Ver o código fonte de «Ecuación funcional»


En [[matemáticas]], unha '''ecuación funcional''' <ref name="rassias">{{cita libro | title=Functional Equations and Inequalities | last=Rassias | first=Themistocles M. | year=2000 | publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] | location=3300 AA Dordrecht, The Netherlands | isbn=0-7923-6484-8 | page= 335 | url=https://books.google.com/books?id=tFTFBAAAQBAJ&q=%22Introduction+to+the+Theory+of+Functional+Equations+and+Inequalities%22 }}</ref> é, no sentido máis amplo, unha [[ecuación]] na que unha ou varias funcións aparecen como [[Ecuación|descoñecidas]]. No entanto, adoita empregarse un significado máis restrinxido, onde unha ''ecuación funcional'' é unha ecuación que relaciona varios valores da mesma función. Por exemplo, as [[Logaritmo|funcións logarítmicas]] [[Logaritmo|caracterízanse esencialmente]] pola ''ecuación funcional logarítmica'' <math>\log(xy)=\log(x) + \log(y).</math>

Se se supón que o [[Dominio de definición|dominio]] da función descoñecida son os [[Número natural|números naturais]], a función é xeralmente vista como unha [[Sucesión (matemáticas)|secuencia]], e, neste caso, unha ecuación funcional (no significado máis estreito) chámase relación de recorrencia. O termo ''ecuación funcional'' úsase principalmente para funcións reais e [[Análise complexa|funcións complexas]]. Ademais, moitas veces asúmese unha condición de suavidade para as solucións, xa que sen tal condición, a maioría das ecuacións funcionais teñen solucións moi irregulares. Por exemplo, a [[función gamma]] é unha función que satisfai a ecuación funcional <math>f (x + 1) = x f (x)</math> e o valor inicial <math>f (1) = 1.</math> Hai moitas funcións que satisfan estas condicións, mais a función gamma é a única que é [[Función meromorfa|meromorfa]]  en todo o plano complexo, e logarítmicamente convexa para {{Mvar|x}} real e positivo ([[Teorema de Bohr-Mollerup|teorema de Bohr–Mollerup]]).

== Exemplos ==

* [[Relación de recorrencia|As relacións de recorrencia]] pódense ver como ecuacións funcionais en funcións sobre enteiros ou números naturais, nas que as diferenzas entre os índices dos termos poden verse como unha aplicación do [[Operador de quendas|operador de desprazamento]]. Por exemplo, a relación de recorrencia que define os [[Sucesión de Fibonacci|números de Fibonacci]], <math>F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2}</math>, onde <math>F_0=0</math> e <math>F_1=1</math>.

* <math>f(x+P) = f(x)</math>, que caracteriza as [[Función periódica|funcións periódicas]].

* <math>f(x) = f(-x)</math>, que caracteriza as [[funcións pares e impares|funcións pares]], e así mesmo <math>f(x) = -f(-x)</math>, que caracteriza as [[funcións pares e impares|funcións impares]].

* <math>f(f(x)) = g(x)</math>, que caracteriza as raíces cadradas funcionais da función '''{{Mvar|g}}''' (que non coinciden coa función raíz cadrada).

*<math>f(x + y) = f(x) + f(y)\,\!</math> ([[ecuación funcional de Cauchy]]), satisfeita polos [[mapa linear|mapas lineares]]. A ecuación pode, en función do [[axioma de elección]], ter tamén outras solucións patolóxicas non lineares, cuxa existencia pode demostrarse cunha [[base de Hamel]] para os números reais.
*<math>f(x + y) = f(x)f(y), \,\!</math> satisfeito por todas as [[función exponencial|funcións exponenciais]]. Como a ecuación funcional aditiva de Cauchy, esta tamén pode ter solucións patolóxicas e descontinuas.
*<math>f(xy) = f(x) + f(y)\,\!</math>, satisfeito por todas as [[función logarítmica|funcións logarítmicas]] e, sobre os argumentos de enteiros primos, as [[función aditiva|funcións aditivas]].
*<math>f(xy) = f(x) f(y)\,\!</math>, satisfeito por todas as [[función de potencias|funcións de potencias]] e, sobre os argumentos de enteiros coprimos, as [[función multiplicativa|funcións multiplicativas]]
*<math>f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\!</math> (ecuación cadrática ou [[lei do paralelogramo]])
*<math>f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\!</math> ([[ecuación funcional de Jensen]])
*<math>g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\!</math> ([[ecuación funcional de d'Alembert]])
*<math>f(h(x)) = h(x + 1)\,\!</math> ([[ecuación de Abel]])
*<math>f(h(x)) = cf(x)\,\!</math> ([[ecuación de Schröder]]).
*<math>f(h(x)) = (f(x))^c\,\!</math> ([[ecuación de Böttcher]]).
*<math>f(h(x)) = h'(x)f(x)\,\!</math> ([[Ecuación de Schröder#Significación funcional|Ecuación de Julia]]).
*<math>f(xy) = \sum g_l(x) h_l(y)\,\!</math> (Levi-Civita),
*<math>f(x+y) = f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!</math> ([[Función trigonométrica#Identidades| fórmula de adición do seno]] e [[Función hiperbólica#relacións|fórmula de adición do seno hiperbólico]]),
*<math>g(x+y) = g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!</math> ([[Función trigonométrica#Identidades|fórmula de adición do coseno]]),
*<math>g(x+y) = g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!</math> ([[Función hiperbólica#relacións|fórmula do adición de coseno hiperbólico]]).
*As leis [[conmutativa]] e [[asociativa]] son ecuacións funcionais. Na súa forma familiar, a lei asociativa exprésase escribindo a [[operación binaria]] en [[notación infixa]], <math display="block">(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)~,</math> mais se escribimos ''f''(''a'',&thinsp;''b'') en lugar de {{math|''a'' ○ ''b''}} entón a lei asociativa parece máis unha ecuación funcional convencional, <math display="block">f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c)).</math>

* A ecuación funcional <math display="block">
f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
</math> é satisfeita pola [[función zeta de Riemann]], como se demostrou na mencionada páxina. A maiúscula {{math|Γ}} denota a [[función gamma]].

* A función gamma é a única solución do seguinte sistema de tres ecuacións:
**<math>f(x)={f(x+1) \over x}</math>
**<math>f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)</math>
**<math>f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}</math>{{espazos|10}}([[Leonhard Euler|Euler]] [[fórmula de reflexión]])
* A ecuación funcional <math display="block">f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math> onde {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} son enteiros que satisfán <math>ad - bc = 1</math>, é dicir, <math>
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}</math> = 1, define '''{{mvar|f}}''' como unha [[forma modular]] de orde {{mvar|k}}.

Á hora de pedir ''todas'' as solucións, pode darse o caso de que se apliquen condicións da [[análise matemática]]; por exemplo, no caso da ''ecuación de Cauchy'' mencionada anteriormente, as solucións que son [[Función continua|funcións continuas]] son as "razoables", mentres que se poden construír outras solucións que probablemente non teñan aplicación práctica (utilizando unha [[Base (álxebra linear)|base de Hamel]] para os [[Número real|números reais]] como [[espazo vectorial]] sobre os [[Número racional|números racionais]]). O [[teorema de Bohr-Mollerup]] é outro exemplo coñecido.

=== Involucións ===
As [[Involución (matemáticas)|involucións]] caracterízanse pola ecuación funcional <math>f(f(x)) = x</math> . Estas aparecen na ecuación funcional [[Charles Babbage|de Babbage]] (1820),<ref>{{Cita publicación periódica | doi = 10.2307/2007270| jstor = 2007270| title = On Certain Real Solutions of Babbage's Functional Equation| journal = The Annals of Mathematics| volume = 17| issue = 3| pages = 113–122| year = 1916| last1 = Ritt | first1 = J. F. | author1-link = Joseph Ritt}}</ref>

: <math>f(f(x)) = 1-(1-x) = x \, .</math>

== Solución ==
Un método para resolver ecuacións funcionais elementais é a substitución. 

Algunhas solucións de ecuacións funcionais aproveitaron seren funcións [[Sobrexectiva|sobrexectivas]] ou [[Inxectiva|inxectivas]], ou [[Función par e impar|funcións pares ou impares]].

Algunhas ecuacións funcionais foron resolvidas co uso de [[Ansatz|ansatzes]], e tamén con [[indución matemática]].

Na [[Programación dinámica (computación)|programación dinámica]] utilízanse unha variedade de métodos de aproximación sucesivas <ref>Bellman, R. (1957). Dynamic Programming, [[Princeton University Press]].</ref><ref>Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles, [[Taylor & Francis]].</ref>  para resolver a [[Ecuación de Bellman|ecuación funcional de Bellman]], incluíndo métodos baseados en [[Iteración de punto fixo|iteracións de punto fixo]].

=== Exemplo de solución ===
Solucionar <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math> sobre <math>\mathbb{Q}.</math><ref>{{cita libro|autor=Evan Chan|url= https://web.evanchen.cc/handouts/FuncEq-Intro/FuncEq-Intro.pdf|ano=2016|título=Introduction to Functional Equations}} </ref>

Probando <math>f(x) = kx + c </math>, atopamos <math>k(x+y)+c=kx+c+ky+c</math> o que implica <math>c = 0</math>, mais {{Mvar|k}} pode ser calquera cousa. Entón a nosa suposición é que a resposta é <math>f(x) = kx</math>.
Agora comezamos con <math>x=y=0</math> e obtemos <math>f(0) = 0</math>.

<math>x=y=1</math> e obtemos <math>f(2) = f(1)+f(1)=2k</math>.
<math>(x,y)=(2,1)</math> e obtemos <math>f(3) = f(2)+f(1)=3k</math>.
E así en xeral chegamos a <math>f(n) = nk</math>.

Para os enteiros negativos, con <math> x = -y </math> obtemos <math>f(x)+f(-x)=0</math>,

e así, f é impar, por tanto o resultado f(n) = kn vale para os enteiros negativos.

Para o resto de <math>\mathbb{Q}</math> facemos 
<math>f(\frac{1}{2}) + f(\frac{1}{2})= f(1)=k</math> onde <math>f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}k</math>.

E para  <math>\frac{p}{q}</math> facemos 
igual {{Mvar|q}} veces <math>f(\frac{p}{q}) + \cdots + f(\frac{p}{q})= f(p)=kp</math>, e por tanto <math>f(\frac{p}{q})= f(p)/q=k\dfrac{p}{q}</math>.

== Desigualdades funcionais ==
Do mesmo modo que podemos expresar unha ecuación funcional podemos expresar unha desigualdade funcional que terá os seus métodos característicos de resolución.

Por exemplo:<ref>{{cita libro|autor=Kin I. Li|url= https://www.math.hkust.edu.hk/excalibur/v21_n3_20180108.pdf|ano=2018|título=Functional Inequalities}} </ref> 
Non existe ningunha función limitada <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> con <math>f(1) > 0</math> que cumpra a desigualdade
<math>f(x+y)^2 \ge f(x)^2 + 2f(x y) + f(y)^2    </math>.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 




=== Bibliografía ===
*[[János Aczél (mathematician)|János Aczél]], ''[https://books.google.com/books?id=JEB0BFvRwrcC Lectures on Functional Equations and Their Applications]'', [[Academic Press]], 1966, reprinted by Dover Publications, {{ISBN|0486445232}}.
*János Aczél & J. Dhombres, ''[https://books.google.com/books?id=8EWnEh18rVgC&q=%22Functional+Equations+in+Several+Variables%22 Functional Equations in Several Variables]'', [[Cambridge University Press]], 1989.
*C. Efthimiou, ''Introduction to Functional Equations'', AMS, 2011, {{isbn|978-0-8218-5314-6}} ; [https://web.archive.org/web/20230603025341/http://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Efthimiou/100914book.pdf online].
*Pl. Kannappan, ''[https://books.google.com/books?id=SdZoCM2OeuIC&dq=%22Functional+Equations+and+Inequalities+with+Applications%22&pg=PA1 Functional Equations and Inequalities with Applications]'', Springer, 2009.
*[[Marek Kuczma]], ''[https://books.google.com/books?id=tFTFBAAAQBAJ&q=%22Introduction+to+the+Theory+of+Functional+Equations+and+Inequalities%22 Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities]'', second edition, Birkhäuser, 2009.
*Henrik Stetkær, ''[https://books.google.com/books?id=JzS7CgAAQBAJ&dq=%22Functional+Equations+on+Groups%22&pg=PR5 Functional Equations on Groups]'', first edition, World Scientific Publishing, 2013.
*{{cita libro|author=Christopher G. Small|title=Functional Equations and How to Solve Them|url=https://books.google.com/books?id=2D2RYbb22nMC|date=3 April 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-48901-8}}

=== Outros artigos ===
*[[Ecuación funcional (L-función)]]
*[[Ecuación de Bellman]]
*[[Ecuación diferencial funcional]]
=== Ligazóns externas ===
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe.htm Functional Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-fe.htm Functional Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20120227145129/http://www.imomath.com/tekstkut/funeqn_mr.pdf IMO Compendium text (archived)] on functional equations in problem solving.


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra]]