Cálculo estocástico

Modelo:Sen notas Cálculo estocástico é unha rama das matemáticas que trata os procesos estocásticos. Permite definir consistentemente unha teoría de integración para procesos estocásticos con respecto a procesos estocáticos, de utilidade para modelar sistemas con comportamento aleatorio.

O proceso estocástico máis coñecido ao que se aplica o cálculo estocástico é o proceso de Wiener (chamado así en honor a Norbert Wiener), que se usa para modelar movementos Brownianos tal e como os describiu Albert Einstein e outros procesos físicos de difusión no espazo de partículas suxeitas a forzas aleatorias. Dende a década dos 70 do século XX, o proceso de Wiener ten sido utilizado con frecuencia nas matemáticas financeiras para modelar a evolución no tempo de prezos de accións e bonos.

As principais compoñentes do cálculo estocástico son o cálculo de Itō e as técnicas de variacións relacionadas (cálculo de Malliavin). Por motivos técnicos a integral de Itō é a máis usada para clases xerais de procesos, pero a relacionada integral de Stratonovich tamén se emprega con frecuencia na formulación de problemas (especialmente en disciplinas de enxeñería.) A integral de Stratonovich pode expresarse en termos da integral de Itō. Outra vantaxe de integral de Stratonovich é que permite expresar algúns problemas nun sistema de coordenadas invariable, e é polo tanto de axuda cando o cálculo se desenvolve en espazos distintos de Rⁿ.

O Teorema da converxencia dominada non se pode aplicar á integral de Stratonovich, polo que é moi difícil probar resultados sen expresala como en forma de integrais de Itō.

Integral de Itō

A integral de Itō é o tema central de estudo do cálculo estocástico. A integral $\int HdX$ está definida para unha semimartingala X e un proceso H predecible e localmente acoutado.

Integral de Stratonovich

A integral de Stratonovich pódese definir en termos da integral de Itō

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}_{s-}\circ d{Y}_s:=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}_{s-}d{Y}_s+\frac{1}{2}{[X,Y]}_t^c.$

A notación alternativa

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{X}_s\partial Y_s$

taén se emprega para denotar a integral de Stratonovich.

Aplicacións

Unha aplicación moi importante do cálculo estocástico dáse nas finanzas cuantitativas.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Notes on Stochastic Calculus — Unha descrición breve da integral de Itō básica.
• T. Szabados e B. Szekely, Stochastic integration based on simple, symmetric random walks - Un novo enfoque, que os autores esperan que sexa máis transparente e menos esixente dende o punto de vista técnico.