Ver o código fonte de «Distribución t de Student»

{{Outros homónimos|Distribución}}
{{Modelo de distribución de probabilidade
|nome       = Distribución t de Student
|tipo       =densidade
|pdf_image  =[[Ficheiro: Student densite best.JPG|325px]]<br>
|cdf_image  =[[Ficheiro:T distributionCDF.png|325px]]<br>
|parámetros = <math>\nu > 0\!</math> graos de liberdade (real)
|soporte    =<math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
|pdf        =<math>\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}\!</math>
|cdf =<math>\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)  \cdot\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)}
     \end{matrix}</math> onde <math>\,_2F_1 </math> é a función hiperxeométrica
|media =<math>0</math> para <math>\nu>1</math>, indefinida para outros valores
|mediana=<math>0</math>
|moda=<math>0</math>
| varianza   =<math>\frac{\nu}{\nu-2}\!</math> para <math>\nu>2</math>, indefinida para outros valores
|asimetría   = <math>0</math> para <math>\nu>3</math>
|curtose   =<math>\frac{6}{\nu-4}\!</math> para <math>\nu>4</math>
|entropía    =<math>\begin{matrix}
         \frac{\nu+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+\nu}{2}) 
               - \psi(\frac{\nu}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}</math>
* <math>\psi</math>: función digamma,  
* <math>B</math>: función beta
|mgf        =(Non definida)
|char=
|}}
A '''distribución t''' ('''de Student''') é unha [[distribución de probabilidade]] que xorde do problema de [[Estimación estatística|estimar]] a [[media aritmética|media]] dunha [[poboación estatística|poboación]] [[distribución normal|normalmente distribuída]] cando o [[tamaño da mostra]] é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a [[proba t de Student]] para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do [[intervalo de confianza]] para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o [[desvío estándar]] dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

== Caracterización ==
A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

:<math>T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu\ }} = Z \sqrt{ \frac{\nu\ }{V} }</math>

onde

* ''Z'' é unha [[variable aleatoria]] distribuída segundo unha [[distribución normal|normal]] típica (de media nula e [[varianza]] 1).
* ''V'' é unha variable aleatoria que segue unha [[distribución χ²]] con <math> \nu\ </math> graos de liberdade.
* ''Z'' e ''V'' son [[independencia estatística|independentes]]

Se ''μ'' é unha constante non nula, o cociente <math> \frac{Z+\mu}{\sqrt{V/\nu\ }} </math> é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade <math>\mu</math>.

== Aparición e especificacións da distribución ''t'' de Student ==
Supóñase que ''X''<sub>1</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub> son [[variable aleatoria|variables aleatorias]] [[independencia estatística|independentes]] distribuídas normalmente, con media μ e [[varianza]] σ<sup>2</sup>

Sexa

:<math>\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>

a media da mostra. Entón

:<math>Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math>

segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, [[William Sealy Gosset|Gosset]] estudou un cociente relacionado,

:<math>T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}},</math>

:<math>S ^ 2(x) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^ 2 </math>

é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de ''T'' é

:<math>f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}</math>

onde <math> \nu\ </math> é igual a  ''n'' − 1.

A distribución de ''T'' chámase agora a '''distribución-''t'' de Student'''.

O parámetro <math> \nu\ </math> representa o número de ''graos de liberdade''. A distribución depende de <math> \nu\ </math>, pero non de <math>\mu</math> ou <math>\sigma</math>, o que é moi importante na práctica.

== Intervalos de confianza derivados da distribución ''t'' de Student ==
O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na ''t'' de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media: <math> \overline X = \frac{S}{\sqrt{n}} </math>, sendo entón o intervalo de confianza para a media: <math> \overline{X} = \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} </math> .

Este resultado é o que se emprega no [[test de Student]]: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución ''t'' pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

<math> E(t(n))= 0</math> e <math>Var (t(n-1)) = n/(n-2)</math> para <math> n > 3 </math>
<math> E(t(n))= 0</math> e <math>Var (t(n-1)) = n/(n-2)</math> para <math> n > 3 </math>
<math> E(t(n))= 0</math> e <math>Var (t(n-1)) = n/(n-2)</math> para <math> n > 3 </math>
<math> E(t(n))= 0</math> e <math>Var (t(n-1)) = n/(n-2)</math> para <math> n > 3 </math>

== Historia ==
A distribución de Student foi descrita en [[1908]] por [[William Sealy Gosset]]. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, [[Guinness]], que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o [[pseudónimo]] de ''Student'' (“estudante”).<ref>{{cita publicación periódica|apelidos= Walpole |nome= Roland |apelidos2= Myers|nome2=Raymond|apelidos3=Ye|nome3=Keying |título= Probability and Statistics for Engineers and Scientists |ano= 2002 |editorial= Pearson Education }}</ref>

== Distribución t de Student non estandarizada ==
A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional <math>\mu</math> e outro de escala <math>\sigma</math>. O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:<ref name="Jackman" >{{cita libro |apelidos= Jackman |nome= Simon |título= Bayesian Analysis for the Social Sciences |url= https://archive.org/details/bayesianmodeling00jack |editorial= Wiley |ano=2009 |páxinas=[https://archive.org/details/bayesianmodeling00jack/page/n542 507]}}</ref>

:<math>p(x|\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1+\frac{1}{\nu}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} </math>

Equivalentemente, pode escribirse en termos de <math>\sigma^2</math> (correspondente á [[varianza]] en vez de ao [[desvío estándar]]):
:<math>p(x|\nu,\mu,\sigma^2) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\pi\nu\sigma^2}} \left(1+\frac{1}{\nu}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} </math>

Outras propiedades desta versión da distribución t son:<ref name="Jackman" />

:<math>
\begin{align}
\operatorname{E}(X) &= \mu \quad \quad \quad \text{para }\,\nu > 1 ,\\
\text{Var}(X) &= \sigma^2\frac{\nu}{\nu-2}\, \quad \text{para }\,\nu > 2 ,\\
\text{Moda}(X) &= \mu .
\end{align}
</math>

== Notas ==
{{listaref}}

== Véxase tamén ==
=== Ligazóns externas ===
* [http://tablas-estadisticas.blogspot.com/2010/06/t-de-student.html Tabla de distribución de t de Student]
* [http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/tstudent.pdf Prueba t de Student na UPTC de Colombia]
* [http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/mat.html Distribución t-Student: Puntos porcentuais para probabilidade superior]
* [https://web.archive.org/web/20131012014949/http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node11.php Cálculo da probabilidade dunha distribución t de Student] con [[Linguaxe de programación R|R (linguaxe de programación)]]

{{Control de autoridades}}

{{ORDENAR:t, distribución}}
[[Categoría:Distribucións continuas]]