Coeficiente binomial: Diferenzas entre revisións

Revisión actual feita o 13 de decembro de 2024 ás 21:51

Os coeficientes binomiais ou números combinatorios son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros Modelo:Math e escríbese $(\binom{n}{k}) .$ Correspóndese co coeficiente do termo Modelo:Math na expansión polinómica da potencia binomial Modelo:Math; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} .

Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de (Modelo:Math) é

\begin{matrix} (1 + x)^{4} & = (\binom{4}{0}) x^{0} + (\binom{4}{1}) x^{1} + (\binom{4}{2}) x^{2} + (\binom{4}{3}) x^{3} + (\binom{4}{4}) x^{4} \\ = 1 + 4 x + 6 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}, \end{matrix}

e calculamos o coeficiente binomial $(\binom{4}{2}) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \frac{4!}{2! 2!} = 6$ é o coeficiente do termo Modelo:Math.

Se ordenamos os números $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), \dots, (\binom{n}{n})$ en filas sucesivas para Modelo:Math daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo $(\binom{n}{k})$ adoita lerse como "Modelo:Mvar sobre Modelo:Mvar". Hai $(\binom{n}{k})$ formas de escoller un subconxunto (desordenado) de Modelo:Mvar elementos dun conxunto fixo de Modelo:Mvar elementos. Por exemplo, hai $(\binom{4}{2}) = 6$ formas de escoller Modelo:Math elementos entre Modelo:Mset, é dicir, Modelo:Mset, Modelo:Mset, Modelo:Mset, Modelo:Mset, Modelo:Mset e Modelo:Mset.

Agora podemos xeneralizar para que $(\binom{z}{k})$ poida usarse para calquera número complexo Modelo:Mvar e enteiro Modelo:Math, e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son Modelo:Math, Modelo:Math, e Modelo:Math, en todas elas o Modelo:Mvar significa combinacións.

Definición e interpretacións

Para os números naturais n e k, o coeficiente binomial $(\binom{n}{k})$ pódese definir como o coeficiente do monomio X^k na expansión de Modelo:Math. O mesmo coeficiente tamén ocorre (se Modelo:Math ) na fórmula binomial Modelo:Bloque numerado(válida para calquera elemento x, y dun anel conmutativo), o que explica o nome de "coeficiente binomial".

Tamén aparece na combinatoria, onde dá o número de subconxuntos de Modelo:Mvar elementos (ou Modelo:Mvar-combinacións) dun conxunto de Modelo:Mvar elementos.

Cálculo do valor dos coeficientes binomiais

Fórmula recursiva

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

para todos os números enteiros

n, k

tal que

1 \leq k < n,

con valores límite

(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1

para todos os números enteiros Modelo:Math.

Fórmula multiplicativa

$(\binom{n}{k}) = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - (k - 1))}{k (k - 1) (k - 2) \dots 1} = \prod_{i = 1}^{k} \frac{n + 1 - i}{i},$ onde o numerador da primeira fracción $n^{\underline{k}}$ exprésase como o símbolo de Pochhammer do factorial descendente.

Fórmula factorial

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} for 0 \leq k \leq n,

onde Modelo:Math denota o factorial de Modelo:Mvar . A fórmula presenta unha simetría Modelo:Bloque numerado

Xeneralización e conexión coa serie binomial

A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo Modelo:Mvar por un número arbitrario $α$ (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles: $(\binom{α}{k}) = \frac{α^{\underline{k}}}{k!} = \frac{α (α - 1) (α - 2) \dots (α - k + 1)}{k (k - 1) (k - 2) \dots 1} para k \in ℕ e un arbitrario α .$ Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial, cunha das variables posta a 1, :Modelo:Bloque numeradoEsta fórmula é válida para todos os números complexos α e X con |X| < 1.

Triángulo de Pascal

A regra de Pascal é unha importante relación de recorrenciaModelo:Bloque numeradoque se pode utilizar para demostrar por indución matemática que $(\binom{n}{k})$ é un número natural para todos os enteiros n ≥ 0 e todos os enteiros k, un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).

A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

O número de fila Modelo:Mvar contén os números $(\binom{n}{k})$ para Modelo:Math. Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba.

Combinatoria e estatística

Os coeficientes binomiais son de importancia en combinatoria, porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:

Hai $(\binom{n}{k})$ formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos. Consulte Combinacións.
Hai $(\binom{n + k - 1}{k})$ formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos se se permiten as repeticións. Consulte Multiconxunto.
Hai $(\binom{n + k}{k})$ cadeas que conteñen k uns e n ceros.
Hai $(\binom{n + 1}{k})$ cadeas formadas por k uns e n ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.^[1]
Os números de Catalan son $\frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n}) .$
A distribución binomial en estatística é $(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .$

Coeficientes binomiais como polinomios

Dado calquera enteiro non negativo k, a expresión $(\binom{t}{k})$ pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por Modelo:Math:

(\binom{t}{k}) = \frac{t^{\underline{k}}}{k!} = \frac{t (t - 1) (t - 2) \dots (t - k + 1)}{k (k - 1) (k - 2) \dots 2 \cdot 1};

isto presenta un polinomio en t con coeficientes racionais.

Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling:

(\binom{t}{k}) = \sum_{i = 0}^{k} s (k, i) \frac{t^{i}}{k!} .

Identidades que implican coeficientes binomiais

Se k é un número enteiro positivo e n é arbitrario, entónModelo:Bloque numerado

(\binom{n - 1}{k}) - (\binom{n - 1}{k - 1}) = \frac{n - 2 k}{n} (\binom{n}{k}) .

(\binom{n - 1}{k}) = \frac{n - k}{n} (\binom{n}{k}) .

(\binom{n}{h}) (\binom{n - h}{k}) = (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{h}) = (\binom{n}{h + k}) (\binom{h + k}{h}) .

Para n constnte, temos a seguinte recorrencia:

(\binom{n}{k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1}) .

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k}) = \frac{n - k + 1}{k} (\binom{n}{k - 1}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) = \frac{n}{n - 2 k} ((\binom{n - 1}{k}) - (\binom{n - 1}{k - 1})) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) .

Sumas dos coeficientes binomiais

A fórmulaModelo:Bloque numeradoexpresa que os elementos da fila Modelo:Mvar-ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia Modelo:Mvar-ésima.

Temos dúas fórmulas máis,

\sum_{k = 0}^{n} k (\binom{n}{k}) = n 2^{n - 1} .

.

\sum_{k = 0}^{n} k^{2} (\binom{n}{k}) = (n + n^{2}) 2^{n - 2}

.

Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de diferenciar con respecto a Modelo:Mvar (dúas veces na segunda) e despois de substituír Modelo:Math.

A identidade de Chu-Vandermonde, que se cumpre para calquera valores complexos m e n e calquera número enteiro non negativo k, éModelo:Bloque numerado No caso especial Modelo:Math, usando (1), a expansión (7) fica comoModelo:Bloque numeradoonde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central.

Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro j, k e n que satisfaga Modelo:Math, éModelo:Bloque numeradoCando Modelo:Math, a ecuación (9) dá

\sum_{m = k}^{n} (\binom{m}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1})

Sexa F (n) o n-ésimo número de Fibonacci, entón

\sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} (\binom{n - k}{k}) = F (n + 1) .

Sumas de multiseccións

Para os enteiros s e t tales que $0 \leq t < s,$ as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:

(\binom{n}{t}) + (\binom{n}{t + s}) + (\binom{n}{t + 2 s}) + \dots = \frac{1}{s} \sum_{j = 0}^{s - 1} {(2 \cos \frac{π j}{s})}^{n} \cos \frac{π (n - 2 t) j}{s} .

Para Modelo:Mvar pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, ^[2]

(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{3}) + (\binom{n}{6}) + \dots = \frac{1}{3} (2^{n} + 2 \cos \frac{n π}{3})

(\binom{n}{1}) + (\binom{n}{4}) + (\binom{n}{7}) + \dots = \frac{1}{3} (2^{n} + 2 \cos \frac{(n - 2) π}{3})

(\binom{n}{2}) + (\binom{n}{5}) + (\binom{n}{8}) + \dots = \frac{1}{3} (2^{n} + 2 \cos \frac{(n - 4) π}{3})

(\binom{n}{0}) + (\binom{n}{4}) + (\binom{n}{8}) + \dots = \frac{1}{2} (2^{n - 1} + 2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n π}{4})

Sumas parciais

\sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) = (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}),

co caso especial

\sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) = 0

para Modelo:Math. Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio P(x) de grao menor que n, ^[3]

\sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) P (j) = 0 .

Cando P(x) é de grao menor ou igual a n,Modelo:Bloque numeradoonde $a_{n}$ é o coeficiente de grao n en P(x).

Identidade de Dixon

A identidade de Dixon é

\sum_{k = - a}^{a} (- 1)^{k} {(\binom{2 a}{k + a})}^{3} = \frac{(3 a)!}{(a!)^{3}}

ou, máis xeralmente,

\sum_{k = - a}^{a} (- 1)^{k} (\binom{a + b}{a + k}) (\binom{b + c}{b + k}) (\binom{c + a}{c + k}) = \frac{(a + b + c)!}{a! b! c!},

onde a, b e c son enteiros non negativos.

Identidades continuas

Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais, para calquera $m, n \in ℕ,$

\int_{- π}^{π} \cos ((2 m - n) x) \cos^{n} (x) d x = \frac{π}{2^{n - 1}} (\binom{n}{m})

\int_{- π}^{π} \sin ((2 m - n) x) \sin^{n} (x) d x = {\begin{matrix} (- 1)^{m + (n + 1) / 2} \frac{π}{2^{n - 1}} (\binom{n}{m}), & n impar \\ 0, & noutro caso \end{matrix}

\int_{- π}^{π} \cos ((2 m - n) x) \sin^{n} (x) d x = {\begin{matrix} (- 1)^{m + (n / 2)} \frac{π}{2^{n - 1}} (\binom{n}{m}), & n par \\ 0, & noutro caso \end{matrix}

Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.

Congruencias

Se n é primo, entón $(\binom{n - 1}{k}) \equiv (- 1)^{k} mod n$ por cada k con $0 \leq k \leq n - 1 .$

De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se n é calquera número e k é tal que todos os números entre 1 e k son coprimos con n.

Daquela temos

(\binom{n - 1}{k}) = \frac{(n - 1) (n - 2) \dots (n - k)}{1 \cdot 2 \dots k} = \prod_{i = 1}^{k} \frac{n - i}{i} \equiv \prod_{i = 1}^{k} \frac{- i}{i} = (- 1)^{k} mod n .

Funcións xeradoras

Funcións xeradoras ordinarias

Se temos un Modelo:Mvar fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia $(\binom{n}{0}), (\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), \dots$ é

\sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{n}{k}) x^{k} = (1 + x)^{n} .

Agora, se facemos que Modelo:Mvar sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia $(\binom{0}{k}), (\binom{1}{k}), (\binom{2}{k}), \dots,$ é

\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{n}{k}) y^{n} = \frac{y^{k}}{(1 - y)^{k + 1}} .

A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é

\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n} = \frac{1}{1 - y - x y} .

Función xeradora exponencial

Para dúas variables, unha función xeradora exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:

\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} (\binom{n + k}{k}) \frac{x^{k} y^{n}}{(n + k)!} = e^{x + y} .

Propiedades de divisibilidade

En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se m e n son enteiros non negativos e p é un número primo, entón a maior potencia de p que divide $(\binom{m + n}{m})$ é igual a p^c, onde c é o número de carrexos cando m e n se suman na base p. Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial.

Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:^[4]

(\binom{n + k}{k}) divide a \frac{lcm (n, n + 1, \dots, n + k)}{n}

.

(\binom{n + k}{k}) é múltiplo de \frac{lcm (n, n + 1, \dots, n + k)}{n \cdot lcm ((\binom{k}{0}), (\binom{k}{1}), \dots, (\binom{k}{k}))}

.

un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro Modelo:Math é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios

(\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), \dots, (\binom{n}{n - 1})

son divisibles por Modelo:Mvar.

Límites e fórmulas asintóticas

Os seguintes límites para $(\binom{n}{k})$ cúmprense para todos os valores de n e k tal que Modelo:Math: $\frac{n^{k}}{k^{k}} \leq (\binom{n}{k}) \leq \frac{n^{k}}{k!} < {(\frac{n \cdot e}{k})}^{k} .$ Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que $\frac{lcm (n - k, \dots, n)}{(n - k) \cdot lcm ((\binom{k}{0}), \dots, (\binom{k}{k}))} \leq (\binom{n}{k}) \leq \frac{lcm (n - k, \dots, n)}{n - k} .$

Tanto n como k grandes

A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando $n - k, k$ tenden ao infinito: $(\binom{n}{k}) \sim \sqrt{\frac{n}{2 π k (n - k)}} \cdot \frac{n^{n}}{k^{k} (n - k)^{n - k}}$ En particular, cando $n$ é suficientemente grande, temos

(\binom{2 n}{n}) \sim \frac{2^{2 n}}{\sqrt{n π}}

.

\sqrt{n} (\binom{2 n}{n}) \geq 2^{2 n - 1}

.

Se n é grande e k é linear en n, existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial $(\binom{n}{k})$ . Por exemplo, se $| n / 2 - k | = o (n^{2 / 3})$ entón $(\binom{n}{k}) \sim (\binom{n}{\frac{n}{2}}) e^{- d^{2} / (2 n)} \sim \frac{2^{n}}{\sqrt{\frac{1}{2} n π}} e^{- d^{2} / (2 n)}$ onde d = n − 2k.^[5]

Modelo:Mvar moito maior que Modelo:Mvar

Se Modelo:Mvar é grande e Modelo:Mvar é Modelo:Math (é dicir, se Modelo:Math), entón $(\binom{n}{k}) \sim {(\frac{n e}{k})}^{k} \cdot (2 π k)^{- 1 / 2} \cdot \exp (- \frac{k^{2}}{2 n} (1 + o (1)))$ onde de novo Modelo:Mvar é a notación o pequena. ^[6]

Coeficientes binomiais xeneralizados

Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gamma $(- 1)^{k} (\binom{z}{k}) = (\binom{- z + k - 1}{k}) = \frac{1}{Γ (- z)} \frac{1}{(k + 1)^{z + 1}} \prod_{j = k + 1} \frac{{(1 + \frac{1}{j})}^{- z - 1}}{1 - \frac{z + 1}{j}}$ que produce as fórmulas asintóticas $(\binom{z}{k}) \approx \frac{(- 1)^{k}}{Γ (- z) k^{z + 1}} and (\binom{z + k}{k}) = \frac{k^{z}}{Γ (z + 1)} (1 + \frac{z (z + 1)}{2 k} + 𝒪 (k^{- 2}))$ cando $k \to \infty$ .

Xeneralizacións

Xeneralización a multinomial

Modelo:Artigo principal Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a coeficientes multinomiais definidos como o número:

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}}) = \frac{n!}{k_{1}! k_{2}! \dots k_{r}!}

onde

\sum_{i = 1}^{r} k_{i} = n .

Lembrando o que representan os coeficientes binomiais de Modelo:Math, vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio

(x_{1} + x_{2} + \dots + x_{r})^{n} .

O caso r = 2 dá os coeficientes binomiais:

(\binom{n}{k_{1}, k_{2}}) = (\binom{n}{k_{1}, n - k_{1}}) = (\binom{n}{k_{1}}) = (\binom{n}{k_{2}}) .

A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos n elementos distinguibles sobre r recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente k_i elementos, onde i é o índice do recipiente.

Serie de Taylor

Usando os números de Stirling do primeiro tipo, $s_{k, i}$ , temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente $z_{0}$ é

\begin{matrix} (\binom{z}{k}) = \frac{1}{k!} \sum_{i = 0}^{k} z^{i} s_{k, i} & = \sum_{i = 0}^{k} (z - z_{0})^{i} \sum_{j = i}^{k} (\binom{z_{0}}{j - i}) \frac{s_{k + i - j, i}}{(k + i - j)!} \\ = \sum_{i = 0}^{k} (z - z_{0})^{i} \sum_{j = i}^{k} z_{0}^{j - i} (\binom{j}{i}) \frac{s_{k, j}}{k!} . \end{matrix}

Coeficiente binomial con Modelo:Math

Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que $n$ é real e $k$ é enteiro.

En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo $k$ :

(\binom{1 / 2}{k}) = (\binom{2 k}{k}) \frac{(- 1)^{k + 1}}{2^{2 k} (2 k - 1)} .

Isto vese cando se expande $\sqrt{1 + x}$ nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:

\sqrt{1 + x} = \sum_{k \geq 0} (\binom{1 / 2}{k}) x^{k} .

Descomposición de fracción parcial

A descomposición en fraccións parciais do recíproco vén dada por

\frac{1}{(\binom{z}{n})} = \sum_{i = 0}^{n - 1} (- 1)^{n - 1 - i} (\binom{n}{i}) \frac{n - i}{z - i} .

\frac{1}{(\binom{z + n}{n})} = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} (\binom{n}{i}) \frac{i}{z + i} .

Serie binomial de Newton

Modelo:Principal A serie binomial de Newton, que recibe o nome de Isaac Newton, é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:

(1 + z)^{α} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{α}{n}) z^{n} = 1 + (\binom{α}{1}) z + (\binom{α}{2}) z^{2} + \dots

A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfan a ecuación diferencial Modelo:Math.

O raio de converxencia desta serie é 1. Unha expresión alternativa é

\frac{1}{(1 - z)^{α + 1}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{n + α}{n}) z^{n}

onde se aplica a identidade

(\binom{n}{k}) = (- 1)^{k} (\binom{k - n - 1}{k})

.

Coeficiente binomial multiconxunto (ascendente)

Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar multiconxuntos é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse coeficientes multiconxuntos;^[7] o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con remprazacemento) de k elementos de un conxunto de n elementos denótase cun duplo paréntese $((\binom{n}{k}))$ .

O valor dos coeficientes multiconxunto é $((\binom{n}{k})) = (\binom{n + k - 1}{k}) = \frac{(n + k - 1)!}{k! (n - 1)!} = \frac{n (n + 1) (n + 2) \dots (n + k - 1)}{k!},$

Xeneralización a enteiros negativos

Para calquera n,

\begin{matrix} (\binom{- n}{k}) & = \frac{- n \cdot - (n + 1) \dots - (n + k - 2) \cdot - (n + k - 1)}{k!} \\ = (- 1)^{k} \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \dots (n + k - 1)}{k!} \\ = (- 1)^{k} (\binom{n + k - 1}{k}) \\ = (- 1)^{k} ((\binom{n}{k})) . \end{matrix}

En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos n poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos.

Por exemplo,

\begin{matrix} (\binom{- 4}{7}) & = \frac{- 10 \cdot - 9 \cdot - 8 \cdot - 7 \cdot - 6 \cdot - 5 \cdot - 4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ = (- 1)^{7} \frac{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} \\ = ((\binom{- 7}{7})) ((\binom{4}{7})) = (\binom{- 1}{7}) (\binom{10}{7}) . \end{matrix}

Dous argumentos reais ou complexos

Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a función gamma ou a función beta vía

(\binom{x}{y}) = \frac{Γ (x + 1)}{Γ (y + 1) Γ (x - y + 1)} = \frac{1}{(x + 1) B (y + 1, x - y + 1)} .

Esta definición herda as seguintes propiedades da $Γ$ :

(\binom{x}{y}) = \frac{\sin (y π)}{\sin (x π)} (\binom{- y - 1}{- x - 1}) = \frac{\sin ((x - y) π)}{\sin (x π)} (\binom{y - x - 1}{y});

e tamén,

(\binom{x}{y}) \cdot (\binom{y}{x}) = \frac{\sin ((x - y) π)}{(x - y) π} .

A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en Modelo:Harv.

Xeneralización a q-series

O coeficiente binomial ten un q-análogo coñecido como coeficiente binomial gaussiano (ligazón en inglés).

Notas

Modelo:Reflist

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

Modelo:Control de autoridades

[1] Modelo:Cite journal

[2] Modelo:Harvtxt.

[3] Modelo:Cite journal

[Farhi2007-4] Modelo:Cite journal

[5] Modelo:Cite book

[6] Modelo:Cite book

[7] Modelo:Cita libro.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1