Ver o código fonte de «Dimensión dun espazo vectorial»

[[Ficheiro:Dimension_levels.svg|miniatura| Un diagrama das dimensións 1, 2, 3 e 4]]
En [[matemáticas]], a '''dimensión''' dun [[espazo vectorial]] ''V'' é a [[cardinalidade]] (é dicir, o número de vectores) dunha [[Base (álxebra linear)|base]] de ''V'' sobre o seu [[Corpo (álxebra)|corpo]] base.<ref>{{cita libro|last=Itzkov|first=Mikhail|title=Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics|publisher=Springer|year=2009|isbn=978-3-540-93906-1|page=4|url=https://books.google.com/books?id=8FVk_KRY7zwC&pg=PA4}}</ref><ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 44, §2.36</ref> Ás veces chámase '''dimensión de Hamel''' ou '''dimensión alxébrica''' para distinguilo doutros tipos de [[dimensión]].

Para todo espazo vectorial existe unha base,{{Efn|se asumimos o [[axioma de escolla]]}} e todas as bases dun espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade;{{Efn|ver o [[teorema da dimensión para espazos vectoriais]]}} como resultado, a dimensión dun espazo vectorial defínese de forma única. dicimos <math>V</math> é de '''{{Visible anchor|dimensión finita}}''' se a dimensión de <math>V</math> é finita e de '''{{Visible anchor|dimensión infinita}}''' se a súa dimensión é [[Infinito|infinita]].

A dimensión do espazo vectorial <math>V</math> sobre o corpo <math>F</math> pódese escribir como <math>\dim_F(V)</math> ou como <math>[V : F],</math> lendo "dimensión de <math>V</math>sobre <math>F</math>". Cando <math>F</math> pódese inferir do contexto adoita escribirse <math>\dim(V)</math>.

== Exemplos ==
O espazo vectorial <math>\R^3</math> ten como base estándar
:<math>\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}</math>, 
e polo tanto <math>\dim_{\R}(\R^3) = 3.</math> De forma máis xeral, <math>\dim_{\R}(\R^n) = n,</math> e aínda máis en xeral, <math>\dim_{F}(F^n) = n</math> para calquera [[Corpo (álxebra)|corpo]] <math>F.</math>

Os [[Número complexo|números complexos]] <math>\Complex</math> son un espazo vectorial real e complexo; temos <math>\dim_{\R}(\Complex) = 2</math> e <math>\dim_{\Complex}(\Complex) = 1.</math> Podemos ver os complexos como un vector de dous números reais. Polo tanto, a dimensión depende do corpo base.

== Propiedades ==
Se <math>W</math> é un subespazo linear de <math>V</math> entón <math>\dim (W) \leq \dim (V).</math>

O espazo <math>\R^n</math> ten a base estándar <math>\left\{e_1, \ldots, e_n\right\},</math> onde <math>e_i</math> é a <math>i</math>-ésima columna da [[Matriz identidade|matriz de identidade]] correspondente . Polo tanto, <math>\R^n</math> ten dimensión <math>n.</math>

Calquera espazos vectoriais de dúas dimensións finitas sobre <math>F</math> coa mesma dimensión son [[Isomorfismo|isomorfos]]. Calquera mapa [[Función bixectiva|bixectivo]] entre as súas bases pódese estender de forma única a un mapa linear bixectivo entre os espazos vectoriais. Se <math>B</math> é algún conxunto, un espazo vectorial con dimensión <math>|B|</math> sobre <math>F</math> pódese construír do seguinte xeito: tomamos o conxunto <math>F(B)</math> de todas as funcións <math>f : B \to F</math> tal que <math>f(b) = 0</math> para todos menos finitamente moitos <math>b</math> en <math>B.</math> Estas funcións pódense sumar e multiplicar con elementos de <math>F</math> para obter o desexado espazo vectorial <math>F</math>l.

Un resultado importante sobre as dimensións vén dado polo [[teorema de rango-nulidade]] para [[Aplicación linear|mapas lineares]].

Se <math>F / K</math> é unha [[extensión de corpo]], entón <math>F</math> é en particular un espazo vectorial sobre <math>K.</math> Ademais, todo <math>F</math>-espazo vectorial <math>V</math> tamén é un <math>K</math>-espazo vectorial. As dimensións están relacionadas coa fórmula <math display="block">\dim_K(V) = \dim_K(F) \dim_F(V).</math>En particular, todo espazo vectorial complexo de dimensión <math>n</math> é un espazo vectorial real de dimensión <math>2n.</math>

Algunhas fórmulas relacionan a dimensión dun espazo vectorial coa [[cardinalidade]] do corpo base e a cardinalidade do propio espazo. Se <math>V</math> é un espazo vectorial sobre un corpo <math>F</math> e se a dimensión de <math>V</math> denotase por <math>\dim V,</math> entón:

: Se dim <math>V</math> é finito entón <math>|V| = |F|^{\dim V}.</math>
: Se dim <math>V</math> é infinito entón <math>|V| = \max (|F|, \dim V).</math>
== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=lower-alpha}}  
== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{Cita libro|last=Axler|first=Sheldon|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media| Springer]]|year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|location=|pages=|author-link=Sheldon Axler}}.
=== Outros artigos ===
* [[Dimensión de Krull]].
* [[Matriz (matemáticas)]].
=== Ligazóns externas ===
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-9-independence-basis-and-dimension/ Conferencia de álxebra linear do MIT sobre a independencia, a base e a dimensión de Gilbert Strang] no MIT OpenCourseWare

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra lineal]]