Ver o código fonte de «Constante de Apéry»

{{infobox 
|label1=racionalidade
|data1=Irracional
|label2=símbolo
|data2=''ζ''(3)
|label3=decimal
|data3=1.20205 69031 59594 2854...
}}
En [[matemáticas]], a '''constante de Apéry''' é a [[Serie (matemáticas)|suma infinita]] dos [[Inverso multiplicativo|recíprocos]] ao cubo dos [[Número natural|números enteiros positivos]]. É dicir, defínese como o número

: <math>
 \begin{align}
 \zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \\
      &= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right),
 \end{align}
</math>

onde {{Mvar|ζ}} é a [[función zeta de Riemann]]. Ten un valor aproximado de {{Sfnp|Wedeniwski|2001}}

: {{Math|''ζ''(3) ≈ 1.20205 69031 59594| 28539|97381 61511 44999 07649 86292 …}} {{OEIS|id=A002117}}.

Leva o nome de [[Roger Apéry]], quen demostrou que é un [[número irracional]].

== Propiedades ==
{{Unsolved|matemáticas|É a constante de Apéry transcendental?}}
{{Math|''ζ''(3)}} foi chamada ''constante de Apéry'' en honor ao matemático francés [[Roger Apéry]], quen demostrou en 1978 que se trata dun [[número irracional]].{{Sfnp|Apéry|1979}} Este resultado é coñecido como ''Teorema de Apéry''. A proba orixinal é complexa e difícil de comprender,{{Sfnp|van der Poorten|1979}} e máis tarde atopáronse probas máis sinxelas.<ref>{{Harvtxt|Beukers|1979}}; {{Harvtxt|Zudilin|2002}}.</ref>

A demostración de irracionalidade simplificada de Beukers implica aproximar o integrando da integral tripla coñecida para {{Math|''ζ''(3)}} ,

: <math>\zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,</math>

polos [[Polinomio de Legendre|polinomios de Legendre]]. En particular, o artigo de van der Poorten fai unha crónica deste enfoque sinalando que

: <math>I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n, </math>

onde <math>|I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n}</math>, <math>P_n(z)</math> son os polinomios de Legendre e as [[Sucesión (matemáticas)|subsecuencias]] <math>b_n, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_n \in \mathbb{Z}</math> son enteiros ou case enteiros.

Moita xente tentou estender a demostración de Apéry de que {{Math|''ζ''(3)}} é irracional a [[Función zeta de Riemann|outros valores da función zeta de Riemann]] con argumentos impares. Aínda que ata agora isto non deu ningún resultado sobre números específicos, sábese que infinitas das constantes zeta impares {{Math|''ζ''(2''n'' + 1)}} son irracionais.{{Sfnp|Rivoal|2000}} En particular, polo menos un de entre {{Math|''ζ''(5)}}, {{Math|''ζ''(7)}}, {{Math|''ζ''(9)}} e {{Math|''ζ''(11)}} debe ser irracional.{{Sfnp|Zudilin|2001}}

== Representacións en series ==

=== Clásica ===
A maiores da serie fundamental:

: <math>\zeta(3) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},</math>

[[Leonhard Euler]] deu a representación en serie:{{Sfnp|Euler|1773}}

: <math>\zeta(3) = \frac{\pi^2}{7} \left(1 - 4\sum_{k=1}^\infty \frac{\zeta (2k)}{2^{2k}(2k + 1)(2k + 2)}\right)</math>

en 1772, que posteriormente foi redescuberta varias veces.{{Sfnp|Srivastava|2000}}

=== Converxencia rápida ===
A seguinte representación da serie foi atopada por A. A. Markov en 1890,{{Sfnp|Markov|1890}} redescuberta por Hjortnaes en 1953,{{Sfnp|Hjortnaes|1953}} e redescuberta unha vez máis e amplamente anunciada por Apéry en 1979: {{Sfnp|Apéry|1979}}

: <math>\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)! k^3}.</math>

A seguinte representación en serie dá (asintoticamente) 5,04 novas cifras decimais correctas por termo:<ref>{{Harvtxt|Wedeniwski|1998}}; {{Harvtxt|Wedeniwski|2001}}. Na súa mensaxe a Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski afirma que derivou esta fórmula de{{Harvtxt|Amdeberhan|Zeilberger|1997}}. Menciónase o ano do descubrimento (1998).[http://plouffe.fr/simon/articles/TableofRecords.pdf Simon Plouffe's Table of Records] (8 abril 2001).</ref>

: <math> \zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k + 1)!^3 (2k)!^3 k!^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k + 2)! (4k + 3)!^3}.</math>

Utilizouse para calcular a constante de Apéry con varios millóns de cifras decimais correctas.<ref>{{Harvtxt|Wedeniwski|1998}}; {{Harvtxt|Wedeniwski|2001}}.</ref>

[[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]] atopou a seguinte representación da serie : <ref>{{Harvtxt|Berndt|1989}}.</ref>

: <math>\zeta(3) = \frac{7}{180} \pi^3 - 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} - 1)}.</math>

== Representacións con integrais ==

=== Fórmulas sinxelas ===
A seguinte fórmula segue directamente da definición integral da función zeta:

: <math>\zeta(3) = \frac1{2}\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} \,dx</math>

Unha conexión coas derivadas da [[función gamma]] 

: <math>\zeta(3) = -\tfrac{1}{2}(\Gamma'''(1) + \gamma^3+ \tfrac{1}{2}\pi^2\gamma) = -\tfrac{1}{2} \psi^{(2)}(1)</math>

tamén é moi útil para a dedución de varias representacións integrais a través das fórmulas integrais coñecidas para as [[Función poligamma|funcións gamma e poligamma]].{{Sfnp|Evgrafov|Bezhanov|Sidorov|Fedoriuk|1969}}

== Fracción continua ==
A constante de Apéry está relacionada coa seguinte [[Fracción continua xeneralizada|fracción continua]]:<ref>{{Cita web|title=Aperys Constant|url=https://mathworld.wolfram.com/AperysConstant.html|páxinaweb=mathworld.wolfram.com}}</ref>

: <math>\frac{6}{\zeta(3)}=5-\cfrac{1}{117-\cfrac{64}{535-\cfrac{729}{1436-\cfrac{4096}{3105-\cfrac{15625}{\dots}}}}}</math>

con <math>a_n=34n^3+51n^2+27n+5</math> e <math>b_n=-n^6</math> .

A súa [[Fracción continua|fracción continua simple]] vén dada por:<ref>{{Cita web|title=Aperys Constant Continued Fraction|url=https://mathworld.wolfram.com/AperysConstantContinuedFraction.html|páxinaweb=mathworld.wolfram.com}}</ref>

: <math>\zeta(3)=1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\dots}}}}}}</math>

== Díxitos coñecidos ==
O número de díxitos coñecidos da constante {{Math|''ζ''(3)}} de Apéry aumentou drasticamente durante as últimas décadas, e agora sitúase en máis de <math>2 \cdot 10^{12}</math>. Isto débese tanto ao aumento do rendemento dos ordenadores como ás melloras algorítmicas.
: {| class="wikitable"
|+ Número de díxitos decimais coñecidos da constante de Apéry {{math|''ζ''(3)}}
! Data || Díxitos decimais || Cálculo realizado por
|-
| 1735 ||align="right"| 16 || [[Leonhard Euler]]
|-
| Unknown ||align="right"| 16 || [[Adrien-Marie Legendre]]
|-
| 1887 ||align="right"| 32 || [[Thomas Joannes Stieltjes]]
|-
| 1996 ||align="right"| {{val|520000}} || Greg J. Fee & [[Simon Plouffe]]
|-
| xullo 26, 2020 ||align="right"| {{val|1200000000100}} || Seungmin Kim<ref name=y-cruncher>{{cita libro |url=https://ehfd.github.io/world-record/aperys-constant/ |title=Apéry's constant world record by Seungmin Kim |date=28 xullo 2020 |access-date=xullo 28, 2020}}.</ref>
|-
| decembro 22, 2023 ||align="right"| {{val|2020569031595}} || Andrew Sun<ref name=y-cruncher/>
|}
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*{{Cita revista
 | first = Roger
 | last = Apéry
 | title = Irrationalité de zeta(2)  et  zeta(3)  
 | year = 1979
 | journal = Astérisque
 | volume = 61
 | pages = 11–13
 | url = http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/
}}.
*{{Cita revista
 | first = A. A.
 | last = Markov
 | author-link = Andrey Markov
 | title = Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes
 | journal = Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg
 | volume = 37 |issue=9
 | pages = 18pp
 | year = 1890
 }}.
*{{Cita revista
 | last = Srivastava
 | first = H. M.
 | title = Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions
 | journal = Taiwanese Journal of Mathematics
 | date = decembro 2000
 | volume = 4
 | issue = 4
 | pages = 569–599
 | doi = 10.11650/twjm/1500407293
 | url = http://society.math.ntu.edu.tw/~journal/tjm/V4N4/tjm0012_3.pdf
 | oclc = 36978119
 | access-date = 2015-08-22
 | data-arquivo = 11 de agosto de 2017
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20170811045825/http://society.math.ntu.edu.tw/~journal/tjm/V4N4/tjm0012_3.pdf
 | url-morta = yes
 }}.
*{{Cita revista
 |first=Alfred 
 |last=van der Poorten 
 |author-link=Alfred van der Poorten 
 |title=A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of zeta(3) 
 |journal=[[The Mathematical Intelligencer]] 
 |volume=1 
 |issue=4 
 |year=1979 
 |pages=195–203 
 |doi=10.1007/BF03028234 
 |url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf 
 |archive-date=2011-07-06 
}}.
*{{Cita revista
 | first = Sebastian
 | last = Wedeniwski
 | title = The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places
 | url = http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/Zeta3.txt
 | date = 13 decembro 1998
 }} (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).

*{{Cita revista
 | first1 = Alexander J.
 | last1 = Yee
 | title = Zeta(3) - Apéry's Constant
 | year = 2017
 | url = http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/
}}

*{{Cita revista
 | first1 = Dipanjan
 | last1 = Nag
 | title = Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record
 | work = Dipanjan
 | year = 2015
 | url = https://dipanjan.me/calculated-aperysconstant-upto-400000000000-digit-a-world-record/
 | data-acceso = 24 de xaneiro de 2025
 | data-arquivo = 01 de decembro de 2017
 | url-arquivo = https://web.archive.org/web/20171201031400/https://dipanjan.me/calculated-aperysconstant-upto-400000000000-digit-a-world-record/
 | url-morta = yes
 }}
*{{Cita revista
 | first = Wadim
 | last = Zudilin
 | title = One of the numbers  zeta(5),  zeta(7) , zeta(9),  zeta(11)  is irrational
 | journal = Russian Mathematical Surveys
 | year = 2001
 | volume = 56
 | pages = 774–776
 | doi = 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
 | issue = 4
 | bibcode = 2001RuMaS..56..774Z
 }}.
*{{Cita arXiv |mode=cs2
 | first = Wadim
 | last = Zudilin
 | title = An elementary proof of Apéry's theorem
 | eprint = math/0202159
 | year = 2002
}}.
=== Outros artigos ===
*  [[Función zeta de Riemann]].
* [[Medida da irracionalidade]].
=== Ligazóns externas ===
*{{mathworld | title = Apéry's constant | urlname = AperysConstant | mode=cs2 }}
*{{Cita libro
 | first = Simon
 | last = Plouffe
 | url = http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html
 | title = Zeta(3) or Apéry constant to 2000 places<!--undated-->
 | access-date = 2005-07-29
 | archive-date = 2008-02-05
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20080205213257/http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/miscellaneousmathematicalconstants/chap97.html
 }}
*{{Cita libro
 |first=Robert J. 
 |last=Setti 
 |year=2015 
 |title=Apéry's Constant - Zeta(3) - 200 Billion Digits 
 |url=http://settifinancial.com/01042-aperys-constant-zeta3-world-record-computation/ 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131008192006/http://settifinancial.com/01042-aperys-constant-zeta3-world-record-computation 
 |archive-date=2013-10-08 
}}.

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Análise matemática]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
[[Categoría:Serie matemática]]