Ver o código fonte de «Factorial descendente e ascendente»

En [[matemáticas]], o '''factorial descendente''', <ref name=Steffensen>
{{cita libro
 | last = Steffensen | first = J.F. | author-link = Johan Frederik Steffensen
 | date = 17 de marzo de 2006
 | title = Interpolation
 | url = https://archive.org/details/interpolation0000stef_f9u3 | publisher = Dover Publications | edition = 2nd
 | isbn = 0-486-45009-0
 | page = [https://archive.org/details/interpolation0000stef_f9u3/page/8 8]
}} — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
</ref>  defínese como o polinomio,<math display="block">
\begin{align}
(x)_n = x^\underline{n} &= \overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}^{n\text{ factores}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x-k+1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x-k) .
\end{align}</math>O '''factorial ascendente''' (ás veces chamado '''función de Pochhammer''' <ref name="Steffensen">
 </ref>) defínese como<math display="block">
\begin{align}
x^{(n)} = x^\overline{n} &= \overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}^{n\text{ factores}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x+k-1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) .
\end{align}</math>En ambos os casos o valor é 1 cando {{Nowrap|{{math|''n'' {{=}} 0}}}}. Estes símbolos chámanse colectivamente '''potencias factoriais'''.<ref name="Graham-Knuth-Patashnik-1988">
{{cita libro
 |first1=Ronald L. |last1=Graham    |author1-link=Ronald L. Graham
 |first2=Donald E. |last2=Knuth     |author2-link=Donald E. Knuth
 |first3=Oren      |last3=Patashnik |author3-link=Oren Patashnik
 |year=1988
 |title=[[Concrete Mathematics]]
 |publisher=Addison-Wesley
 |place=Reading, MA
 |isbn=0-201-14236-8
 |pages=47, 48, 52
}}
</ref>

O '''símbolo de Pochhammer''', introducido por [[Leo August Pochhammer]], é a notación {{Math|(''x''){{sub|''n''}}}}, onde {{Mvar|n}} é un [[Número natural|número enteiro non negativo]]. Pode representar o factorial ascendente ''ou'' descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente {{Math|(''x''){{sub|''n''}}}} con outro significado, a saber, para denotar o [[coeficiente binomial]] <math>\tbinom{x}{n}.</math> <ref name=Knuth>
{{cita libro
 |last=Knuth |first=D.E.  |author-link=Donald Knuth
 |year=1992
 |title=Two notes on notation
 |journal=[[American Mathematical Monthly]]
 |volume=99 |issue=5 |pages=403–422
 |arxiv=math/9205211 |doi=10.2307/2325085
 |jstor=2325085 
}} The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
</ref>

Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo {{Math|(''x''){{sub|''n''}}}} úsase para representar o factorial descendente e o símbolo {{Math|''x''{{sup|(''n'')}}}} para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en [[combinatoria]], <ref>
{{cita libro
 |last=Olver |first=P.J. |author-link=Peter J. Olver
 |year=1999
 |title=Classical Invariant Theory
 |url=https://archive.org/details/classicalinvaria0000olve |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=0-521-55821-2 |mr=1694364
 |page=[https://archive.org/details/classicalinvaria0000olve/page/101 101]
}}
</ref> aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de [[Donald Knuth|Knuth]] <math>x^\underline{n}</math> e <math>x^\overline{n}</math> son cada vez máis populares.
<ref>
{{cita libro
 |last1=Harris
 |last2=Hirst
 |last3=Mossinghoff
 |year=2008
 |title=Combinatorics and Graph Theory 
 |publisher=Springer
 |isbn=978-0-387-79710-6
 |at=ch.&nbsp;2
}}
</ref>
Son moi usados na [[función hiperxeométrica]].

== Exemplos e interpretación combinatoria ==
Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes:<math display="block">
\begin{alignat}{2}
(x)_0 & &&= 1 \\
(x)_1 & &&= x \\
(x)_2 &= x(x-1) &&= x^2-x \\
(x)_3 &= x(x-1)(x-2) &&= x^3-3x^2+2x \\
(x)_4 &= x(x-1)(x-2)(x-3) &&= x^4-6x^3+11x^2-6x
\end{alignat}</math>Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes:<math display="block">
\begin{alignat}{2}
x^{(0)} & &&= 1 \\
x^{(1)} & &&= x \\
x^{(2)} &= x(x+1) &&=x^2+x \\
x^{(3)} &= x(x+1)(x+2) &&=x^3+3x^2+2x \\
x^{(4)} &= x(x+1)(x+2)(x+3) &&=x^4+6x^3+11x^2+6x
\end{alignat}</math>Os coeficientes que aparecen nas expansións son os [[números de Stirling do primeiro tipo]].

== Propiedades ==
Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple:<math display="block">
\begin{alignat}{2}
{(x)}_n &= {(x-n+1)}^{(n)} &&= (-1)^n (-x)^{(n)},\\
x^{(n)} &= {(x+n-1)}_{n} &&= (-1)^n (-x)_n.
\end{alignat}</math>Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co [[factorial]] ordinario:<math display="block">
\begin{align}
n! &= 1^{(n)} = (n)_n,\\[6pt]
(m)_n &= \frac{m!}{(m-n)!},\\[6pt]
m^{(n)} &= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}.
\end{align}</math>Os factoriais descendentes e crecentes pódense usar para expresar un [[coeficiente binomial]]:<math display="block">
\begin{align}
\frac{(x)_n}{n!} &= \binom{x}{n},\\[6pt]
\frac{x^{(n)}}{n!} &= \binom{x+n-1}{n}.
\end{align}</math>O factorial descendente pódese estender a valores [[Número real|reais]] de {{Mvar|x}} usando a [[función gamma]] sempre que {{Mvar|x}} e {{Math|''x'' + ''n''}} sexan números reais que non son enteiros negativos:<math display="block">
(x)_n = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}\ ,
</math>e tamén pode o factorial ascendente:<math display="block">
x^{(n)} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\ .
</math>O factorial ascendente tamén está na definición da [[función hiperxeométrica]]: A función hiperxeométrica defínese para {{Math|{{abs|''z''}} < 1}} pola [[Serie de potencia|serie de potencias]]<math display="block">
{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}} \frac{z^n}{n!}
</math>sempre que {{Nowrap|{{math|''c'' ≠ 0, −1, −2, ...}} .}} Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación {{Math|(''a''){{sub|''n''}}}} para factoriais ascendentes.

== Notacións alternativas ==
Unha notación alternativa para o factorial ascendente<math display="block">
x^\overline{m} \equiv (x)_{+m} \equiv (x)_m = \overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ factores}} \quad \text{para enteiros } m\ge0 </math>e para o factorial descendente<math display="block">
x^\underline{m} \equiv (x)_{-m} = \overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ factores}} \quad \text{para enteiros } m \ge 0</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
*[[:en:Pochhammer k-symbol|Pochhammer {{mvar|k}}-symbol]]
*[[Identidade de Vandermonde]]
=== Ligazóns externas ===
* {{MathWorld |title=Pochhammer Symbol |urlname=PochhammerSymbol}}
* {{cite web |title=A Compilation of mathematical demonstrations |website=scribd.com |url=https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations  |urlmorta=si <!-- presumed --> |archive-url=https://web.archive.org/web/20160214031616/https://www.scribd.com/doc/288367437/A-Compilation-of-Mathematical-Demonstrations |archive-date=2016-02-14}} — Elementary proofs

{{control de autoridades}}

[[Categoría:Aritmética]]
[[Categoría:Álxebra]]