Ver o código fonte de «Conxunto de partes»

En [[matemáticas]], o '''conxunto de partes''' (ou '''conxunto potencia''') dun [[conxunto]] {{Mvar|S}} é o conxunto de todos [[Subconxunto|os subconxuntos]] de {{Mvar|S}}, incluíndo o [[conxunto baleiro]] e o propio {{Mvar|S}}{{Sfn|Weisstein}}. Na [[Teoría de conxuntos|teoría de conxuntos axiomáticos]] (como se desenvolve, por exemplo, nos axiomas [[ZFC]]), a existencia do conxunto de partes de calquera conxunto é [[Axioma|postulada]] polo [[axioma do conxunto de partes]].{{Sfn|Devlin|1979|p=50}} O conxunto de partes de {{Mvar|S}} denótase de varias maneiras como {{Math|{{itco|{{mathcal|P}}}}(''S'')}}, {{Math|{{itco|𝒫}}(''S'')}}, {{Math|''P''(''S'')}}, <math>\mathbb{P}(S)</math>, <math>\wp(S)</math>, ou {{Math|2<sup>''S''</sup>}}. Calquera subconxunto de {{Math|{{itco|{{mathcal|P}}}}(''S'')}} chámase ''familia de conxuntos'' sobre {{Mvar|S}}.

== Exemplo ==
[[Imaxe:Hasse diagram of powerset of 3.svg|thumb|[[Diagrama de Hasse]] das inclusións entre os subconxuntos de ''S''.]]
Se {{Mvar|S}} é o conxunto {{Math|{{mset|''x'', ''y'', ''z''}}}}, entón todos os subconxuntos de {{Mvar|S}} son

* {{math|{{mset|{} }}}} (tamén escrito como <math>\varnothing</math> ou <math>\empty</math>, o [[conxunto baleiro]])
* {{math|{{mset| ''x'' }}}}
* {{math|{{mset| ''y'' }}}}
* {{math|{{mset| ''z'' }}}}
* {{math|{{mset| ''x'', ''y'' }}}}
* {{math|{{mset| ''x'', ''z'' }}}}
* {{math|{{mset| ''y'', ''z'' }}}}
* {{math|{{mset| ''x'', ''y'', ''z'' }}}}

e, polo tanto, o conxunto de partes de {{Mvar|S}} é {{math|
{
{{mset| }},
{{mset| ''x'' }},
{{mset| ''y'' }},
{{mset| ''z'' }},
{{mset| ''x'', ''y'' }},
{{mset| ''x'', ''z'' }},
{{mset| ''y'', ''z'' }},
{{mset| ''x'', ''y'', ''z'' }}
}
}}.{{Sfn|Puntambekar|2007|páxinas=1–2}}

== Propiedades ==
=== Cardinalidade ===
Se {{Math|''S''}} é un conxunto finito coa [[cardinalidade]] {{Math|1={{abs|''S''}} = ''n''}} (é dicir, o número de todos os elementos do conxunto {{Math|''S''}} é {{Math|''n''}}), entón o número de todos os subconxuntos de {{Math|''S''}} é {{Math|1={{abs|{{itco|{{mathcal|P}}}}(''S'')}} = 2<sup>''n''</sup>}}. Este feito demóstrase a continuación.

: Unha [[función indicadora]] dun subconxunto {{Math|''A''}} dun conxunto {{Math|''S''}} coa cardinalidade {{Math|1={{abs|''S''}} = ''n''}} é unha función de {{Math|''S''}} no conxunto de dous elementos {{Math|{{mset|0, 1}}}} denotada como {{Math|''I''<sub>''A''</sub> : ''S'' → {{mset|0, 1 }}}}, e indica se un elemento de {{Math|''S''}} pertence ou non a {{Math|''A''}}. Se {{Math|''x''}} en {{Math|''S''}} pertence a {{Math|''A''}}, daquela {{Math|1=''I''<sub>''A''</sub>(''x'') = 1}}, e {{Math|0}} no caso contrario. Cada subconxunto {{Math|''A''}} de {{Math|''S''}} identifícase ou é equivalente á función indicadora {{Math|''I''<sub>''A''</sub>}}, e a {{Math|{{mset|0,1}}<sup>''S''</sup>}} pois o conxunto de todas as funcións de {{Math|''S''}} a {{Math|{{mset|0, 1}}}} consta de todas as funcións indicadoras de todos os subconxuntos de  {{Math|''S''}}. Noutras palabras, {{Math|{{mset|0, 1}}<sup>''S''</sup>}} é equivalente ou bixectivo ao conxunto de partes {{Math|{{itco|{{mathcal|P}}}}(''S'')}} . Dado que cada elemento en {{Math|''S''}} corresponde a {{Math|0}} ou {{Math|1}} baixo calquera función en {{Math|{{mset|0, 1}}<sup>''S''</sup>}}, o número de todas as funcións en {{Math|{{mset|0, 1}}<sup>''S''</sup>}} é {{Math|2<sup>''n''</sup>}}. Dado que o número {{Math|2}} pódese definir como {{Math|{{mset|0, 1}}}} (ver, por exemplo, [[Número ordinal|os ordinais de von Neumann]]), o {{Math|{{itco|{{mathcal|P}}(''S'')}}}} tamén se denota como {{Math|2<sup>''S''</sup>}}. Obviamente temos {{Math|1={{abs|2<sup>''S''</sup>}} = 2<sup>{{abs|''S''}}</sup>}}. En xeral, {{Math|''X''<sup>''Y''</sup>}} é o conxunto de todas as funcións de {{Math|''Y''}} en {{Math|''X''}} e {{Math|1={{abs|''X''<sup>''Y''</sup>}} = {{abs|''X''}}<sup>{{abs|''Y''}}</sup>}} .

O [[argumento da diagonal de Cantor]] mostra que o conxunto de partes dun conxunto (sexa infinito ou non) sempre ten unha cardinalidade estritamente maior que o conxunto en si (ou informalmente, o conxunto de partes debe ser maior que o conxunto orixinal). En particular, o [[teorema de Cantor]] mostra que o conxunto de partes dun conxunto [[Conxunto numerable|numerable infinito]] é [[Incontable|incontablemente]] infinito. O conxunto de partes do conxunto de [[Número natural|números naturais]] pódese poñer nunha [[bixectiva|correspondencia un a un]] co conxunto de [[Número real|números reais]] (ver [[Cardinalidade do continuo]]).

=== Teoría de Conxuntos ===
Na teoría de Conxuntos, en particular na sáa formulación segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe un axioma cuxa finalidade é garantir a existencia do conxunto de partes: o [[axioma do conxunto de partes]].

=== Álxebra ===
O conxunto de partes dun conxunto S, xunto coas operacións de unión, intersección e complemento, é unha [[sigma-álxebra]] sobre S e pódese ver como o exemplo prototípico dunha [[álxebra de Boole]]. De feito, pódese demostrar que calquera álxebra booleana finita é isomórfica á álxebra booleana do conxunto de partes dun conxunto finito. Para as álxebras booleanas infinitas, isto xa non é certo, pero toda álxebra booleana infinita pódese representar como unha subálxebra dunha álxebra booleana de conxuntos de partes (ver o [[teorema de representación de Stone]]).

O conxunto de partes dun conxunto S forma un [[grupo abeliano]] cando se considera coa operación de [[diferenza simétrica]] (co conxunto baleiro como elemento de identidade e cada conxunto sendo o seu propio inverso), e forma un [[monoide conmutativo]] cando se considera coa operación de intersección. Polo tanto, pódese demostrar, comprobando as leis distributivas, que o conxunto de partes xunto con estas dúas operacións forma un [[anel booleano]].

== Notas ==
{{reflist|30em}}
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro | last=Devlin | first=Keith J. | author-link=Keith Devlin | title=Fundamentals of contemporary set theory | url=https://archive.org/details/fundamentalsofco0000devl | series=Universitext | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1979 | isbn=0-387-90441-7 | zbl=0407.04003 }}
* {{cita libro | last=Halmos | first=Paul R. | author-link=Paul Halmos | title=Naive set theory | url=https://archive.org/details/naivesettheory00halm |  series=The University Series in Undergraduate Mathematics | publisher=van Nostrand Company | year=1960 | zbl=0087.04403 }}
* {{cita libro| last1=Mac Lane | first1=Saunders | author-link1=Saunders Mac Lane | last2=Moerdijk | first2=Ieke | author-link2=Ieke Moerdijk | year=1992 | title=Sheaves in Geometry and Logic |publisher=Springer-Verlag | isbn=0-387-97710-4 }}
* {{cita libro | last=Puntambekar | first=A. A. | title=Theory Of Automata And Formal Languages | year=2007 | publisher=Technical Publications | isbn=978-81-8431-193-8 }}
* {{Cita web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=Power Set |url=https://mathworld.wolfram.com/PowerSet.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20230406123410/https://mathworld.wolfram.com/PowerSet.html |archive-date=2023-04-06 |access-date=2020-09-05 |website=mathworld.wolfram.com}}

=== Ligazóns externas ===
* {{PlanetMath |urlname=powerset |title=Power set}}
* {{nlab|id=power+set|title=Power set}}
* {{nlab|id=power+object|title=Power object}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de conxuntos]]