Función suave

Unha función croque é unha función suave con soporte compacto.

En análise matemática, a suavidade dunha función é unha propiedade medida polo número de derivadas continuas (clase de diferenciabilidade) que ten sobre o seu dominio.

Unha función de clase $C^k$ é unha función con suavidade de polo menos Modelo:Mvar; é dicir, unha función de clase $C^k$ é unha función que ten unha Modelo:Mvar-ésima derivada que é continua no seu dominio.

Unha función de clase $C^{\mathrm{\infty }}$ ou función $C^{\mathrm{\infty }}$ (pronunciada función C-infinito) é unha función infinitamente diferenciábel, é dicir, unha función que ten derivadas de todas as ordes (isto implica que todas estas derivadas son continuas).

Xeralmente, o termo función suave refírese a unha función $C^{\mathrm{\infty }}$. No entanto, tamén pode significar "suficientemente diferenciábel" para o problema baixo consideración.

Clases de diferenciabilidade

A clase de diferenciabilidade é unha clasificación de funcións segundo as propiedades das súas derivadas. É unha medida da orde máis alta de derivada que existe e é continua para unha función.

Consideremos un conxunto aberto $U$ na recta real e unha función $f$ definida en $U$ con valores reais. Sexa k un enteiro non negativo. A función $f$ dise que é de clase de diferenciabilidade $C^k$ se as derivadas $f^{\prime },f^{″},\dots ,f^{(k)}$ existen e son continuas en $U.$ Se $f$ é $k$-diferenciábel en $U,$ entón está polo menos na clase $C^{k-1}$ xa que $f^{\prime },f^{″},\dots ,f^{(k-1)}$ son continuas en $U.$ A función $f$ dise que é infinitamente diferenciábel, suave, ou de clase $C^{\mathrm{\infty }},$ se ten derivadas de todas as ordes en $U.$ (Así, todas estas derivadas son funcións continuas sobre $U.$) A función $f$ dise que é de clase $C^{\omega },$ ou analítica, se $f$ é suave (é dicir, $f$ está na clase $C^{\mathrm{\infty }}$) e a súa expansión en serie de Taylor arredor de calquera punto do seu dominio converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Existen funcións que son suaves pero non analíticas; $C^{\omega }$ está estritamente contido en $C^{\mathrm{\infty }}.$ As funcións croque son exemplos de funcións con esta propiedade.

Exemplos

Exemplo: continua (C⁰) mais non diferenciábel

A función C⁰ Modelo:Nowrap para Modelo:Nowrap e 0 en caso contrario.

A función Modelo:Nowrap para Modelo:Nowrap.

A función $f:ℝ\to ℝ$ con $f(x)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ para $x\ne 0$ e $f(0)=0$ é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.

Unha función suave que non é analítica.

A función $$f(x)=\{\begin{array}{cc}x& \text{se }x\ge 0,\\ 0& \text{se }x<0\end{array}$$ é continua, pero non diferenciábel en Modelo:Nowrap, polo que é de clase C⁰, pero non de clase C¹.

Exemplo: finitamente diferenciábel (C^Modelo:Mvar)

Para cada enteiro par Modelo:Mvar, a función $$f(x)=|x{|}^{k+1}$$ é continua e Modelo:Mvar veces diferenciábel en todos os Modelo:Mvar. En Modelo:Nowrap, non obstante, $f$ non é Modelo:Nowrap veces diferenciábel, polo que $f$ é de clase C^Modelo:Mvar, mais non de clase C^Modelo:Mvar onde Modelo:Nowrap.

Exemplo: diferenciábel mais non continuamente diferenciábel (non C¹)

A función $$g(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{se }x\ne 0,\\ 0& \text{se }x=0\end{array}$$ é diferenciábel, con derivada $$g^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}-\cos \left(\frac{1}{x}\right)+2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{se }x\ne 0,\\ 0& \text{se }x=0.\end{array}$$

Como $\cos (1/x)$ oscila cando Modelo:Mvar → 0, $g^{\prime }(x)$ non é continua en cero. Polo tanto, $g(x)$ é diferenciábel mais non de clase C¹.

Exemplo: diferenciábel mais non Lipschitz continua

A función $$h(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{4/3}\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{se }x\ne 0,\\ 0& \text{se }x=0\end{array}$$ é diferenciábel pero a súa derivada non está limitada nun conxunto compacto. Polo tanto, $h$ é un exemplo dunha función que é diferenciábel mais non localmente Lipschitz continua.

Exemplo: analítica (C^Modelo:Mvar)

A función exponencial $e^x$ é analítica, e polo tanto cae na clase C^ω (onde ω é o menor ordinal transfinito). As funcións trigonométricas tamén son analíticas onde estean definidas, xa que son combinacións lineares de funcións exponenciais complexas $e^{ix}$ e $e^{-ix}$.

Exemplo: suave (C^Modelo:Mvar) mais non analítica (C^Modelo:Mvar)

A función croque $$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{1-x^2}}& \text{ se }|x|<1,\\ 0& \text{ en caso contrario }\end{array}$$ é suave, polo que é de clase C^∞, pero non é analítica en Modelo:Nowrap, e polo tanto non é de clase C^ω. A función Modelo:Mvar é un exemplo dunha función suave con soporte compacto.

Clases de diferenciabilidade multivariábel

Unha función $f:U\subset {ℝ}^n\to ℝ$ definida nun conxunto aberto $U$ de ${ℝ}^n$ dise que é de clase $C^k$ en $U$, para un enteiro positivo $k$, se todas as derivadas parciais $$\frac{{\partial }^{\alpha }f}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\partial x_2^{{\alpha }_2}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}(y_1,y_2,\dots ,y_n)$$ existen e son continuas, para cada ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ enteiros non negativos, tal que $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n\le k$, e cada $(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in U$. Equivalentemente, $f$ é de clase $C^k$ en $U$ se a derivada de Fréchet de orde $k$ de $f$ existe e é continua en cada punto de $U$. A función $f$ dise que é de clase $C$ ou $C^0$ se é continua en $U$. As funcións de clase $C^1$ tamén se din continuamente diferenciábeis.

Unha función $f:U\subset {ℝ}^n\to {ℝ}^m$, definida nun conxunto aberto $U$ de ${ℝ}^n$, dise que é de clase $C^k$ en $U$, para un enteiro positivo $k$, se todas as súas compoñentes $$f_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)=({\pi }_i\circ f)(x_1,x_2,\dots ,x_n)={\pi }_i(f(x_1,x_2,\dots ,x_n))\text{ para }i=1,2,3,\dots ,m$$ son de clase $C^k$, onde ${\pi }_i$ son as proxeccións naturais ${\pi }_i:{ℝ}^m\to ℝ$ definidas por ${\pi }_i(x_1,x_2,\dots ,x_m)=x_i$. Dise que é de clase $C$ ou $C^0$ se é continua, ou equivalentemente, se todas as compoñentes $f_i$ son continuas, en $U$.

O espazo das funcións C^k

Sexa $D$ un subconxunto aberto da recta real. O conxunto de todas as funcións reais de clase $C^k$ definidas en $D$ é un espazo vectorial de Fréchet, coa familia contábel de seminormas $$p_{K,m}=\underset{x\in K}{\sup }|f^{(m)}(x)|$$ onde $K$ varía sobre unha secuencia crecente de conxuntos compactos cuxa unión é $D$, e $m=0,1,\dots ,k$.

O conxunto das funcións $C^{\mathrm{\infty }}$ sobre $D$ tamén forma un espazo de Fréchet. Úsanse as mesmas seminormas que antes, excepto que $m$ pode variar sobre todos os valores enteiros non negativos.

Os espazos anteriores ocorren naturalmente en aplicacións onde se requiren funcións con derivadas de certas ordes; no entanto, especialmente no estudo de ecuacións diferenciais parciais, ás veces pode ser máis produtivo traballar con espazos de Sobolev.

Véxase tamén

Outros artigos

• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link}
• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link
• Modelo:Annotated link
• Mapa de Sobolev