Ver o código fonte de «Forma cadrática»

En [[matemáticas]], unha '''forma cadrática''' é un [[polinomio]] con termos todos de [[Grao dun polinomio|grao]] dous (un [[polinomio homoxéneo]] de grao 2). Por exemplo, <math display="block">4x^2 + 2xy - 3y^2</math>

é unha forma cadrática nas variábeis {{Mvar|x}} e {{Mvar|y}}. Os coeficientes adoitan pertencer a un [[Corpo (álxebra)|corpo]] fixo {{Mvar|K}}, como os números [[Número real|reais]] ou [[Número complexo|complexos]], e fálase dunha forma cadrática sobre {{Mvar|K}}. Se {{Math|1=''K'' = '''R'''}}, e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.

As formas cadráticas non se deben confundir cunha [[Ecuación de segundo grao|ecuación cadrática]], que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de [[Polinomio homoxéneo|polinomios homoxéneos]].

== Introdución ==
As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en {{Math|''n''}} variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse '''unarias''', '''binarias''' e '''ternarias''' e teñen a seguinte forma explícita: <math display="block">\begin{align}
   q(x) &= ax^2&&\textrm{(unaria)} \\
  q(x,y) &= ax^2 + bxy + cy^2&&\textrm{(binaria)} \\
 q(x,y,z) &= ax^2 + bxy + cy^2 + dyz + ez^2 + fxz&&\textrm{(ternaria)}
\end{align}</math>
onde {{Math|''a''}} , ... , {{Math|''f''}} son os '''coeficientes'''.<ref>Unha tradición que se remonta a [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] dita o uso de coeficientes manifestamente pares para os produtos de distintas variábeis, é dicir, {{Math|2''b''}} en lugar de {{Math| ''b''}} en formas binarias e {{Math|2''b''}}, {{Math|2''d''}}, {{Math|2''f''}} en lugar de {{Math|''b''}}, {{Math|''d''}}, {{Math|''f''}} en formas ternarias. Ambas convencións ocorren na literatura.</ref>

Usando [[coordenadas homoxéneas]], unha forma cadrática distinta de cero en {{Math|''n''}} variábeis define unha [[Cádrica (xeometría proxectiva)|cádrica]] {{Math|(''n'' − 2)}} dimensional no [[espazo proxectivo]] {{Math|(''n'' − 1)}} dimensional. Esta é unha construción básica en [[xeometría proxectiva]]. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como [[Sección cónica|seccións cónicas]]. Un exemplo é o [[espazo euclidiano]] tridimensional e o [[Cadrado (álxebra)|cadrado]] da [[Espazo euclidiano|norma euclidiana]] que expresa a [[distancia]] entre un punto con coordenadas {{Math|(''x'', ''y'', ''z'')}} e a orixe: <math display="block">q(x,y,z) = d((x,y,z), (0,0,0))^2 = \left\|(x,y,z)\right\|^2 = x^2 + y^2 + z^2.</math>

== Matriz simétrica asociada ==
Calquera matriz {{Math|''n'' × ''n''}} denotada por {{Math|''A''}} determina unha forma cadrática {{Math|''q''<sub>''A''</sub>}} en {{Math|''n''}} variábeis por 
:<math>q_A(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_i}{x_j} = \mathbf x^\mathsf{T} A \mathbf x, </math> onde {{Math|1=''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)}}.

=== Exemplo ===
Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis {{Math|''x'', ''y'', ''z''}}. A matriz {{Mvar|A}} ten a forma 
:<math>A=\begin{bmatrix}
 a&b&c\\d&e&f\\g&h&k
\end{bmatrix}.</math>

A fórmula anterior dá 
:<math>q_A(x,y,z)=ax^2 + ey^2 +kz^2 + (b+d)xy + (c+g)xz + (f+h)yz.</math>

Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas {{Math|''b'' + ''d''}}, {{Math|''c'' + ''g''}} e máis {{Math|''f'' + ''h''}}. En particular, a forma cadrática {{Math|''q''<sub>''A''</sub>}} está definida por unha [[matriz simétrica]] única 
<math>A=\begin{bmatrix}
 a&\frac{b+d}2&\frac{c+g}2\\
 \frac{b+d}2&e&\frac{f+h}2\\
 \frac{c+g}2&\frac{f+h}2&k
\end{bmatrix}.</math>

Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.

=== Caso xeral ===
Dada unha forma cadrática {{Math|''q''<sub>''A''</sub>}}, definida pola matriz {{Math|1=''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)}}, a matriz 
:<math>B = \left(\frac{a_{ij}+a_{ji}} 2\right)</math>
é [[Matriz simétrica|simétrica]], define a mesma forma cadrática que {{Mvar|A}}, e é a única matriz simétrica que define {{Math|''q''<sub>''A''</sub>}}.

Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] de [[Característica (álxebra)|característica]] diferente de dous), hai unha [[Bixectiva|correspondencia un a un]] entre as formas cadráticas e [[Matriz simétrica|as matrices simétricas]] que as determinan.

== Formas cadráticas reais ==
Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un [[Aplicación linear|cambio linear de variábeis]].

[[Carl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]] demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha [[diagonalización ortogonal]]; é dicir, un [[Transformación ortogonal|cambio ortogonal de variábeis]] que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal" 
:<math> \lambda_1 \tilde x_1^2 + \lambda_2 \tilde x_2^2 + \cdots + \lambda_n \tilde x_n^2,</math>
onde a matriz simétrica asociada é [[Matriz diagonal|diagonal]]. A maiores, os coeficientes {{Math|''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>}}  determínanse unicamente ata unha [[permutación]].<ref>[[Maxime Bôcher]] (with E.P.R. DuVal)(1907) ''Introduction to Higher Algebra'', [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b4248862;view=1up;seq=147 § 45 Reduction of a quadratic form to a sum of squares] via [[HathiTrust]]</ref>

Se o cambio de variábeis vén dado por unha [[matriz invertíbel]] que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes {{Math|''λ''<sub>''i''</sub>}} son 0, 1 ou −1. A [[lei de inercia de Sylvester]] estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son [[invariante|invariantes]] da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A '''sinatura''' da forma cadrática é a terna {{Math|(''n''<sub>0</sub>, ''n''<sub>+</sub>, ''n''<sub>−</sub>)}}, onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.

O caso no que todos {{Math|''λ''<sub>''i''</sub>}} teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase '''definida positiva''' (todo 1) ou '''definida negativa''' (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma '''non dexenerada'''; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma ''bilinear'' non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice {{Math|(''p'', ''q'')}} (onde {{Math|''p''}} denota o número de 1s e {{Math|''q''}} denota o número de −1s) é a miúdo escrito como {{Math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} particularmente na teoría física do [[espazo-tempo]].

Tamén se pode definir o [[Discriminante|discriminante dunha forma cadrática]], concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en {{Math|''K'' / (''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}} (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis  forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos, {{Math|(−1)<sup>''n''<sub>−</sub></sup>}} .

Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.

Sexa {{Math|''q''}} unha forma cadrática definida nun espazo vectorial [[Número real|real]] {{Math|''n''}}-dimensional. Sexa {{Math|''A''}} a matriz da forma cadrática {{Math|''q''}} nunha base dada. Isto significa que {{Math|''A''}} é unha matriz {{Math|''n'' × ''n''}} simétrica tal que
:<math>q(v) = x^\mathsf{T} Ax,</math>
onde ''x'' é o vector columna de coordenadas de {{Math|''v''}} na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna {{Math|''x''}} multiplícase pola esquerda por unha [[matriz invertíbel]] {{Math|''S''}}, {{Math|''n'' × ''n''}}, e a matriz cadrada simétrica {{Math|''A''}} transfórmase noutra matriz cadrada simétrica {{Math|''B''}} do mesmo tamaño segundo a fórmula
:<math> A\to B=S^\mathsf{T}AS.</math>

Calquera matriz simétrica {{Math|''A''}} pode transformarse nunha matriz diagonal 
:<math> B=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}</math>
mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal {{Math|''S''}}, e as entradas diagonais de {{Math|''B''}} determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que {{Math|''S''}} sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que {{Math|''B''}} teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo ({{Math|''n''<sub>0</sub>}} para 0, {{Math|''n''<sub>+</sub>}} para 1 e {{Math|''n''<sub>−</sub>}} para −1) depende só de {{Math|''A''}}. Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números {{Math|''n''<sub>+</sub>}} e {{Math|''n''<sub>−</sub>}} chámanse '''índices de inercia''' '''positivo''' e '''negativo'''. Aínda que a súa definición implicaba unha elección de unha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real {{Math|''A''}}, a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática {{Math|''q''}}.

== Definicións ==
Unha '''forma cadrática''' sobre un corpo {{Math|''K''}} é un mapa {{Math|''q'' : ''V'' → ''K''}} dun espazo vectorial de dimensión finita en {{Math|''K''}} tal que {{Math|1=''q''(''av'') = ''a''<sup>2</sup>''q''(''v'')}} para todo {{Math|''a'' ∈ ''K''}}, {{Math|''v'' ∈ ''V''}} e a función {{Math|''q''(''u'' + ''v'') − ''q''(''u'') − ''q''(''v'')}} é bilinear.

Máis concretamente, unha '''forma cadrática''' {{Math|''n''}}-aria sobre un corpo {{Math|''K''}} é un [[polinomio homoxéneo]] de grao 2 en {{Math|''n''}} variábeis con coeficientes en {{Math|''K''}}: 
:<math>q(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_i}{x_j}, \quad a_{ij}\in K.</math>

Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa {{Math|''x''}} o vector columna con compoñentes {{Math|''x''<sub>1</sub>}}, ... , {{Math|''x''<sub>''n''</sub>}} e sexa {{Math|1=''A'' = (''a''<sub>''ij''</sub>)}} a matriz {{Math|''n'' × ''n''}} sobre {{Math|''K''}} cuxas entradas son os coeficientes de {{Math|''q''}}. Entón 
:<math> q(x) = x^\mathsf{T} A x.</math>

Un vector {{Math|1=''v'' = (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} é un vector nulo se {{Math|1=''q''(''v'') = 0}}.

Dúas formas cadráticas {{Math|''n''}}-arias {{Math|''φ''}} e {{Math|''ψ''}} sobre {{Math|''K''}} son '''equivalentes''' se existe unha transformación linear non singular {{Math|''C'' ∈ [[General linear group|GL]](''n'', ''K'')}} tal que 
:<math> \psi(x) = \varphi(Cx).</math>

Sexa a [[Característica (álxebra)|característica]] de {{Math|''K''}} diferente de 2.{{Refn|A teoría das formas cadráticas sobre un corpo de característica 2 ten diferenzas importantes e hai que modificar moitas definicións e teoremas.}} A matriz de coeficientes {{Math|''A''}} de {{Math|''q''}} pode substituírse pola [[matriz simétrica]] {{Math|(''A'' + ''A''<sup>T</sup>)/2}} coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que {{Math|''A''}} é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica {{Math|''A''}} está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia {{Math|''C''}}, a matriz simétrica {{Math|''A''}} de {{Math|''φ''}} e a matriz simétrica {{Math|''B''}} de {{Math|''ψ''}} están relacionadas do seguinte xeito: 
:<math> B = C^\mathsf{T} A C.</math>

A '''forma bilinear asociada''' dunha forma cadrática {{Math|''q''}} defínese por 
:<math> b_q(x,y)=\tfrac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y)) = x^\mathsf{T}Ay = y^\mathsf{T}Ax.</math>

Así, {{Math|''b''<sub>''q''</sub>}} é unha [[forma bilinear simétrica]] sobre {{Math|''K''}} con matriz {{Math|''A''}}. Pola contra, calquera forma bilinear simétrica {{Math|''b''}} define unha forma cadrática 
:<math> q(x)=b(x,x),</math> 
e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en {{Math|''n''}} variábeis son esencialmente as mesmas.

=== Espazo cadrático ===
Dado un [[espazo vectorial]] {{Math|''n''}}-dimensional {{Math|''V''}} sobre un corpo {{Math|''K''}}, unha ''forma cadrática'' en {{Math|''V''}} é unha [[función]] {{Math|''Q'' : ''V'' → ''K''}} que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función {{Math|''q''}} que mapea as coordenadas de {{Math|''v'' ∈ ''V''}} en {{Math|''Q''(''v'')}} é unha forma cadrática. En particular, se {{Math|1=''V'' = ''K''<sup>''n''</sup>}} coa súa [[base estándar]], temos 
:<math> q(v_1,\ldots, v_n)= Q([v_1,\ldots,v_n])\quad \text{para} \quad [v_1,\ldots,v_n] \in K^n.</math>

As fórmulas de [[cambio de base]] mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en {{Math|''V''}}, aínda que a forma cadrática {{Math|''q''}} depende da elección da base.

Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase '''espazo cadrático''' .

O mapa {{Math|''Q''}} é unha [[función homoxénea]] de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo {{Math|''a''}} en {{Math|''K''}} e {{Math|''v''}} en {{Math|''V''}}: 
:<math> Q(av) = a^2 Q(v).</math>

Cando a característica de {{Math|''K''}} non é 2, o mapa bilinear {{Math|''B'' : ''V'' × ''V'' → ''K''}} sobre {{Math|''K''}} defínese: 
:<math> B(v,w)= \tfrac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).</math>
Esta forma bilinear {{Math|''B''}} é simétrica. É dicir, {{Math|1=''B''(''x'', ''y'') = ''B''(''y'', ''x'')}} para todo {{Math|''x''}}, {{Math|''y''}} en {{Math|''V''}}, e determina {{Math|''Q''}}: {{Math|1=''Q''(''x'') = ''B''(''x'', ''x'')}} para todo {{Math|''x''}} en {{Math|''V''}}.

O par {{Math|(''V'', ''Q'')}} formado por un espazo vectorial de dimensión finita {{Math|''V''}} sobre {{Math|''K''}} e un mapa cadrático {{Math|''Q''}} de {{Math|''V''}} en {{Math|''K''}} chámase '''espazo cadrático''', e {{Math|''B''}} tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a {{Math|''Q''}}. A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces, {{Math|''Q''}} tamén se denomina forma cadrática.

Dous espazos cadráticos de dimensión {{Math|''n''}}  {{Math|(''V'', ''Q'')}} e {{Math|(''V''′, ''Q''′)}} son '''isométricos''' se existe unha transformación linear invertíbel {{Math|''T'' : ''V'' → ''V''′}} ('''isometría''') tal que 
:<math> Q(v) = Q'(Tv) \text{ para todo } v\in V.</math>

As clases de isometría de espazos cadráticos {{Math|''n''}}-dimensionais sobre {{Math|''K''}} corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas  {{Math|''n''}}-arias sobre {{Math|''K''}}.

=== Conceptos relacionados ===
Dous elementos {{Math|''v''}} e {{Math|''w''}} de {{Math|''V''}} chámanse '''[[Ortogonal|ortogonais]]''' se {{Math|1=''B''(''v'', ''w'') = 0}}. O '''kernel''' dunha forma bilinear {{Math|''B''}} está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de {{Math|''V''}}. {{Math|''Q''}} é '''non singular''' se o kernel da súa forma bilinear asociada é {{Math|{{mset|0}}}}. Se existe un {{Math|''v''}} distinto de cero en {{Math|''V''}} tal que {{Math|1=''Q''(''v'') = 0}}, a forma cadrática {{Math|''Q''}} é '''[[Forma cadrática isotrópica|isotrópica]]''', doutro modo é '''[[Forma cadrática definida|definida]]'''. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de {{Math|''Q''}} a un subespazo {{Math|''U''}} de {{Math|''V''}} é idéntico a cero, entón {{Math|''U''}} é '''totalmente singular'''.

O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular {{Math|''Q''}} é o grupo dos automorfismos lineares de {{Math|''V''}} que conservan {{Math|''Q''}}: é dicir, o grupo de isometrías de {{Math|(''V'', ''Q'')}} en si mesmo.

Se un espazo cadrático {{Math|(''A'', ''Q'')}} ten un produto polo que {{Math|''A''}} é unha [[álxebra sobre un corpo]] e cumpre 
:<math>\forall x, y \isin A \quad Q(x y) = Q(x) Q(y),</math>
entón é unha [[álxebra de composición]].

== Equivalencia de formas ==
Toda forma cadrática {{Math|''q''}} en {{Math|''n''}} variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha '''forma diagonal''' 
:<math>q(x)=a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2+ \cdots +a_n x_n^2.</math>

Tal forma diagonal é a miúdo denotada como {{Math|{{angbr|''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>}}}}. A clasificación de todas as formas cadráticas ata  equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais.

== Significado xeométrico ==
Usando [[Sistema de coordenadas cartesianas|coordenadas cartesianas]] en tres dimensións, sexa {{Math|1='''x''' = (''x'', ''y'', ''z'')<sup>T</sup>}}, e sexa {{Math|''A''}} unha matriz [[Matriz simétrica|simétrica]] de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación {{Math|1='''x'''<sup>T</sup>''A'''''x''' + '''b'''<sup>T</sup>'''x''' = 1}} depende dos eigenvalores da matriz {{Math|''A''}}.

Se todos os [[Valor propio, vector propio e espazo propio|eigenvalores]] de {{Math|''A''}} son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un [[elipsoide]] ou un [[hiperboloide]].  Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un ''elipsoide imaxinario'' (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.

Se existen un ou máis valores propios {{Math|1=''λ''<sub>''i''</sub> = 0}}, entón a forma depende do {{Math|''b''<sub>''i''</sub>}} correspondente. Se o correspondente {{Math|''b''<sub>''i''</sub> ≠ 0}} , entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente {{Math|1=''b''<sub>''i''</sub> = 0}}, entón a dimensión {{Math|''i''}} dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de {{Math|'''b'''}}. Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico.

== Formas cadráticas integrais ==
As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse '''formas cadráticas integrais''', mentres que os módulos correspondentes son '''retículas cadráticas'''. Xogan un papel importante na [[teoría de números]] e na [[topoloxía]].

Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como {{Math|''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>}}; de forma equivalente, dada unha retícula {{Math|Λ}} nun espazo vectorial {{Math|''V''}} (sobre un corpo con característica 0, como {{Math|'''Q'''}} ou {{Math|'''R'''}}), unha forma cadrática {{Math|''Q''}} é integral ''en relación a'' {{Math|Λ}} se e só se ten un valor enteiro en {{Math|Λ}}, o que significa {{Math|''Q''(''x'', ''y'') ∈ '''Z'''}} se {{Math|''x'', ''y'' ∈ Λ}}.

Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.

=== Formas cadráticas universais ===
Unha forma cadrática integral cuxa imaxe consta de todos os enteiros positivos chámase ás veces ''universal''. O [[teorema dos catro cadrados de Lagrange]] mostra que {{Math|''w''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>}} é universal. [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] xeneralizou este {{Math|''aw''<sup>2</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cy''<sup>2</sup> + ''dz''<sup>2</sup>}} e atopou 54 multiconxuntos {{Math|{{mset|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}}}} que poden xerar todos os números enteiros positivos, propiamente,
{{Plainlist|* {{math|{{mset|1, 1, 1, ''d''}}, 1 ≤ ''d'' ≤ 7}}
* {{math|{{mset|1, 1, 2, ''d''}}, 2 ≤ ''d'' ≤ 14}}
* {{math|{{mset|1, 1, 3, ''d''}}, 3 ≤ ''d'' ≤ 6}}
* {{math|{{mset|1, 2, 2, ''d''}}, 2 ≤ ''d'' ≤ 7}}
* {{math|{{mset|1, 2, 3, ''d''}}, 3 ≤ ''d'' ≤ 10}}
* {{math|{{mset|1, 2, 4, ''d''}}, 4 ≤ ''d'' ≤ 14}}
* {{math|{{mset|1, 2, 5, ''d''}}, 6 ≤ ''d'' ≤ 10}}}}
Tamén hai formas cuxa imaxe está formada por todos os enteiros positivos menos un. Por exemplo, {{math|{{mset|1, 2, 5, 5}}}} ten o 15 como excepción. Recentemente, os [[15 e 290 teoremas|teoremas 15 e 290]] caracterizaron completamente as formas cadráticas integrais universais: se todos os coeficientes son enteiros, entón representa a todos os enteiros positivos se e só se representa todos os enteiros ata 290; se ten unha matriz de enteiros, representa todos os enteiros positivos se e só se representa todos os números enteiros ata 15.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
 
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro
  | last=O'Meara | first=O.T. | author-link=O. Timothy O'Meara
  | year=2000
  | title=Introduction to Quadratic Forms
  | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York
  | isbn=978-3-540-66564-9
  }}
* {{cita libro
  | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link= John Horton Conway
  | last2=Fung | first2=Francis Y. C.
  | year=1997
  | title=The Sensual (Quadratic) Form
  | url=https://archive.org/details/sensualquadratic0026conw | publisher=The Mathematical Association of America
  | series=Carus Mathematical Monographs
  | isbn=978-0-88385-030-5
  }}
* {{cita libro
  | last1 = Shafarevich | first1 = I. R. | author-link1 = Igor Shafarevich
  | last2 = Remizov | first2=A. O.
  | year = 2012
  | title = Linear Algebra and Geometry
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | url = https://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-3-642-30993-9
  | isbn = 978-3-642-30993-9
  }}
* {{cita libro | first=J.W.S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=Rational Quadratic Forms | series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 }}
* {{cita libro | last=Kitaoka | first=Yoshiyuki | title=Arithmetic of quadratic forms | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=106 | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-40475-4 | zbl=0785.11021 }}
* {{cita libro | first=Tsit-Yuen | last=Lam | author-link=Tsit Yuen Lam | year=2005 | title=Introduction to Quadratic Forms over Fields | volume=67 | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929 }}
* {{cita libro | first1=J. | last1=Milnor | author1-link=John Milnor| first2=D. | last2=Husemoller | year=1973 | title=Symmetric Bilinear Forms | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]] | volume=73 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-540-06009-X | zbl=0292.10016 }}
* {{cita libro | last=O'Meara | first=O.T. | author-link=O. Timothy O'Meara | year=1973 | title=Introduction to quadratic forms | series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume=117 | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=3-540-66564-1 | zbl=0259.10018 }}
* {{cita libro | last=Pfister | first=Albrecht | author-link=Albrecht Pfister (mathematician) | year=1995 | title=Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology | series=London Mathematical Society lecture note series | volume=217 | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-46755-1 | zbl=0847.11014 |url=https://archive.org/details/quadraticformswi0000pfis }}
=== Outros artigos ===
* [[Teorema de Hasse–Minkowski]]
* [[Cádrica]]
* [[Forma ternaria cadrática de Ramanujan]]
=== Ligazóns externas ===
* {{eom|id=q/q076080|author=A.V.Malyshev|title=Quadratic form}}
* {{eom|id=b/b016370|author=A.V.Malyshev|title=Binary quadratic form}}
{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra lineal]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]