Límite superior e límite inferior

Unha ilustración representando o límite superior e o límite inferior. A sucesión x_n está denotada nunha liña de puntos azul. As dúas curvas vermellas aproxímanse ao límite superior e límite inferior de x_n, que se amosan como liñas a trazos vermellas, continuas á dereita. O límite superior é o máis grande dos dous, e o límite inferior o máis pequeno. Os límites superior e inferior só coinciden cando a secuencia é converxente (i.e., cando o límite é común).

En matemática defínese límite superior e límite inferior dunha sucesión (x_n) como o maior e menor límite converxente das subsucesións de (x_n). Analogamente a este, o límite superior e límite inferior para funcións reais defínese do mesmo xeito. O límite superior e o límite inferior son un substituto parcial para o límite, se é que este non existe.

Definición formal

Formalmente o límite inferior dunha sucesión $(x_n)$ defínese como

$\underset{n\ge 0}{\sup }\underset{k\ge n}{\inf }{x}_k=\sup \{\inf \{x_k:k\ge n\}:n\ge 0\}$

ou tamén como

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k\ge n}{\inf }{x}_k\right)$

e denótase como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n$ ou como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underset{―}{\lim }}{x}_n$. Analogamente defínese $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}{x}_n=\underset{n\ge 0}{\inf }\underset{k\ge n}{\sup }{x}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\underset{k\ge n}{\sup }{x}_k\right)$.

Estas definicións son útiles nun conxunto parcialmente ordenado nun sentido cuantitativo, e proporcionan que o supremo e o ínfimo existan. Nunha rede reticular completa sempre existen estes valores, polo que nese caso, cada sucesión ten un límite inferior e límite superior asociado.

Se existe o límite inferior e o límite superior dunha sucesión $(x_n)$, entón cúmprese que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n.$

Propiedades

Sexan $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ e $\{b_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ sucesións de números reais, entón cúmprense as seguintes afirmacións:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}-a_n=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(a_n+b_n)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{b}_n$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(a_n+b_n)\ge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{b}_n$

Límites superior e inferior dunha sucesión de conxuntos

Nalgunhas situacións, sobre todo na teoría da medida, é conveniente definir os conceptos de límite superior e inferior para unha secuencia de conxuntos.

Se $E_n$ é unha sucesión de conxuntos, entón defínese:

• O límite superior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a unha infinidade de conxuntos $E_n$.
• O límite inferior é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a cada un dos $E_n$ excepto por un número finito deles.

Dito dun xeito formal:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n=\overline{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{E}_n=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{E}_k$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{E}_n=\underset{\_}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }}{E}_n=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\bigcap _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{E}_k$

Cúmprese sempre que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{E}_n\subseteq \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n$. Cando estes conxuntos coinciden, dicimos que o límite existe:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{E}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{E}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{E}_n$

Véxase tamén

Ínfimo e supremo

Bibliografía

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).