Teorema de Kummer

En matemáticas, o teorema de Kummer é unha fórmula para calcular o expoñente da maior potencia dun número primo p que divide un coeficiente binomial dado. Noutras palabras, dá a valoración p-ádica dun coeficiente binomial. O teorema recibe o nome de Ernst Kummer, quen o demostrou nun artigo Modelo:Cita Harvard.

Teorema

O teorema de Kummer afirma que para os números enteiros dados n ≥ m ≥ 0 e un número primo p, a valoración p-ádica $ν_{p} (\binom{n}{m})$ do coeficiente binomial $(\binom{n}{m})$ é igual ao número de carrexos cando se suma $m$ a $m - n$ en base p.

Unha forma equivalente do teorema é a seguinte:

Escribamos a expansión en base $p$ do número enteiro $n$ como $n = n_{0} + n_{1} p + n_{2} p^{2} + \dots + n_{r} p^{r}$ , e definamos $S_{p} (n) : = n_{0} + n_{1} + \dots + n_{r}$ como a suma dos díxitos en base $p$ , entón

ν_{p} (\binom{n}{m}) = \frac{S_{p} (m) + S_{p} (n - m) - S_{p} (n)}{p - 1} .

O teorema pódese demostrar escribindo $(\binom{n}{m})$ como $\frac{n!}{m! (n - m)!}$ e usando a fórmula de Legendre.^[1]

Exemplos

Para calcular a maior potencia de 2 que divide o coeficiente binomial $(\binom{10}{3})$ escribimos Modelo:Math e Modelo:Math na base Modelo:Math como Modelo:Math e Modelo:Math. Realizamos a suma Modelo:Math na base 2 require tres acarreos:

	₁	₁	₁
			1	1 ₂
+		1	1	1 ₂
	1	0	1	0 ₂

Polo tanto a maior potencia de 2 que divide $(\binom{10}{3}) = 120 = 2^{3} \cdot 15$ é 3.

Alternativamente, pódese usar a forma que inclúe sumas de díxitos. As sumas dos díxitos de 3, 7 e 10 na base 2 son $S_{2} (3) = 1 + 1 = 2$ , $S_{2} (7) = 1 + 1 + 1 = 3$ , e $S_{2} (10) = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$ respectivamente, daquela

ν_{2} (\binom{10}{3}) = \frac{S_{2} (3) + S_{2} (7) - S_{2} (10)}{2 - 1} = \frac{2 + 3 - 2}{2 - 1} = 3 .

Xeneralización para coeficientes multinomiais

O teorema de Kummer pódese xeneralizar a coeficientes multinomiais $(\binom{n}{m_{1}, \dots, m_{k}}) = \frac{n!}{m_{1}! \dots m_{k}!}$ como segue:

ν_{p} (\binom{n}{m_{1}, \dots, m_{k}}) = \frac{1}{p - 1} (- S_{p} (n) + \sum_{i = 1}^{k} S_{p} (m_{i})) .

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Teorema de Lucas

Modelo:Control de autoridades

↑ Modelo:Cite journal

[1] Modelo:Cite journal

[1]

Teorema de Kummer

Índice

Teorema

Exemplos

Xeneralización para coeficientes multinomiais

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Menú de navegación

Teorema de Kummer

Teorema

Exemplos

Xeneralización para coeficientes multinomiais

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Menú de navegación

Procura