rama das [[matemáticas]], unha '''fracción continua xeneralizada''' é unha xeneralización das [[Fracción continua|fraccións continuas]] regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores [[Número complexo|complexos]] arbitrarios.

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma

: <math>x = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}}</math>

onde {{Math|''a''<sub>''n''</sub>}} ({{Math|''n'' > 0}}) son os numeradores parciais, os {{Math|''b''<sub>''n''</sub>}} os denominadores parciais e o termo principal {{Math|''b''<sub>0</sub>}} chámase parte ''enteira'' da fracción continua.

Os sucesivos '''converxentes''' da fracción continua fórmanse aplicando as '''fórmulas  de recorrencia''' :

:<math>\begin{align}
A_n &= b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}, \\
B_n &= b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2} \qquad \text{for } n \ge 1 
\end{align}</math>

con valores iniciais

: <math>\begin{align}
A_{-1} &= 1,& A_0&=b_0,\\ B_{-1}&=0, & B_0&=1.
\end{align}</math>

onde {{Math|''A''<sub>''n''</sub>}} é o ''numerador'' e {{Math|''B''<sub>''n''</sub>}} o ''denominador'', chamados continuantes, {{Sfn|Cusick|Flahive|1989}} {{Sfn|Chrystal|1999}} do {{Math|''n''}}-ésimo converxente.

== Historia ==
{{Harvtxt|Bombelli|1579}} ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada. {{Sfn|Cataldi|1613}} Cataldi representou unha fracción continua como

: <math>{a_0\cdot} \,\&\, \frac{n_1}{d_1\cdot} \,\&\, \frac{n_2}{d_2\cdot} \,\&\, \frac{n_3}{d_3}</math>

cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada {{Math|[[ampersand|&]]}} representando un signo máis moderno.

A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática. {{Sfn|Wallis|1699}} Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática ([[Cálculo infinitesimal|o cálculo]] [[Isaac Newton|de Newton]] e [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.

En 1748 [[Leonhard Euler|Euler]] publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada [[Serie (matemáticas)|serie infinita]] moi xeral. {{Sfn|Euler|1748}} A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.

En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para {{Math|tan ''x''}}: {{Sfn|Havil|2012}}

: <math>\tan(x) = \cfrac{x}{1 + \cfrac{-x^2}{3 + \cfrac{-x^2}{5 + \cfrac{-x^2}{7 + {}\ddots}}}}</math>

As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de [[teoría de números]], e son especialmente útiles no estudo das [[Ecuación diofantiana|ecuacións diofántianas]]. A finais do século XVIII [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos. <ref>[[Brahmagupta]] (598–670) was the first mathematician to make a systematic study of Pell's equation.</ref> O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da [[raíz cadrada]] de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude {{Math|''p'' > 1}}, contén unha cadea palindrómica de lonxitude {{Math|''p'' − 1}}.

En 1813 [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss. {{Sfn|Gauss|1813}} Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo.

== Notación ==
A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas: 

: <math>
x = b_0 +
\frac{a_1}{b_1}{{}\atop+}
\frac{a_2}{b_2}{{}\atop+}
\frac{a_3}{b_3}{{}\atop+\cdots}
</math>

[[Carl Friedrich Gauss]]  elaborou esta notación:

: <math>
x = b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}.\,
</math>

Aquí a "{{Math|K}}" significa ''Kettenbruch'', a palabra alemá para "fracción continua". 

== Algunhas consideracións elementais ==

=== Numeradores e denominadores parciais ===
Se un dos numeradores parciais {{Math|''a''<sub>''n'' + 1</sub>}} é cero, a fracción continua infinita

: <math>
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,
</math>

é realmente só unha fracción continua finita con {{Math|''n''}} termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de {{Math|''a''<sub>1</sub>}} a {{Math|''a''<sub>''n''</sub>}} e {{Math|''b''<sub>0</sub>}} a {{Math|''b''<sub>''n'' + 1</sub>}}. 

=== Fórmula do determinante ===
Cando o {{Math|''n''}}-ésimo converxente dunha fracción continua

: <math>
x_n = b_0 + \underset{i=1}\overset{n}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,
</math>

exprésase como unha fracción simple {{Math|''x''<sub>''n''</sub> {{=}} {{sfrac|''A''<sub>''n''</sub>|''B''<sub>''n''</sub>}}}} podemos usar a fórmula do determinante{{Bloque numerado|:|<math>A_{n-1}B_n - A_nB_{n-1} = \left(-1\right)^na_1a_2\cdots a_n = \prod_{i=1}^n (-a_i)</math>|{{EquationRef|1}}}}para relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos {{Math|''x''<sub>''n''</sub>}} e {{Math|''x''<sub>''n'' − 1</sub>}} entre sí. A proba disto pódese ver facilmente por indución.

=== Transformación de equivalencia ===
Se {{Math|{''c''<sub>''i''</sub>} {{=}} {''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, ''c''<sub>3</sub>, ...}<nowiki/>}} é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por [[Indución matemática|indución]], que

: <math>
b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}} =
b_0 + \cfrac{c_1a_1}{c_1b_1 + \cfrac{c_1c_2a_2}{c_2b_2 + \cfrac{c_2c_3a_3}{c_3b_3 + \cfrac{c_3c_4a_4}{c_4b_4 + \ddots\,}}}}
</math>

A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos {{Math|''a''<sub>''i''</sub>}} é cero pódese escoller unha secuencia {{Math|{''c''<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}} para que cada numerador parcial sexa 1:

: <math>
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i} = 
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{1}{c_i b_i}\,
</math>

onde {{Math|''c''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|''a''<sub>1</sub>}}}}, {{math|''c''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|''a''<sub>1</sub>|''a''<sub>2</sub>}}}}, {{math|''c''<sub>3</sub> {{=}} {{sfrac|''a''<sub>2</sub>|''a''<sub>1</sub>''a''<sub>3</sub>}}}}, e en xeral {{math|''c''<sub>''n'' + 1</sub> {{=}} {{sfrac|1|''a''<sub>''n'' + 1</sub>''c''<sub>''n''</sub>}}}}.

En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais {{Math|''b''<sub>''i''</sub>}} é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia {{Math|{''d''<sub>''i''</sub>}<nowiki/>}} para que cada denominador parcial sexa un 1:

: <math>
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i} = 
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{d_i a_i}{1}\,
</math>

onde {{Math|''d''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|''b''<sub>1</sub>}}}} e tamén {{math|''d''<sub>''n'' + 1</sub> {{=}} {{sfrac|1|''b''<sub>''n''</sub>''b''<sub>''n'' + 1</sub>}}}}.

Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.

=== Nocións de converxencia ===
A fracción continua

: <math>
x = b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,
</math>

converxe se a secuencia de converxentes {{Math|{''x''<sub>''n''</sub>}}} tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a {{Mvar|n}} , <math>\operatorname{K}_{i = n}^\infty \tfrac{a_i}{b_i}</math> por {{Math|''w''<sub>''n''</sub>}}, en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse ''converxentes modificados''. Dicimos que a fracción continua ''converxe xeralmente'' se existe unha secuencia <math>\{w_n^*\}</math> tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os <math>\{w_n\}</math> suficientemente distinto de <math>\{w_n^*\}</math>. A secuencia <math>\{w_n^*\}</math> chámase entón unha ''secuencia excepcional'' para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de {{Harvtxt|Lorentzen|Waadeland|1992}} para unha definición rigorosa.

Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é ''absolutamente converxente'' cando a serie

: <math> f = \sum_n \left( f_n - f_{n-1}\right),</math>

onde <math>f_n = \operatorname{K}_{i = 1}^n \tfrac{a_i}{b_i}</math> son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente. {{Sfn|Lorentzen|Waadeland|1992}} O [[teorema de Śleszyński–Pringsheim]] proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.

Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é ''uniformemente converxente'' nunha veciñanza aberta {{Math|Ω}} cando os seus converxentes converxen uniformemente en {{Math|Ω}}; é dicir, cando para cada {{Math|''ε'' > 0}} existe {{Math|''M''}} tal que para todo {{Math|''n'' > ''M''}}, para todos <math>z \in \Omega</math> ,

: <math>
|f(z) - f_n(z)| < \varepsilon.
</math>

=== Condicións para a irracionalidade ===
Se {{Math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,...}} e {{Math|''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>,...}} son enteiros positivos con {{Math|''a<sub>k</sub>'' ≤ ''b<sub>k</sub>''}} para todos os {{Math|''k''}} suficientemente grandes, daquela

: <math>
x = b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,
</math>

converxe a un límite irracional. {{Sfn|Angell|2021}}

=== Fórmulas fundamentais de recorrencia ===
Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as ''fórmulas fundamentais de recorrencia'' :

: <math>
\begin{align}
A_{-1}& = 1& B_{-1}& = 0\\
A_0& = b_0& B_0& = 1\\
A_{n+1}& = b_{n+1} A_n + a_{n+1} A_{n-1}& B_{n+1}& = b_{n+1} B_n + a_{n+1} B_{n-1}\,
\end{align}
</math>

Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo

: <math>x_n=\frac{A_n}{B_n}.\,</math>

Estas relacións de recorrencia débense a [[John Wallis]] (1616–1703) e [[Leonhard Euler]] (1707–1783). {{Sfn|Porubský|2008}} Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

== Fórmula de fracción continua de Euler ==
[[Leonhard Euler|Euler]] demostrou a seguinte identidade: {{Sfn|Euler|1748}}

: <math>
a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n =
\frac{a_0}{1-}
\frac{a_1}{1+a_1-}
\frac{a_2}{1+a_2-}\cdots
\frac{a_{n}}{1+a_n}.\,
</math>

Disto pódense derivar moitos outros resultados, como

: <math>
\frac{1}{u_1}+
\frac{1}{u_2}+
\frac{1}{u_3}+
\cdots+
\frac{1}{u_n} =
\frac{1}{u_1-}
\frac{u_1^2}{u_1+u_2-}
\frac{u_2^2}{u_2+u_3-}\cdots
\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-1}+u_n},\,
</math>

e

: <math>
\frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_0a_1} + \frac{x^2}{a_0a_1a_2} + \cdots +
\frac{x^n}{a_0a_1a_2 \ldots a_n} =
\frac{1}{a_0-}
\frac{a_0x}{a_1+x-}
\frac{a_1x}{a_2+x-}\cdots
\frac{a_{n-1}x}{a_n+x}.\,
</math>

== Exemplos ==

=== Funcións e números transcendentais ===
Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler.

: <math>
e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots 
= 1+\cfrac{x} {1-\cfrac{1x} {2+x-\cfrac{2x} {3+x-\cfrac{3x} {4+x-\ddots}}}}
</math>

: <math>
\log(1+x) = \frac{x^1}{1} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots 
=\cfrac{x} {1-0x+\cfrac{1^2x} {2-1x+\cfrac{2^2x} {3-2x+\cfrac{3^2x} {4-3x+\ddots}}}}
</math>

Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais:

: <math>
\arctan\cfrac{x}{y}=\cfrac{xy} {1y^2+\cfrac{(1xy)^2} {3y^2-1x^2+\cfrac{(3xy)^2} {5y^2-3x^2+\cfrac{(5xy)^2} {7y^2-5x^2+\ddots}}}}
=\cfrac{x} {1y+\cfrac{(1x)^2} {3y+\cfrac{(2x)^2} {5y+\cfrac{(3x)^2} {7y+\ddots}}}}
</math>

: <math>
e^\frac{x}{y} = 1+\cfrac{2x} {2y-x+\cfrac{x^2} {6y+\cfrac{x^2} {10y+\cfrac{x^2} {14y+\cfrac{x^2} {18y+\ddots}}}}} \quad\Rightarrow\quad
e^2 = 7+\cfrac{2} {5+\cfrac{1} {7+\cfrac{1} {9+\cfrac{1} {11+\ddots}}}}
</math>

: <math>
\log \left( 1+\frac{x}{y} \right) = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} 
= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}
</math>

Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970. <ref>[https://math.stackexchange.com/q/75074 An alternative way to calculate log(x)]</ref>

Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (= {{Math|[0; 1, 2, 3, 1, 5, {{sfrac|2|3}}, 7, {{sfrac|1|2}}, 9, {{sfrac|2|5}},..., 2''k'' − 1, {{sfrac|2|''k''}},...]}}

: <math>
\log 2 = \log (1+1) = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} 
{5+\cfrac{3} {2+\ddots}}}}}} 
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}}
</math>

==== <math>\pi</math> ====
Fórmula de Leibniz para  <math>\pi</math>:

: <math>
\pi = \cfrac{4} {1+\cfrac{1^2} {2+\cfrac{3^2} {2+\cfrac{5^2} {2+\ddots}}}}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{4(-1)^n}{2n+1} 
= \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} +- \cdots
</math>

converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente {{Math|3 × 10<sup>''n''</sup>}} termos para conseguir {{Math|''n''}} cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji:

: <math>
\pi = 3 + \cfrac{1^2} {6+\cfrac{3^2} {6+\cfrac{5^2} {6+\ddots}}}
= 3 - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n} {n (n+1) (2n+1)} 
= 3 + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} - \frac{1}{2\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{3\cdot 4\cdot 7} -+ \cdots
</math>

aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda:

: <math>
\pi = \cfrac{4} {1+\cfrac{1^2} {3+\cfrac{2^2} {5+\cfrac{3^2} {7+\ddots}}}}
= 4 - 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{34} + \frac {16}{3145} - \frac{4}{4551} + \frac{1}{6601} - \frac{1}{38341} +- \cdots
</math>

converxe ''linearmente'' a <math>\pi</math>, engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.

=== Raíces dos números positivos ===
A [[Raíz (matemáticas)|raíz {{Math|''n''}}-ésima]] de calquera número positivo {{Math|''z''<sup>''m''</sup>}} pódese expresar reformulando {{Math|''z'' {{=}} ''x''<sup>''n''</sup> + ''y''}}, dando como resultado

: <math>
\sqrt[n]{z^m} = \sqrt[n]{\left(x^n+y\right)^m} = x^m+\cfrac{my} {nx^{n-m}+\cfrac{(n-m)y} {2x^m+\cfrac{(n+m)y} {3nx^{n-m}+\cfrac{(2n-m)y} {2x^m+\cfrac{(2n+m)y} {5nx^{n-m}+\cfrac{(3n-m)y} {2x^m+\ddots}}}}}}
</math>

que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a

: <math>
\sqrt[n]{z^m} = x^m+\cfrac{2x^m \cdot my} {n(2x^n + y)-my-\cfrac{(1^2n^2-m^2)y^2} {3n(2x^n + y)-\cfrac{(2^2n^2-m^2)y^2} {5n(2x^n + y)-\cfrac{(3^2n^2-m^2)y^2} {7n(2x^n + y)-\cfrac{(4^2n^2-m^2)y^2} {9n(2x^n + y)-\ddots}}}}}.
</math>

A [[raíz cadrada]] de {{Math|''z''}} é un caso especial con {{Math|''m'' {{=}} 1}} e {{Math|''n'' {{=}} 2}}:

: <math>
\sqrt{z} = \sqrt{x^2+y} = x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{3y} {6x+\cfrac{3y} {2x+\ddots}}}} 
= x+\cfrac{2x \cdot y} {2(2x^2 + y)-y-\cfrac{1\cdot 3y^2} {6(2x^2 + y)-\cfrac{3\cdot 5y^2} {10(2x^2 + y)-\ddots}}}
</math>

que se pode simplificar observando que {{math|{{sfrac|5|10}} {{=}} {{sfrac|3|6}} {{=}} {{sfrac|1|2}}}}:

: <math>
\sqrt{z} = \sqrt{x^2+y} = x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\ddots}}}} 
= x+\cfrac{2x \cdot y} {2(2x^2 + y)-y-\cfrac{y^2} {2(2x^2 + y)-\cfrac{y^2} {2(2x^2 + y)-\ddots}}}.
</math>

A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados {{Math|''x''}} e {{Math|''y''}}.

==== Exemplo 1 ====
A raíz cúbica de dous (2 <sup>1/3</sup> ou 3 {{Sqrt|2|3}} ≈ 1,259921...) pódese calcular de dúas formas:

En primeiro lugar, a "notación estándar" de {{Math|''x'' {{=}} 1}}, {{Math|''y'' {{=}} 1}} e {{Math|2''z'' − ''y'' {{=}} 3}}:

: <math>
\sqrt[3]2 = 1+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{4} {9+\cfrac{5} {2+\cfrac{7} {15+\cfrac{8} {2+\cfrac{10} {21+\cfrac{11} {2+\ddots}}}}}}}} = 1+\cfrac{2 \cdot 1} {9-1-\cfrac{2 \cdot 4} {27-\cfrac{5 \cdot 7} {45-\cfrac{8 \cdot 10} {63-\cfrac{11 \cdot 13} {81-\ddots}}}}}.
</math>

En segundo lugar, unha converxencia rápida con {{Math|''x'' {{=}} 5}}, {{Math|''y'' {{=}} 3}} e {{Math|2''z'' − ''y'' {{=}} 253}}:

: <math>
\sqrt[3]2 = \cfrac{5}{4}+\cfrac{0.5} {50+\cfrac{2} {5+\cfrac{4} {150+\cfrac{5} {5+\cfrac{7} {250+\cfrac{8} {5+\cfrac{10} {350+\cfrac{11} {5+\ddots}}}}}}}} = \cfrac{5}{4}+\cfrac{2.5 \cdot 1} {253-1-\cfrac{2 \cdot 4} {759-\cfrac{5 \cdot 7} {1265-\cfrac{8 \cdot 10} {1771-\ddots}}}}.
</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Fracción continua de Gauss]]
* [[Composicións infinitas de funcións analíticas]]
* [[Algoritmo de Lentz]]

=== Bibliografía===
{{Refbegin}}

*{{Cita xornal
|last= Angell
|first= David
|year= 2010
|title= A family of continued fractions
|journal= Journal of Number Theory
|publisher= Elsevier
|volume= 130
|issue= 4
|url= https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X10000193/pdfft?md5=36d08f2233a097cfd00962fe07a7378a&pid=1-s2.0-S0022314X10000193-main.pdf
|pages= 904–911
|doi= 10.1016/j.jnt.2009.12.003
}}

*{{Cita libro
|last= Angell
|first= David
|year= 2021
|title= Irrationality and Transcendence in Number Theory
|publisher= Chapman and Hall/CRC
|isbn= 9780367628376
}}

*{{Cita libro
|last= Beckmann
|first= Petr
|year= 1971
|title= A History of Pi
|publisher= St. Martin's Press, Inc.
|pages= [https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck/page/131 131–133, 140–143]
|isbn= 0-88029-418-3
|url= https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck/page/131
}}

*{{Cita libro
|last= Bombelli
|first= Rafael
|author-link= Rafael Bombelli
|year= 1579
|title= L'algebra
|url= https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasure-raphael-bombellis-lalgebra
|data-acceso= 26 de marzo de 2024
|data-arquivo= 12 de abril de 2021
|url-arquivo= https://web.archive.org/web/20210412044041/https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasure-raphael-bombellis-lalgebra
|url-morta= yes
}}

*{{Cita xornal
|last1= Borwein
|first1= Jonathan Michael
|author-link1= Jonathan Borwein
|last2= Crandall
|first2= Richard E.
|author-link2= Richard Crandall
|last3= Fee
|first3= Greg
|author-link3= Greg Fee
|year= 2004
|title= On the Ramanujan AGM Fraction, I: The Real-Parameter Case
|journal= Experimental Mathematics
|volume= 13
|issue= 3
|url= https://projecteuclid.org/journalArticle/Download?urlid=em%2F1103749836
|pages= 275–285
|doi= 10.1080/10586458.2004.10504540
}}

*{{Cita libro
|last= Cataldi
|first= Pietro Antonio
|author-link= Pietro Cataldi
|year= 1613
|title= Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri
|trans-title= A treatise on a quick way to find square roots of numbers
|url= http://mathematica.sns.it/opere/70/
}}

*{{Cita libro
|last= Chrystal
|first= George
|author-link= George Chrystal
|year= 1999
|title= Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1
|publisher= American Mathematical Society
|isbn= 0-8218-1649-7
|pages= 500
}}

*{{Cita libro
|last1= Cusick
|first1= Thomas W.
|last2= Flahive
|first2= Mary E.
|year= 1989
|title= The Markoff and Lagrange Spectra
|url= https://archive.org/details/markofflagranges00cusi_056
|publisher= American Mathematical Society
|isbn= 0-8218-1531-8
|pages= [https://archive.org/details/markofflagranges00cusi_056/page/n96 89]
}}

*{{Cita web
|author= Euclid
|author-link= Euclid
|date= 2008
|publisher= Clay Mathematics Institute
|url= https://www.claymath.org/library/historical/euclid/
|title= Elements
}}

*{{Cita web
|last= Euler
|first= Leonhard
|author-link= Leonhard Euler
|date= 1748
|title=E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1
|url= https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/
|publisher= The Euler Archive
|access-date= 2 May 2022
}}

*{{Cita libro
|last= Gauss
|first= Carl Friedrich
|author-link= Carl Friedrich Gauss
|year= 1813
|title= Disquisitiones generales circa seriem infinitam
}}

*{{Cita libro
|last= Havil
|first= Julian 
|year= 2012
|title= The Irrationals: A Story of the Numbers You Can't Count On
|url= https://archive.org/details/irrationals0000havi
|publisher= Princeton University Press
|jstor= j.ctt7smdw
|pages= [https://archive.org/details/irrationals0000havi/page/280 280]
|isbn= 978-0691143422 
}}

*{{Cita libro
|last1= Jones
|first1= William B.
|last2= Thron
|first2= W.J.
|year= 1980
|title= Continued fractions. Analytic theory and applications
|series= Encyclopedia of Mathematics and its Applications
|volume= 11
|location= Reading, MA
|publisher= Addison-Wesley
|isbn= 0-201-13510-8
|zbl= 0445.30003
|url= https://archive.org/details/continuedfractio0000jone
}} (Covers both analytic theory and history.)

*{{Cita libro
|last1= Lorentzen
|first1= Lisa
|author-link1= Lisa Lorentzen
|last2= Waadeland
|first2= Haakon
|year= 1992
|title= Continued Fractions with Applications
|location= Reading, MA
|publisher= North Holland
|isbn= 978-0-444-89265-2
}} (Covers primarily analytic theory and some arithmetic theory.)

*{{Cita libro
|last= Perron
|first= Oskar
|author-link= Oskar Perron
|year= 1977a
|title= Die Lehre von den Kettenbrüchen
|volume= Band I: Elementare Kettenbrüche
|edition= 3
|publisher= Vieweg + Teubner Verlag
|isbn= 9783519020219
}}

*{{Cita libro
|last= Perron
|first= Oskar
|author-link= Oskar Perron
|year= 1977b
|title= Die Lehre von den Kettenbrüchen
|volume= Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche
|edition= 3
|publisher= Vieweg + Teubner Verlag
|isbn= 9783519020226
}}

*{{Cita web
|last= Porubský
|first= Štefan
|title= Basic definitions for continued fractions
|date= 2008
|work= Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics
|publisher= Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences
|location= Prague, Czech Republic
|url= http://www.cs.cas.cz/portal/AlgoMath/NumberTheory/ContinuedFractions/BasicDefinitions.htm
|access-date= 2 May 2022
}}

*{{Cita libro
|last1= Press
|first1= WH
|last2= Teukolsky
|first2= SA
|last3= Vetterling
|first3= WT
|last4= Flannery
|first4= BP
|year= 2007
|title= Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing
|edition= 3rd
|publisher= Cambridge University Press
|location= New York
|isbn= 978-0-521-88068-8
|chapter= Section 5.2. Evaluation of Continued Fractions
|chapter-url= http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=206
|data-acceso= 26 de marzo de 2024
|data-arquivo= 06 de maio de 2021
|url-arquivo= https://web.archive.org/web/20210506221338/http://apps.nrbook.com/empanel/index.html?pg=206
|url-morta= yes
}}

*{{Cita web
|last= Sardina
|first= Manny
|year= 2007
|title= General Method for Extracting Roots using (Folded) Continued Fractions
|location= Surrey (UK)
|url= http://myreckonings.com/Dead_Reckoning/Online/Materials/General%20Method%20for%20Extracting%20Roots.pdf
}}

*{{Cita xornal
|last= Szekeres
|first= George
|author-link= George Szekeres
|year= 1970
|title= Multidimensional continued fractions
|journal= Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.
|volume= 13
|pages= 113–140
}}

*{{Cita xornal
|last= Von Koch
|first= Helge
|author-link= Helge von Koch
|year= 1895
|title= Sur un théorème de Stieltjes et sur les fonctions définies par des fractions continues
|journal= Bulletin de la Société Mathématique de France
|volume= 23
|pages= 33–40
|doi= 10.24033/bsmf.508
|jfm=26.0233.01
}}

*{{Cita libro
|last= Wall
|first= Hubert Stanley
|author-link= Hubert Stanley Wall
|year= 1967
|title= Analytic Theory of Continued Fractions
|url= https://archive.org/details/analytictheoryof0000wall
|edition= Reprint
|publisher= Chelsea Pub Co
|isbn= 0-8284-0207-8
}} (This reprint of the D. Van Nostrand edition of 1948 covers both history and analytic theory.)

*{{Cita libro
|last= Wallis
|first= John
|author-link= John Wallis
|year= 1699
|title= Opera mathematica
|trans-title= Mathematical Works
}}

{{Refend}}
===Ligazóns externas ===

* The [http://assets.cambridge.org/052181/8052/sample/0521818052ws.pdf first twenty pages] of Steven R. Finch, ''Mathematical Constants'', [[Cambridge University Press]], 2003, {{ISBN|0-521-81805-2}}, contains generalized continued fractions for {{sqrt|2}} and the golden mean.
*{{OEIS|id=A133593}} "Exact" continued fraction for Pi}}

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Teoría de números]]