Divisor

En matemáticas, un divisor dun número enteiro $n,$ tamén chamado factor de $n,$ é un número enteiro $m$ que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir $n.$ Modelo:Sfn Neste caso, tamén se di que $n$ é múltiplo de $m.$ Un número enteiro $n$ é divisible por outro número enteiro $m$ se $m$ é un divisor de $n$; isto implica que ao dividir $n$ por $m$ non temos un resto.

Definición

Un número enteiro $n$ é divisible por un número enteiro distinto de cero $m$ se existe un número enteiro $k$ tal que $n=km.$ A nomenclatura habitual é

$m\mid n.$

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así $m$ divide a $n,$ $m$ é un divisor de $n,$$m$ é un factor de $n,$ ou $n$ é múltiplo de $m.$ Se $m$ non divide a $n,$ daquela a notación é $m\mid ̸n.$ Modelo:Sfn Modelo:Sfn

Que en latex sería "m \not\mid n".

Xeral

Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1, $n$ e $-n$ coñécense como divisores triviais de $n.$ Un divisor de $n$ que non é un divisor trivial coñécese como un divisor non trivial (ou divisor estrito Modelo:Refn). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.

Os divisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.

Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

Exemplos

• 7 é un divisor de 42 porque $7\times 6=42,$ así podemos dicir $7\mid 42.$ Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
• Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
• Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
• O conxunto de todos os divisores positivos de 60, $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},$ parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:

Outras nocións e feitos

Algunhas regras elementais:

• Se $a\mid b$ e $b\mid c,$ entón $a\mid c,$ é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
• Se $a\mid b$ e $b\mid a,$ entón $a=b$ ou $a=-b.$
• Se $a\mid b$ e $a\mid c,$ entón cúmprese que $a\mid (b+c)$, igual para a resta $a\mid (b-c).$

Se $a\mid bc,$ e $\gcd (a,b)=1,$ entón $a\mid c.$ Modelo:Efn Isto denómínase lema de Euclides.

Se $p$ é un número primo e $p\mid ab$ entón $p\mid a$ ou $p\mid b.$

Un número enteiro $n>1$ cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo.

Calquera divisor positivo de $n$ é un produto de divisores primos de $n$ elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .

Un número $n$ dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que $n,$ e abundante se esta suma supera $n.$

O número total de divisores positivos de $n$ é unha función multiplicativa $d(n),$ no caso de $m$ e $n$ seren relativamente primos, entón $d(mn)=d(m)\times d(n).$ Por exemplo, $d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)$ ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma ${\sigma }_0(n)$

A suma dos divisores positivos de $n$ é outra función multiplicativa ${\sigma }_1(n)$ (p. ex ${\sigma }_1(42)=96=3\times 4\times 8={\sigma }_1(2)\times {\sigma }_1(3)\times {\sigma }_1(7)=1+2+3+6+7+14+21+42$ ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso $d(n)={\sigma }_0(n)$, pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de $n$ está dada polos primos

$n=p_1^{{\nu }_1}{p}_2^{{\nu }_2}\cdots p_k^{{\nu }_k}$

daquela o número de divisores positivos de $n$ é

$d(n)=({\nu }_1+1)({\nu }_2+1)\cdots ({\nu }_k+1),$

e cada un dos divisores ten a forma

$p_1^{{\mu }_1}{p}_2^{{\mu }_2}\cdots p_k^{{\mu }_k}$

onde $0\le {\mu }_i\le {\nu }_i$ para cada $1\le i\le k.$

Para cada número natural $n,$ temos $d(n)<2\sqrt{n}.$

En álxebra abstracta

Retícula de división

Modelo:Main Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto $\mathbb{N}$ de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro ∧ ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión ∨ polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.

Véxase tamén

Bibliografía

• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro; section B
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Modelo:Cita libro
• Modelo:Cita libro

Outros artigos

• Funcións aritméticas
• Algoritmo euclidiano
• Fracción (matemáticas)
• Factorización de enteiros
• Táboa de factores primos – unha táboa de factores primos de 1 a 1000
• Divisor unitario
• Regras de Divisibilidade