Integral de Riemann

Integral de Riemann para funcións dunha variable real

Para funcións dunha única variable real, a integral de Riemann permite calcular áreas como límite de sumas de rectángulos. En primeiro lugar definimos o concepto de suma de Riemann, que formaliza o concepto de sumas de rectángulos relativos á funcións dunha variable, e de forma natural pasamos á definición de funcións Riemann-integrables co paso ao límite destas sumas.

Sumas de Riemann

Consideremos unha función $f:[a,b]\subset ℝ\to ℝ$ con dominio un intervalo real non dexenerado. Dada unha partición deste intervalo, isto é, un conxunto finito $𝒫=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ con $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$, definimos a suma de Riemann da función $f$ relativa á partición $𝒫$ como calquera número real obtido como $$S(𝒫,f)=\sum _{k=1}^{n}f(t_k)(x_k-x_{k-1}),$$onde para cada índice temos que $t_k\in [x_{k-1},x_k],k=1,\dots ,n$. Existen infinidade de sumas de Riemann da función $f$ relativa á partición $𝒫$, dependendo da escolla dos puntos $t_k,k=1,\dots ,n$.

Cada sumando da suma de Riemann representa a área (con signo) do rectángulo de base $x_k-x_{k-1}$ e altura $f(t_k)$. Isto implica que se a función $f$ é non negativa, o resultado da suma de Riemann será a suma (positiva) das áreas de todos estes rectángulos, pero se a función $f$ toma valores negativos e ocorre que $f(t_k)<0$ para algún $k=1,\dots ,n$, o sumando correspondente tería un peso negativo na suma total.

Funcións Riemann-integrables

Dicimos que unha función de variable real $f:𝒟\supset [a,b]\to ℝ$ é Riemann-integrable se existe un (único) número real $ℐ$ tal que para cada $\epsilon >0$ existe unha partición ${𝒫}_{\epsilon }$ tal que $|S(𝒫,f,\{t_k\})-ℐ)|<\epsilon$, para calquera partición do intervalo $[a,b]$ cumprindo $𝒫\supset {𝒫}_{\epsilon }$ e para calquera escolla dos puntos $t_k$. O número real $ℐ$ chámase integral de Riemann de $f$, e denotámolo como $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f$.

Podemos definir a norma da partición $𝒫$ como o número real $\Vert 𝒫\Vert =\underset{k=1,\dots ,n}{\max }\{x_k-x_{k-1}\}$. Deste xeito, podemos dicir de forma equivalente que unha función $f$ é Riemann-integrable se existe un (único) número real $ℐ$ tal que $\underset{\Vert 𝒫\Vert \to 0}{\lim }S(𝒫,f)=ℐ$.

Interpretación xeométrica da integral de Riemann

Para funcións non negativas, a integral de Riemann representa a área da rexión comprendida entre a gráfica da función a integral e o eixo de abscisas entre os extremos do intervalo de integración $[a,b]$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. Modelo:Isbn.
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Integral
• Función medible

Ligazóns externas

• Riemann Integral.