Estatística de Maxwell-Boltzmann

Representación gráfica da función densidade de distribución de Maxwell-Boltzmann.

En física, a estatística de Maxwell-Boltzmann é unha función estatística desenvolvida para modelar o comportamento de sistemas físicos rexidos pola mecánica clásica. Esta función estatística clásica, formulada orixinalmente polos físicos J.C. Maxwell e L. Boltzmann, rexe a distribución dun conxunto de partículas en función dos posibles valores de enerxía dos estados que estas poden ocupar. Para cada sistema termodinámico, a distribución de Maxwell-Boltzmann non é outra cousa que a aplicación do colectivo canónico da mecánica estatística, baixo o suposto non-cuántico de que os números de ocupación de cada estado dispoñible son pequenos comparados co número máximo de ocupación.

Esta función é unha densidade de probabilidade cuxa expresión é:Modelo:EcuaciónOu de forma máis xeneralizada, pode expresarse como:

$\frac{N_i}{N}=\frac{g_i}{e^{({ϵ}_i-\mu )/kT}}=\frac{g_i{e}^{-{ϵ}_i/kT}}{Z}$

Onde:

• $A(N;T)$: é unha función dependente de $N$, o número de partículas no sistema e de $T$, a temperatura do sistema en Kelvin.
• $N_i$ é o número de partículas no estado i.
• ${ϵ}_i$ é a enerxía do estado i-ésimo.
• $g_i$ é a dexeneración do nivel de enerxía i, é dicir, o número de estados (excluíndo o estado de partícula libre) con enerxía ${ϵ}_i$.
• $\mu$ é o potencial químico.
• $k$ é a constante de Boltzmann.
• $N$ é o número total de partículas:

$N=\sum _i{N}_i$

• $Z$ é a función partición:

$Z=\sum _i{g}_i{e}^{-{ϵ}_i/kT}$

• $e$ é o número de Euler.

A distribución de Maxwell-Boltzmann aplicouse especialmente á teoría cinética de gases, e outros sistemas físicos, ademais de en econofísica para predicir la distribución da renda. En realidade a distribución de Maxwell-Boltzmann é aplicable a calquera sistema formado por N "partículas" ou "individuos" que intercambian estacionariamente entre si unha certa magnitude M e cada un deles ten unha cantidade m_i da magnitude M e ao longo do tempo se cumpre que M := m₁+m₂+...+ m_N.

Límites de aplicación

Para un sistema de partículas cuánticas, a hipótese de que $N_i$ sexa substancialmente menor que $g_i$ para os estados diferentes do fundamental en xeral non se cumprirá e é necesario acudir á estatística de Bose-Einstein se as partículas son bosónicas ou á estatística de Fermi-Dirac si as partículas son fermiónicas.

As estatísticas de Fermi–Dirac (+) e Bose–Einstein (−) poden ser expresadas como:Modelo:EcuaciónAsumindo que o valor mínimo de ${ϵ}_i$ é bastante pequeno, pódese verificar que a condición na cal a distribución de Maxwell-Boltzmann é válida é cando se cumpre que:Modelo:EcuaciónPara un gas ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvemento da ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que :Modelo:Ecuaciónonde $E$ é a enerxía interna total, $S$ é a entropía, $V$ é o volume, e $\mathrm{\Lambda }$ é a lonxitude de onda térmica de De Broglie. A condición de aplicación para a distribución Maxwell-Boltzmann nun gas ideal resulta:Modelo:Ecuación

Véxase tamén

Outros artigos

• Distribución de probabilidade
• Estatística de Fermi-Dirac
• Estatística de Bose-Einstein

Bibliografía

• Modelo:Cita libro