Cotanxente

A cotanxente, co símbolo habitual cot ou cotan, é unha función trigonométrica.

Definición

Gráfica da función cotanxente.

Xeométricamente, nun triángulo rectángulo ABC con hipotenusa AB :

$\cot \hat{A}=\frac{AC}{BC}$

En trigonometría :

$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{1}{\tan \theta }$

Propiedades

A función cotanxente verifica a igualdade :

$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

A derivada da cotanxente é :

${\cot }^{\prime }x=-{\csc }^{2}x$

A antiderivada da cotanxente é :

$\int \cot x\mathrm{d}x=\ln (\sin x)+C$

Temos a expansión da serie de Laurent, onde $B_k$ designa o k-ésimo número de Bernoulli

$\cot x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{2}^{2n}{B}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1}$

máis tamén

$\pi \cot (\pi x)=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x+n}$

do que deducimos

$\cot (x)=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2-n^2{\pi }^2}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x+n\pi }$