Teorema fundamental da álxebra

O teorema fundamental da álxebra establece que todo polinomio con números complexos por coeficientes e grao distinto de cero ten polo menos unha raíz (que será, en xeral, un número complexo).

Enunciado e equivalencias

O enunciado máis utilizado do teorema é o seguinte:

Todo polinomio nunha variable de grao n ≥ 1 con coeficientes reais ou complexos ten polo menos unha raíz complexa.

En ocasións emprégase tamén o seguinte enunciado: Un polinomio nunha variable, non constante e con coeficientes complexos, ten tantas raíces como indica o seu grao (contando as súas multiplicidades.

Son equivalentes as afirmacións:

• O corpo dos números complexos é alxébricamente pechado para as operacións alxébricas
• Todo polinomio complexo de grao n ≥ 1 é expresable como produto de polinomios de grao 1

$p(z)=\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k=a_n\prod _{i=1}^n(z-b_i).$

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
• Modelo:Cita publicación periódica. English translation: Modelo:Cita publicación periódica
• Modelo:Cita libro

Ligazóns externas

• Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs (en inglés)
• D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, PDF (unpublished paper)Modelo:Webarchive, visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (en inglés)