Ver o código fonte de «Centroide (Baricentro)»

[[Ficheiro:Triangle.Centroid.svg|dereita|miniatura| Baricentro (Centroide) dun triángulo]]
En [[matemáticas]] e [[física]], o '''centroide''', tamén coñecido como '''centro xeométrico''', dunha [[Forma (xeometría)|figura plana]] ou sólida é a posición [[media aritmética]] de todos os puntos da superficie da figura. A mesma definición esténdese a calquera obxecto nun [[espazo euclidiano]] [[Dimensión|n-dimensional]].<ref name="protter520">{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=520}}</ref>
<ref>Definición obtida da wiki en inglés {{cita web |url=https://en.wikipedia.org/wiki/Centroid |title=Centroid}}</ref>

Outra definición de '''centroide''' dun plano ou domínio espacial é a de ser un punto de equilíbrio para unha determinada medida nese domínio.  Corresponde ao centro de simetría cando o domínio ten dito centro de simetría. A súa existéncia e exclusividade son garantidas cando o dominio for de medida finita.<ref>Definición obtida da wiki en francés {{cita web |url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Centro%C3%AFde |title=Centroide}}</ref>.

En '''[[xeometría]]''', adóitase asumir [[Densidade|unha densidade de masa]] uniforme, nese caso o '''baricentro''' e o '''[[centro de masas]]''' coinciden co centroide<ref>As definicións dadas nas wikis en español e en portugués están dadas desde o punto de vista xeométrico</ref>. Informalmente, pódese entender como o punto no que un obxecto (con masa uniformemente distribuída) podería estar perfectamente equilibrado na punta dun alfinete.<ref>{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=521}}</ref>

En [[xeografía]], o centroide dunha proxección radial dunha rexión da superficie terrestre ata o nivel do mar é o [[centro xeográfico]] da rexión.

== Propiedades ==
O centroide xeométrico dun obxecto [[Conxunto convexo|convexo]] sempre reside no obxecto. Un obxecto non convexo pode ter un centroide que estea fóra da propia figura. O centroide dun anel ou dunha [[cunca]], por exemplo, atópase no oco central do obxecto.

Se o centroide está definido, é un punto fixo de todas as isometrías do seu [[grupo de simetría]]. En particular, o centroide xeométrico dun obxecto atópase na intersección de todos os seus [[Hiperplano|hiperplanos]] de [[simetría]]. O centroide de moitas figuras ([[polígono regular]], [[poliedro regular]], [[cilindro]], [[rectángulo]], [[rombo]], [[Circunferencia|círculo]], [[esfera]], [[Elipse (xeometría)|elipse]], [[elipsoide]], [[Curva de Lamé|superelipse]], [[superelipsoide]], etc.) pódese determinar só por este principio.

En particular, o centroide dun [[paralelogramo]] é o punto de encontro das súas dúas [[Diagonal|diagonais]]. Isto non é certo para outros [[Cuadrilátero|cuadriláteros]].

Polo mesmo motivo, o centroide dun obxecto con [[Simetría translacional|simetría de translación]] non está definido (ou está fóra do espazo circundante), porque unha translación non ten punto fixo.

== Exemplos ==
O baricentro dun triángulo é a intersección das tres [[Mediana (xeometría)|medianas]] do triángulo (cada mediana conecta un vértice co punto medio do lado oposto). <ref name="altshiller66"></ref>

== Determinación ==

=== Dun conxunto finito de puntos ===
O centroide dun conxunto finito de <math>k</math> puntos <math>\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_k</math> en <math>\R^n</math> é <ref name="protter520">{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=520}}</ref> <math display="block">\mathbf{C} = \frac{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \cdots + \mathbf{x}_k}{k} .</math>Este punto minimiza a suma das distancias euclidianas ao cadrado entre el mesmo e cada punto do conxunto.

=== Por descomposición xeométrica ===
O centroide dunha figura plana <math>X</math> pódese calcular dividíndoo nun número finito de figuriñas máis sinxelas <math>X_1, X_2, \dots, X_n,</math> calculando o centroide <math>C_i</math> e zona <math>A_i</math> de cada parte, e despois calculando para as coordenadas x e y

<math display="block">
C_x = \frac{\sum_i {C_i}_x A_i}{\sum_i A_i}, \quad
C_y = \frac{\sum_i {C_i}_y A_i}{\sum_i A_i}.
</math>

Por exemplo, a figura seguinte (a) divídese facilmente nun cadrado e nun triángulo, ambos con área positiva; e un buraquiño circular, con área negativa (b).

{{imaxe múltiple
|posición_táboa=center
|ancho=200
|dirección=horizontal
|foto1=COG 1.png
|texto1=(a) 2D Obxecto
|foto2=COG 2.png
|texto2=(b) Obxecto descrito utilizando elementos máis sinxelos
|foto3=COG 3.png
|texto3=(c) Centroides dos elementos do obxecto
}}

O centroide de cada parte pódese atopar nunha [[Lista de centroides|lista de centroides de formas simples]] (c). Logo, o centroide da figura é a media ponderada dos tres puntos. A posición horizontal do centroide, dende o bordo esquerdo da figura é <math display="block">x = \frac{5 \times 10^2 + 13.33 \times \frac{1}{2}10^2 - 3 \times \pi2.5^2}{10^2 + \frac{1}{2}10^2 -\pi2.5^2} \approx 8.5 \text{ unidades}.</math> A posición vertical do centroide atópase do mesmo xeito.

A mesma fórmula vale para calquera subconxunto de <math>\R^d,</math> para calquera dimensión <math>d,</math> coas áreas substituídas polas <math>d</math>[[Medida (matemáticas)|-medidas]] dimensionais das pezas.

=== Por fórmula integral ===
O centroide dun subconxunto <math>X</math> de <math>\R^n</math> tamén se pode calcular mediante a fórmula

<math display="block">C = \frac{\int x g(x) \ dx}{\int g(x) \ dx}</math>

onde as [[Integral|integrais]] son tomadas sobre todo o espazo <math>\R^n,</math> e <math>g</math> é a [[función indicadora]] do subconxunto <math>X</math> de <math>\R^n \! : \ g(x) = 1</math> se <math>x \in X</math> e <math>g(x) = 0</math> en caso contrario.<ref name="protter526">{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=526}}</ref> Teña en conta que o denominador é simplemente a [[Medida (matemáticas)|medida]] do conxunto <math>X.</math> Esta fórmula non se pode aplicar se o conxunto <math>X</math> ten medida cero, ou se calquera das integrais diverxe.

=== Dunha rexión delimitada ===
O centroide <math>(\bar{x},\;\bar{y})</math> dunha rexión limitada polas gráficas das [[Función continua|funcións continuas]] <math>f</math> e <math>g</math> tal que <math>f(x) \geq g(x)</math> no intervalo <math>[a, b],</math><math>a \leq x \leq b</math> está dada por <ref name="protter526">{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=526}}</ref> <ref>{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=527}}</ref>

<math display="block">\begin{align}
\bar{x} &= \frac{1}{A}\int_a^b x\bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx, \\[5mu]
\bar{y} &= \frac{1}{A}\int_a^b \tfrac12\bigl(f(x) + g(x)\bigr)\bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx,
\end{align}</math>

onde <math>A</math> é a área da rexión (dada por <math display="inline">\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr) dx</math> ). <ref>{{Harvtxt|Protter|Morrey|1970|p=528}}</ref> <ref>{{Harvtxt|Larson|1998}}</ref>

=== Dun triángulo ===
{{Artigo principal|Centros do triángulo}}
{| align="right" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|[[Ficheiro:Triangle_centroid_1.svg]] [[Ficheiro:Triangle_centroid_2.svg|275x275px]]
|}
O centroide ou baricentro dun [[triángulo]] é o punto de intersección das súas [[Mediana (xeometría)|medianas]] (as liñas que unen cada [[vértice]] co punto medio do lado oposto).<ref name="altshiller66">{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925}}</ref> O centroide divide cada unha das medianas na relación <math>2:1,</math> é dicir está situado <math>\tfrac13</math> da distancia de cada lado ao vértice oposto (ver as figuras laterais).<ref>{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925}}</ref> <ref>{{Harvtxt|Kay|1969}}</ref> As súas [[Sistema de coordenadas cartesianas|coordenadas cartesianas]] son as [[Media aritmética|medias]] das coordenadas dos tres vértices. É dicir, se os tres vértices o son <math>L = (x_L, y_L),</math><math>M= (x_M, y_M),</math> e <math>N= (x_N, y_N),</math> a continuación, o centroide (indicado <math>C</math> aquí pero denotado máis habitualmente <math>G</math> en [[Triángulo|xeometría do triángulo]] ) é

<math display="block">
C = \tfrac13(L+M+N)
= \bigl( \tfrac13 (x_L+x_M+x_N), \tfrac13 (y_L+y_M+y_N) \bigr).
</math>

O centroide está polo tanto en <math>\tfrac13:\tfrac13:\tfrac13</math> en [[coordenadas baricéntricas]].

En [[coordenadas triliniares]] o centroide pódese expresar de calquera destes xeitos equivalentes en termos de lonxitudes dos lados <math>a, b, c</math> e ángulos vértices {{Nowrap|<math>L, M, N</math>:<ref>Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles {{cite web |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |title=Encyclopedia of Triangle Centers |access-date=2012-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html |archive-date=2012-04-19 }}</ref>}}

<math display="block">\begin{align}
C &= \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}
  = bc:ca:ab = \csc L :\csc M:\csc N \\[6pt]
 &= \cos L + \cos M \cdot \cos N :
   \cos M + \cos N \cdot \cos L :
   \cos N + \cos L \cdot \cos M \\[6pt]
 &= \sec L + \sec M \cdot \sec N :
   \sec M + \sec N \cdot \sec L :
   \sec N + \sec L \cdot\sec M.
\end{align}</math>

O centroide tamén é o [[Centro de masas|centro físico de masas]] se o triángulo está feito dunha folla uniforme de material.

O [[conxugado isogonal]] do centroide dun triángulo é o seu [[Simediana|punto simediano]].

=== Dun polígono ===
O centroide dun [[polígono]] pechado non autointersecante definido por <math>n</math> vértices <math>(x_0, y_0),\;</math><math>(x_1, y_1),\; \ldots,\;</math><math>(x_{n-1}, y_{n-1}),</math> é o punto <math>(C_x, C_y),</math> <ref name="bourke">{{Harvtxt|Bourke|1997}}</ref> 

<math display="block">
C_{\mathrm x} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i),</math>

<math display="block">
C_{\mathrm y} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i),
</math>

e onde <math>A</math> é a área con signo do polígono,<ref name="bourke">{{Harvtxt|Bourke|1997}}</ref> como se describe pola [[fórmula da área de Gauss]]:

<math display="block">
A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i).
</math>

Nestas fórmulas, suponse que os vértices están numerados por orde de aparición ao longo do perímetro do polígono; ademais, o vértice <math>(x_n, y_n)</math> suponse que é o mesmo que <math>(x_0, y_0),</math> pechando o polígono.

=== Dun tetraedro e un simplex {{Mvar|n}}-dimensional ===
Un [[tetraedro]] é un obxecto no [[espazo tridimensional]] que ten como [[Cara (xeometría)|caras]] catro triángulos. Un segmento de liña que une un vértice dun tetraedro co centroide da cara oposta chámase ''mediana'', e un segmento de liña que une os puntos medios de dúas arestas opostas chámase ''bimediana''. Polo tanto, hai catro medianas e tres bimedianas. Estes sete segmentos de liña reúnense no ''centroide'' do tetraedro.<ref>Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54</ref> As medianas divídense polo centroide na relación <math>3:1.</math> O centroide dun tetraedro é o punto medio entre o seu [[Tetraedro|punto de Monge]] e o circuncentro (centro da esfera circunscrita). Estes tres puntos definen a ''recta de Euler'' do tetraedro que é análoga á [[recta de Euler]] dun triángulo.

Estes resultados xeneralízanse a calquera [[simplex]] <math>n</math>-dimensional do seguinte xeito. Se o conxunto de vértices dun simplex é <math>{v_0,\ldots,v_n},</math> entón considerando os vértices como [[Vector|vectores]], o centroide é

<math display="block">C = \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i.</math>

O centroide xeométrico coincide co centro de masas se a masa se distribúe uniformemente por todo o simplex ou se concentra nos vértices como <math>n+1</math> masas iguais.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{ cita libro | first1 = Nathan | last1 = Altshiller-Court | year = 1925 | lccn = 52013504 | title = College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle | edition = 2nd | publisher = [[Barnes & Noble]] | location = New York }}
* {{ cita web | url = http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh | last = Bourke | first = Paul | title = Calculating the area and centroid of a polygon | date = xullo 1997 }}
* {{ cita libro| first = Roger A. | last1 = Johnson | title = Advanced Euclidean Geometry | publisher = [[Dover]] | year = 2007 }}
* {{ cita libro| first1 = David C. | last1 = Kay | year = 1969 | lccn = 69012075 | title = College Geometry | url = https://archive.org/details/collegegeometry0000kayd | publisher = [[Holt, Rinehart and Winston]] | location = New York }}
* {{ cita libro| last1 = Larson | first1 = Roland E. | last2 = Hostetler | first2 = Robert P. | last3 = Edwards  |first3 = Bruce H. | title = Calculus of a Single Variable | year = 1998 | publisher = [[Houghton Mifflin Company]] | edition = 6th | ref = {{sfnref|Larson|1998}} }}
* {{ cita libro| first1 = Murray H. | last1 = Protter | first2=Charles B. Jr. | last2=Morrey | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{ cita libro| first = C.J. | last = Sangwin | title = Locating the centre of mass by mechanical means | url = http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/Publications/integrometer.pdf | archive-url = https://web.archive.org/web/20131113082631/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/Publications/integrometer.pdf | archive-date = 13 de novembro de 2013}}

=== Outros artigos ===
* [[Centro de Chebyshev]]
* [[K-medias|algoritmo das k-medias]]
* [[Lista de centroides]]
* [[Teorema de Pappus-Guldin]]
=== Ligazóns externas ===
* {{Mathworld|id=GeometricCentroid|title=Geometric Centroid}}
* [https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html ''Encyclopedia of Triangle Centers''] by Clark Kimberling. O baricentro está indicado como X(2).
* [http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml Characteristic Property of Centroid] en [[cut-the-knot]]
* Animacións interactivas a mostrar [http://www.mathopenref.com/trianglecentroid.html o baricentro do triángulo] e [http://www.mathopenref.com/constcentroid.html a construción do centroide con compás e regra]
* [http://dynamicmathematicslearning.com/findingtrianglemedian.html procura experimentalmente as medianas e o centroide dun triángulo] en [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], un bosquexo interactivo de xeometría dinámica usando o simulador de gravidade de Cinderella.


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]