Ver o código fonte de «Centro (teoría de grupos)»


{| class="wikitable floatright"
|+ style="text-align: left;" |Táboa de Cayley para D4 que mostra os elementos do centro, {e, a2}, que conmutan con todos os outros elementos (isto pódese ver observando que todas as ocorrencias dun elemento central dado están dispostas simétricamente sobre a diagonal central ou observando que a fila e columna que comeza cun elemento central dado son transpostos entre si).
!∘
!e
!b
!a
!a<sup>2</sup>
!a<sup>3</sup>
!ab
!a<sup>2</sup>b
!a<sup>3</sup>b
|- align="center"
!e
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|b
|a
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a<sup>3</sup>
|ab
|a<sup>2</sup>b
|a<sup>3</sup>b
|- align="center"
!b
|b
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>3</sup>b
|a<sup>2</sup>b
|ab
|a<sup>3</sup>
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a
|- align="center"
!a
|a
|ab
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a<sup>3</sup>
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>2</sup>b
|a<sup>3</sup>b
|b
|- align="center"
!a<sup>2</sup>
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a<sup>2</sup>b
|a<sup>3</sup>
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a
|a<sup>3</sup>b
|b
|ab
|- align="center"
!a<sup>3</sup>
|a<sup>3</sup>
|a<sup>3</sup>b
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|b
|ab
|a<sup>2</sup>b
|- align="center"
!ab
|ab
|a
|b
|a<sup>3</sup>b
|a<sup>2</sup>b
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>3</sup>
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|- align="center"
!a<sup>2</sup>b
|a<sup>2</sup>b
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|ab
|b
|a<sup>3</sup>b
|a
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|a<sup>3</sup>
|- align="center"
!a<sup>3</sup>b
|a<sup>3</sup>b
|a<sup>3</sup>
|a<sup>2</sup>b
|ab
|b
| style="background: red; color: white;" |a<sup>2</sup>
|a
| style="background: green; color: white;" |'''e'''
|}

En [[álxebra abstracta]], o '''centro''' dun [[Grupo (matemáticas)|grupo]] {{Math|''G''}} é o [[conxunto]] de elementos que [[Conmutatividade|conmutan]] con cada elemento de {{Math|''G''}}. Denomínase {{Math|Z(''G'')}}, do alemán ''[[wiktionary:Zentrum|Zentrum]]''. 

: {{math|1=Z(''G'') = {{mset|''z'' ∈ ''G'' | ∀''g'' ∈ ''G'', ''zg'' {{=}} ''gz''}}}}.

O centro é un [[subgrupo normal]], {{Math|Z(''G'') ⊲ ''G''}}, e tamén un subgrupo [[Subgrupo característico|característico]], pero non é necesariamente [[Subgrupo totalmente característico|totalmente característico]]. O [[grupo cociente]], {{Math|''G'' / Z(''G'')}}, é [[Isomorfismo de grupos|isomorfo]] ao grupo do [[automorfismo interno]], {{Math|Inn(''G'')}}.

Un grupo {{Math|''G''}} é abeliano se e só se {{Math|1=Z(''G'') = ''G''}}. No outro extremo, dise que un grupo é '''sen centro''' se {{Math|Z(''G'')}} é trivial; é dicir, consiste só no [[Elemento neutro|elemento identidade]].

Os elementos do centro son '''elementos centrais'''.

== Como subgrupo ==
O centro de ''G'' é sempre un [[subgrupo]] de {{Math|''G''}}. En particular:

# {{Math|Z(''G'')}} contén o [[elemento neutro]] de {{Math|''G''}}, porque conmuta con todos os elementos de {{Math|''g''}}, por definición: {{Math|1=''eg'' = ''g'' = ''ge''}}, onde {{Math|''e''}} é o elemento neutro;
# Se {{Math|''x''}} e {{Math|''y''}} están en {{Math|Z(''G'')}}, daquela tamén está {{Math|''xy''}}, pola asociativa: {{Math|1=(''xy'')''g'' = ''x''(''yg'') = ''x''(''gy'') = (''xg'')''y'' = (''gx'')''y'' = ''g''(''xy'')}} para todo {{Math|''g'' ∈ ''G''}}; i.e., {{Math|Z(''G'')}} é pechado;
# Se {{Math|''x''}} está en {{Math|Z(''G'')}}, daquela tamén está {{Math|''x''{{sup|−1}}}} pois, para todo {{Math|''g''}} en {{Math|''G''}}, {{Math|''x''{{sup|−1}}}} conmuta con {{Math|''g''}}: {{Math|1=(''gx'' = ''xg'') ⇒ (''x''{{sup|−1}}''gxx''{{sup|−1}} = ''x''{{sup|−1}}''xgx''{{sup|−1}}) ⇒ (''x''{{sup|−1}}''g'' = ''gx''{{sup|−1}})}}.

A maiores, o centro de {{Math|''G''}} é sempre un [[Subgrupo normal|subgrupo]] [[Grupo abeliano|abeliano]] e normal de {{Math|''G''}}. Dado que todos os elementos de {{Math|Z(''G'')}} se conmutan, está pechado baixo conxugación.

Un homomorfismo de grupo {{Math|''f'' : ''G'' → ''H''}} pode non restrinxirse a un homomorfismo entre os seus centros. Os elementos da imaxe {{Math|''f'' (''g'')}} conmutan coa imaxe {{Math|''f'' ( ''G'' )}}, mais non precisan conmutar con todo {{Math|''H''}} a non ser que {{Math|''f''}} sexa sobrexectivo. Así o mapeo do centro <math>G\to Z(G)</math> non é un [[functor]] entre as categorías Grp e Ab, xa que non induce un mapa de frechas.

== Clases de conxugación e centralizadores ==
Por definición, un elemento é central sempre que a súa [[clase de conxugación]] contén só o propio elemento; é dicir {{Math|1=Cl(''g'') = {''g''}<nowiki/>}}.

O centro é a [[Intersección (conxuntos)|intersección]] de todos os [[Centralizador e normalizador|centralizadores]] de elementos de {{Math|''G''}}:<blockquote><math>Z(G) = \bigcap_{g\in G} Z_G(g).</math>  </blockquote>Como os centralizadores son subgrupos, isto mostra de novo que o centro é un subgrupo.

== Conxugación ==
Considere o mapa {{Math|''f'' : ''G'' → Aut(''G'')}}, dende {{Math|''G''}} ata o [[grupo de automorfismos]] de {{Math|''G''}} definido por {{Math|1=''f''(''g'') = ''ϕ''{{sub|''g''}}}}, onde {{Math|''ϕ''{{sub|''g''}}}} é o automorfismo de {{Math|''G''}} definido por

: {{Math|1=''f''(''g'')(''h'') = ''ϕ''{{sub|''g''}}(''h'') = ''ghg''{{sup|−1}}}}.

A función, {{Math|''f''}} é un [[homomorfismo de grupos]], e o seu [[Kernel (álxebra)|kernel]] é precisamente o centro de {{Math|''G''}}, e a súa imaxe chámase [[grupo de automorfismo interno]] de {{Math|''G''}}, denotado {{Math|Inn(''G'')}}. Polo [[teoremas do isomorfismo|primeiro teorema do isomorfismo]] obtemos:

: {{Math|''G''/Z(''G'') ≃ Inn(''G'')}}.

O [[kernel (álxebra)|cokernel]] deste mapa é o grupo {{Math|Out(''G'')}} de [[Automorfismo externo|automorfismos externos]], e estes forman a [[secuencia exacta]]

: {{Math|1 ⟶ Z(''G'') ⟶ ''G'' ⟶ Aut(''G'') ⟶ Out(''G'') ⟶ 1}}.

== Exemplos ==

* O centro dun [[grupo abeliano]], {{Math|''G''}}, é todo {{Math|''G''}}.
* O centro do [[grupo de Heisenberg]], , {{Math|''H''}}, que son as matrices de forma:<math>\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>, é o conxunto de matrices da forma: <math> \begin{pmatrix}
   1 & 0 & z\\
   0 & 1 & 0\\
   0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}</math>.
* O centro dun [[grupo non abeliano simple]] é  trivial.
* O centro do [[grupo diédrico]], {{Math|D{{sub|''n''}}}}, é trivial para {{Math|''n'' ≥ 3}} impar.  Para {{Math|''n'' ≥ 4}} par, o centro consiste do elemento identidade xunto cunha rotación de 180° do [[polígono]].
* O centro do [[grupo de cuaternións]], {{Math|1=Q{{sub|8}} = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k<nowiki>}</nowiki>}}, é {{Math|{1, −1}<nowiki/>}}.
* O centro do [[grupo simétrico]], {{Math|''S''{{sub|''n''}}}}, é trivial para {{Math|''n'' ≥ 3}}.
* O centro do [[grupo linear xeral]] sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] {{Math|F}}, {{Math|GL{{sub|''n''}}(F)}}, é a colección de [[Matriz diagonal|matrices diagonais]], {{Math|{ sI<sub>''n''</sub> ∣ s ∈ F \ {0} }}}.
* O centro do [[grupo ortogonal]], {{Math|O<sub>''n''</sub>(F)}} é {{Math|{I<sub>''n''</sub>, −I<sub>''n''</sub>}<nowiki/>}}.
* O centro do [[grupo ortogonal especial]], {{Math|SO(''n'')}} é o grupo completo cando {{Math|1=''n'' = 2}}, e  {{Math|{I<sub>''n''</sub>, −I<sub>''n''</sub><nowiki>}</nowiki>}} cando ''n'' é par, e trivial cando ''n'' é impar.
* O centro do [[grupo unitario]], <math>U(n)</math> é <math>\left\{ e^{i\theta} \cdot I_n \mid \theta \in [0, 2\pi) \right\}</math>.
* Se o [[grupo cociente]] {{Math|''G''/Z(''G'')}} é [[Grupo cíclico|cíclico]], {{Math|''G''}} é [[Grupo abeliano|abeliano]] (e por tanto {{Math|1=''G'' = Z(''G'')}}, logo {{Math|''G''/Z(''G'')}}  é trivial).

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro
 | last1=Fraleigh | first1=John B. | authorlink1=
 | year = 2014
 | title = A First Course in Abstract Algebra
 | edition = 7
 | publisher = Pearson
 | isbn = 978-1-292-02496-7
}}
=== Outros artigos ===
* [[Centro (teoría de aneis)]].
* [[Subgrupo normal]].
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Centre of a group|id=p/c021250}}


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de grupos]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]