Ver o código fonte de «Conxunto conexo»

Un '''conxunto conexo''' é un subconxunto <math>C \subseteq X</math> dun [[espazo topolóxico]] <math>(X,\mathcal{T}) \,</math> é a colección de [[conxunto aberto|conxuntos abertos]] do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é '''disconexo.'''

Formalmente, <math>C \subseteq X</math> é un conxunto conexo se e só se:
<math>A,B\in\mathcal{T}, A\cap  B\cap  C=\emptyset, C\subseteq  A\cup  B</math> implica <math> C\subseteq A \vee  C\subseteq B</math>

Cómpre notar que se <math>C=X </math>, entón terase que <math>X</math> é conexo se e só se <math> A,B\in\mathcal{T},  A\cap  B=\emptyset, A\cup  B=X</math> implica <math> A=X \vee B=X</math>. Neste caso, <math>(X,\mathcal{T}) \,</math> chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que <math>C \subseteq X</math> é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

== Exemplos ==
[[Ficheiro:Connected_and_disconnected_spaces.svg|miniatura|O espazo '''A''' é conexo.<br>O espazo '''B''' non o é.]]
=== Conxuntos conexos ===
* As esferas <math>S^n, n\geq 1,</math> son conexas.
* Un punto <math>\mathbb{R}^{n}</math> é conexo.
* Un nó é un conxunto conexo en <math>S^3 \,</math>
* Un toro é un conxunto conexo en <math>\mathbb{R}^3</math>
* En <math>\mathbb{R}</math>, un [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta. 
* O complementario dun punto en <math>\mathbb{R}^n, n\geq 2,</math> é conexo.

== Subconxunto conexo na recta ==
Sexa <math>\mathbb{R}</math> provisto da topoloxía usual <math>T_u</math>, ademais <math>J</math> un intervalo de <math>\mathbb{R}, M</math> e <math>N</math> subconxuntos abertos de <math>\mathbb{R}</math> tales que <math>J</math> é parte da unión de <math>M</math> e <math>N,\,\,J\cap M\cap N=\emptyset</math>. Entón <math>J\cap M=\emptyset\,\,\vee J\cap N=\emptyset</math>. Neste caso <math>J</math> é un subconxunto conexo da recta real.
* Un subconxunto <math>H</math> da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto <math>K=\{\frac 1n, \textbf{para}\,n\,\textbf{entero}\,\textbf{positivo}\}</math><ref>Mansfiel: ''Topology''</ref>

=== Conxuntos non conexos ===
* O complementario dun punto en <math>\mathbb{R}</math>
* O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en <math>\mathbb{R}^{n}</math>
* Un enlace de <math>n \,</math> compoñentes (nós), <math>n\ge 2</math>

== Propiedades dos conxuntos conexos ==
Cúmprese que se <math>(X,\mathcal{T}) \,</math> é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo [[Homeomorfismo|homeomorfo]] a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos: <math>C \subseteq X</math> é un conxunto conexo se e só se para toda función <math>f \colon C \to \{0,1\} \ </math> [[Función continua|continua]] se cumpre que <math>f</math> é unha función constante, onde se dota a <math>\{0,1\}</math> da [[topoloxía discreta]].

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se <math>({X_i,\mathcal{T}_i})_{i\in I}</math> é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con <math>I</math> un conxunto de índices de calquera [[Número cardinal|cardinalidade]]), entón <math>(\prod_{i \in I} X_i,\mathcal{T})</math> tamén é conexo, onde <math>\mathcal{T}</math> é a [[topoloxía produto]].

Por último, se <math>X</math> non é conexo, é dicir, se existen abertos <math>U,V</math>, disxuntos non baleiros tales que a súa unión é <math>X</math>, é fácil ver que cada aberto será o [[Complemento dun conxunto|complemento do outro]], logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos ''clopen''. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir, <math>X</math> será conexo se e só se os únicos ''clopen'' son <math>X</math> e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre ''clopen'').

== Conexidade por camiños ==
Dise que un conxunto <math>X</math> é '''conexo por camiños''' ou '''conexo por arcos''' se dados <math>x_{1},x_{2} \in X</math> existe un camiño continuo <math>\alpha :[0,1]\rightarrow X</math> tal que <math>\alpha(0)=x_{1}</math> e <math>\alpha(1)=x_{2}</math>.

[[Ficheiro:Peine2.jpg|miniatura|Peite do topólogo]]
A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado [[peite do topólogo]], <math>X=A \cup B</math>, onde <math>A=\{(0,1)\}</math> e <math>B=((0, 1] \times \{0\})\cup \left(\left\{\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N}\right\}\times [0, 1]\right)</math>. <math>X</math> é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha [[Propiedade topolóxica|propiedade]] hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

== Compoñentes conexas ==
Dado un espazo topolóxico <math>(X,\mathcal{T}) \,</math> chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto <math> Y \subset X \,</math> é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:
# <math> Y \subset X \,</math> é conexo.
# Calquera conxunto <math> Z \,</math> que contén propiamente <math> Y \,</math> non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de <math>X</math> forman unha [[Partición (matemáticas)|partición]] de <math>X</math>. Se <math>X</math> é conexo, tense que <math>X</math> é a súa única compoñente conexa.

== Notas ==
{{listaref}}

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro | author= Munkres, James R. | authorlink=James Munkres  | title=Topology, Second Edition | publisher=Prentice Hall | year=2000 | isbn=0-13-181629-2}}
*{{Cita publicación periódica|url=http://www.math.shimane-u.ac.jp/memoir/39/D.Buhagiar.pdf|last1=Muscat|first1=J|last2=Buhagiar|first2=D|title=Connective Spaces|journal=Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc.|volume=39|year=2006|pages=1–13|ref=harv|postscript=<!--None-->|apelidos=|data=|revista=|data-acceso=31 de maio de 2017|urlarquivo=https://web.archive.org/web/20160304053949/http://www.math.shimane-u.ac.jp/memoir/39/D.Buhagiar.pdf|dataarquivo=04 de marzo de 2016|urlmorta=yes}}.

{{Control de autoridades}}
{{Topoloxía}}

[[Categoría:Topoloxía]]