DescriciónCovariantcomponents.gif	English: Covariant and contravariant components of a vector when the basis is not orthogonal.
Data	8 de decembro de 2018
Orixe	https://twitter.com/j_bertolotti/status/1071417492692709376  Esta GIF imaxe foi creada co Mathematica
Autoría	Jacopo Bertolotti
Licenza (Reuso deste ficheiro)	https://twitter.com/j_bertolotti/status/1030470604418428929

line[p1_, p2_] := 
  Block[{m, q}, {m, q} /. 
    Solve[{p1[[2]] == m p1[[1]] + q, p2[[2]] == m p2[[1]] + q}, {m, 
       q}][[1]]];
intersection[l1_, l2_] := 
  Block[{x, y}, {x, y} /. 
    Solve[{y == l1[[1]] x + l1[[2]], y == l2[[1]] x + l2[[2]]}, {x, 
       y}][[1]] ];
parallel[l1_, p1_] := {l1[[1]], p1[[2]] - l1[[1]] p1[[1]]};
normal[l1_, p1_] := {-1/l1[[1]], p1[[2]] + 1/l1[[1]] p1[[1]]};
o = {0, 0};
pe1 = {1, 10^-5}/Norm[{1, 0.1}];
v = {2.1, 1};
plots = Table[
   pe2 = {10^-5 + j, 1}/Norm[{10^-5 + j, 1}];
   GraphicsRow[{
     Graphics[{
       Thick, Dashed, Gray, Line[{o, 3 pe1}], Line[{o, 3*pe2}], 
       Line[{v, 
         intersection[normal[line[o, pe1], v], line[o, pe1]]}], 
       Line[{v, 
         intersection[normal[line[o, pe2], v], line[o, pe2] ]}]
       ,
       Dashing[None], Black, Arrow[{o, pe1}], Arrow[{o, pe2}], Blue, 
       Arrow[{o, v}]
       ,
       Black, Disk[o, 0.05], 
       Disk[intersection[normal[line[o, pe2], v], line[o, pe2] ], 
        0.05], Disk[
        intersection[normal[line[o, pe1], v], line[o, pe1] ], 0.05],
       Text[Style["O", Bold, FontSize -> 14], o - {0.2, 0.2}], 
       Text[Style[
         "\!\(\*SubscriptBox[OverscriptBox[\(e\), \(^\)], \(x\)]\)", 
         Bold, FontSize -> 14], pe1 - {0, 0.15}], 
       Text[Style[
         "\!\(\*SubscriptBox[OverscriptBox[\(e\), \(^\)], \(y\)]\)", 
         Bold, FontSize -> 14], pe2 + {0, 0.15}], 
       Text[Style["\!\(\*SubscriptBox[\(v\), \(x\)]\)", Bold, 
         FontSize -> 14], 
        intersection[normal[line[o, pe1], v], line[o, pe1] ] + {0.2, 
          0.2}], Text[
        Style["\!\(\*SubscriptBox[\(v\), \(y\)]\)", Bold, 
         FontSize -> 14], 
        intersection[normal[line[o, pe2], v], line[o, pe2] ] + {0.1, 
          0.2}],
       Blue, 
       Text[Style["\!\(\*OverscriptBox[\(v\), \(\[Rule]\)]\)", Bold, 
         FontSize -> 14], v + {0.1, 0.1}]
       }, PlotRange -> {{-0.5, 2.5}, {-0.5, 2}}, 
      PlotLabel -> "Covariant components", 
      LabelStyle -> {Black, Bold}, ImageSize -> Medium]
     ,
     Graphics[{
       Thick, Dashed, Gray, Line[{o, 3 pe1}], Line[{o, 3*pe2}], 
       Line[{v, 
         intersection[parallel[line[o, pe1], v], line[o, pe2]]}], 
       Line[{v, 
         intersection[parallel[line[o, pe2], v], line[o, pe1] ]}]
       ,
       Dashing[None], Black, Arrow[{o, pe1}], Arrow[{o, pe2}], Blue, 
       Arrow[{o, v}]
       ,
       Black, Disk[o, 0.05], 
       Disk[intersection[parallel[line[o, pe1], v], line[o, pe2] ], 
        0.05], Disk[
        intersection[parallel[line[o, pe2], v], line[o, pe1] ], 
        0.05],
       Text[Style["O", Bold, FontSize -> 14], o - {0.2, 0.2}], 
       Text[Style[
         "\!\(\*SubscriptBox[OverscriptBox[\(e\), \(^\)], \(x\)]\)", 
         Bold, FontSize -> 14], pe1 - {0, 0.15}], 
       Text[Style[
         "\!\(\*SubscriptBox[OverscriptBox[\(e\), \(^\)], \(y\)]\)", 
         Bold, FontSize -> 14], pe2 + {0, 0.15}], 
       Text[Style["\!\(\*SubscriptBox[\(v\), \(x\)]\)", Bold, 
         FontSize -> 14], 
        intersection[parallel[line[o, pe2], v], line[o, pe1] ] + {0.2,
           0.2}], Text[
        Style["\!\(\*SubscriptBox[\(v\), \(y\)]\)", Bold, 
         FontSize -> 14], 
        intersection[parallel[line[o, pe1], v], line[o, pe2] ] + {0.1,
           0.2}],
       Blue, 
       Text[Style["\!\(\*OverscriptBox[\(v\), \(\[Rule]\)]\)", Bold, 
         FontSize -> 14], v + {0.1, 0.1}]
       }, PlotRange -> {{-0.5, 2.5}, {-0.5, 2}}, 
      PlotLabel -> "Contravariant components", 
      LabelStyle -> {Black, Bold}]
     }]
   , {j, 0, 1.8, 0.05}];
ListAnimate[Join[plots, Reverse@plots]]

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