Desigualdades QM-AM-GM-HM

En matemáticas, as desigualdades QM-AM-GM-HM, tamén coñecidas como cadea de desigualdades medias, establecen a relación entre a media harmónica (HM), a media xeométrica (GM), a media aritmética (AM) e a media cadrática (QM) (tamén coñecida como raíz cadrada media). Supoñamos que $x_1,x_2,\dots ,x_n$ son números reais positivos. Daquela

$0<\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\le \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}.$</math>

Estas desigualdades aparecen a miúdo en concursos de matemáticas e teñen aplicacións en moitos campos da ciencia.

Proba

Hai tres desigualdades entre medias para demostrar. Existen varios métodos para demostrar as desigualdades, incluíndo a indución matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, os multiplicadores de Lagrange e a desigualdade de Jensen. Para outras probas de que GM ≤ AM, consulte o artigo sobre a desigualdade AM-GM (desigualdade da media aritmética e a media xeométrica).

Desigualdade AM-QM

A partir da desigualdade de Cauchy-Schwarz en números reais, establecendo un vector cos valores Modelo:Math, temos :

${(\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot 1)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{1}^2\right)=n\sum _{i=1}^n{x}_i^2,$ polo tanto ${\left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}\right)}^2\le \frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}$. Para os $x_i$ positivos a raíz cadrada deste dá a desigualdade.

Desigualdade HM-GM

O recíproco da media harmónica é a media aritmética dos recíprocos $1/x_1,\dots ,1/x_n$, e supera $1/\sqrt[n]{x_1\dots x_n}$ pola desigualdade AM-GM. $x_i>0$ implica a desigualdade:

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}\le \sqrt[n]{x_1\dots x_n}.$

O caso n=2

O semicírculo usado para visualizar as desigualdades

$\frac{2}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}\le \sqrt{x_1{x}_2}\le \frac{x_1+x_2}{2}\le \sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2}{2}}$ para todos os $x_1,x_2>0,$

que se pode visualizar nun semicírculo cuxo diámetro é [AB] e centro D.

Supoña AC=x₁ e BC=x₂. Constrúa perpendiculares a [AB] en D e C respectivamente. Una [CE] e [DF] e constrúa ademais unha perpendicular [CG] a [DF] en G. Daquela, a lonxitude de GF pódese calcular como a media harmónica, CF como a media xeométrica, DE como a media aritmética e CE como a media cadrática. As desigualdades danse logo facilmente do teorema de Pitágoras.

Comparación de valores medios harmónicos, xeométricos, aritméticos, cadráticos e outros valores medios de dous números reais positivos $x_1$ e $x_2$

Exemplo

Para inferir a orde correcta, as catro expresións pódense avaliar con dous números positivos.

Para $x_1=10$ e $x_2=40$ en particular, isto resulta en $16<20<25<5\sqrt{34}$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Media xeneralizada.
• Desigualdade AM-GM.

Ligazóns externas

• The HM-GM-AM-QM Inequalities Modelo:Webarchive
• Useful inequalities cheat sheet meter "means" no lado dereito da páxina 1