Ver o código fonte de «Xeometría discreta»

[[Ficheiro:Unit_disk_graph.svg|dereita|miniatura| Unha colección de [[Circunferencia|circunferencias]] e o [[Grafo de discos|grafo de discos unitarios]] correspondente]].
'''A xeometría discreta''' e '''a xeometría combinatoria''' son ramas da [[xeometría]] que estudan as propiedades [[Combinatoria|combinatorias]] e os métodos construtivos de obxectos xeométricos [[Matemática discreta|discretos]]. A maioría das preguntas de xeometría discreta implican [[Conxunto|conxuntos]] finitos ou [[Espazo discreto|discretos]] de obxectos xeométricos básicos, como [[Punto (xeometría)|puntos]], [[Recta|liñas]], [[Plano (xeometría)|planos]], [[Circunferencia|circunferencias]], [[Esfera|esferas]], [[Polígono|polígonos]], etc. A materia céntrase nas propiedades combinatorias destes obxectos, por exemplo como se [[Intersección (conxuntos)|cruzan]] entre si ou como se poden dispor para cubrir un obxecto máis grande.

A xeometría discreta ten unha gran superposición coa [[xeometría convexa]] e a [[xeometría computacional]], e está moi relacionada con temas como a xeometría finita, a optimización combinatoria, a xeometría diferencial discreta, a teoría xeométrica de grafos, a xeometría tórica e a topoloxía combinatoria.

[[László Fejes Tóth]], [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]], e [[Paul Erdős]] estabeleceron os fundamentos da ''xeometría discreta''.<ref name = "Intuitive">{{Cita libro
 | last = Pach
 | first = János 
 | title = Intuitive Geometry, in Memoriam László Fejes Tóth
 | publisher = Alfréd Rényi Institute of Mathematics
 | year = 2008
 | url = http://www.renyi.hu/conferences/intuitiv_geometry/|display-authors=etal}}
</ref><ref>
{{Cita libro
 | last = Katona
 | first = G. O. H.
 | title = Laszlo Fejes Toth – Obituary
 | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica
 | volume = 42
 | issue = 2
 | pages = 113
 | year = 2005
 }}
</ref><ref name = "DiscreteGeom1">
{{Cita libro
 | first = Imre
 | last = Bárány
 | author-link = Imre Bárány
 | editor-last = Horváth
 | editor-first = János
 | contribution = Discrete and convex geometry
 | title = A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I
 | year = 2010
 | pages = 431–441
 | place = New York
 | publisher = Springer
 | isbn = 9783540307211
 }}
</ref>

== Temas ==
=== Poliedros e politopos ===
{{Artigo principal|Poliedro|Polítopo}}
Un '''polítopo''' é un obxecto xeométrico con lados planos, que existe en calquera número xeral de dimensións. Un [[polígono]] é un polítopo en dúas dimensións, un [[poliedro]] en tres dimensións, etc. en dimensións superiores (como un [[4-polítopo]] en catro dimensións). Algunhas teorías xeneralizan aínda máis a idea de incluír obxectos como polítopos ilimitados ([[apeirótopos]] e [[Teselación|teselacións]]) e [[polítopos abstractos]].

Os seguintes son algúns dos aspectos dos polítopos estudados en xeometría discreta:

* [[Combinatoria poliédrica]]
* [[Polítopos cnvexos de retícula|Polítopos de retícula]]
* [[Polinomios de Ehrhart]]
* [[Teorema de Pick]]
* [[Conxectura de Hirsch]]
* [[Conxunto opaco]]

=== Empaquetados, recubrimentos e teselados ===
Os empaquetados, recubrimentos e teselados son todas formas de organizar obxectos uniformes (normalmente circunferencias, esferas ou [[Tesela|teselas]]) de forma regular nunha superficie ou [[Variedade (xeometría)|variedade]].

Os temas específicos nesta área inclúen:

* [[Empaquetado circular|Empaquetados circulares]]
* [[Empaquetado de esfera|Empaquetados de esferas]]
* [[Conxectura de Kepler]]
* [[Cuasicristal|Cuasicristais]]
* [[Teselado aperiódico|Teselado aperiódica]]
* [[Grafo periódico]]
* [[Regra de subdivisión finita|Regras de subdivisión finita]]

=== Rixidez e flexibilidade estrutural ===
[[Ficheiro:Structural_rigidity_basic_examples.svg|miniatura|150x150px| Os grafos son debuxados como barras conectadas por bisagras xiratorias. O [[grafo de ciclo]] C<sub>4</sub> debuxado como un cadrado pode inclinarse pola forza azul nun paralelogramo, polo que é un grafo flexible K<sub>3</sub>, debuxado como un triángulo, non pode ser alterado por ningunha forza que se lle aplique, polo que é unha grafo ríxido.]]
'''A rixidez estrutural''' é unha [[Combinatoria|teoría combinatoria]] para predicir a flexibilidade de conxuntos formados por corpos ríxidos conectados por [[Ligazón (mecánica)|ligazóns]] flexibles ou [[Gonzo|bisagras]].

Os temas nesta área inclúen:

* [[Teorema de Cauchy (xeometría)|Teorema de Cauchy]]
* [[Poliedro flexíbel|Poliedros flexíbeis]]

=== Estruturas de incidencia ===
[[Ficheiro:Fano_plane_with_nimber_labels.svg|dereita|miniatura|150x150px| Sete puntos son elementos de sete liñas no [[plano de Fano]], un exemplo dunha estrutura de incidencia.]]
As estruturas de incidencia xeneralizan planos (como os planos [[Plano afín|afíns]], [[Plano proxectivo|proxectivos]] e [[Plano de Möbius|de Möbius]]) como se pode ver nas súas definicións axiomáticas. As estruturas de incidencia tamén xeneralizan os análogos de dimensións superiores e as estruturas finitas chámanse ás veces [[Xeometría finita|xeometrías finitas]].

Formalmente, unha '''estrutura de incidencia''' é unha tripla

: <math>C=(P,L,I).\,</math>

onde ''P'' é un conxunto de "puntos", ''L'' é un conxunto de "rectas" e <math>I \subseteq P \times L</math> é a relación [[Incidencia (xeometría)|de incidencia]]. Os elementos de <math>I</math> chámanse '''bandeiras.''' Se

: <math>(p,l) \in I,</math>

dicimos que o punto ''p'' "está na liña" <math>l</math>.

Os temas nesta área inclúen:

* [[Configuración (xeometría)|Configuracións]]
* [[Arranxo de liñas|Arranxos de liñas]]
* [[Arranxo de hiperplanos|Arranxos de hiperplanos]]
* [[Edificio de Bruhat-Tits|Edificios de Bruhat-Tits]]

=== Matroides orientadas ===
Unha '''matroide orientado''' é unha [[estrutura matemática]] que abstrae as propiedades dos [[Grafo orientado|grafos orientados]] e de arranxos de vectores nun [[espazo vectorial]] sobre un [[corpo ordenado]] (particularmente para [[Espazo vectorial ordenado|espazos vectoriais parcialmente ordenados]]). En comparación, un [[matroide]] ordinario (é dicir, non orientado) abstrae as propiedades [[Independencia linear|de dependencia]] que son comúns tanto aos [[Grafo|grafos]], que non están necesariamente ''orientados'', como aos arranxos de vectores sobre [[Corpo (álxebra)|corpos]], que non están necesariamente ''ordenados''. 

=== Teoría de grafos xeométrica ===
Un '''grafo xeométrico''' é un [[grafo]] no que os [[Vértice (teoría de grafos)|vértices]] ou [[Aresta (teoría de grafos)|arestas]] están asociados a obxectos [[Xeometría|xeométricos]]. Os exemplos inclúen os grafos euclidianos, o 1-[[Esqueleto (topoloxía)|esqueleto]] dun [[poliedro]] ou [[polítopo]], os grafos de discos unitarios e [[Grafo de visibilidade|os grafos de visibilidade]].

Os temas nesta área inclúen:

* [[Debuxo de grafos]]
* [[Grafo poliédrico|Grafos poliédricos]]
* [[Grafo xeométrico aleatorio|Gráficos xeométricos aleatorios]]
* [[Diagrama de Voronoi|Diagramas de Voronoi]] e [[Triangulación de Delaunay|triangulacións de Delaunay]]

=== Complexo simplicial ===
Un '''complexo simplicial''' é un [[espazo topolóxico]] de certo tipo, construído "colando" [[Punto (xeometría)|puntos]], [[Segmento|segmentos de liña]], [[Triángulo|triángulos]] e os seus [[Símplex|homólogos ''n''-dimensionais]] (ver a ilustración).

=== Combinatoria topolóxica ===
A disciplina da topoloxía combinatoria usou conceptos combinatorios na [[topoloxía]] e a principios do século XX isto converteuse no campo da [[topoloxía alxébrica]].

Os temas nesta área inclúen:

* [[Lema de Sperner]]
* [[Mapa regular|Mapas regulares]]

=== Reticulas e grupos discretos ===
Un '''grupo discreto''' é un [[Grupo (matemáticas)|grupo]] ''G'' equipado coa [[topoloxía discreta]]. Con esta topoloxía, ''G'' convértese nun [[grupo topolóxico]]. Un '''subgrupo discreto''' dun grupo topolóxico ''G'' é un [[subgrupo]] ''H'' cuxa [[topoloxía relativa]] é a discreta. Por exemplo, os [[Número enteiro|números enteiros]], '''Z''', forman un subgrupo discreto dos [[Número real|reais]], '''R''' (coa [[Espazo métrico|topoloxía métrica]] estándar), mais os [[Número racional|números racionais]], '''Q''', non.

Os temas nesta área inclúen:

* [[Grupo de reflexión|Grupos de reflexión]]
* [[Grupo triangular|Grupos triangulares]]

===Xeometría dixital===
{{main|Xeometría dixital}}
'''Xeometría dixital''' trata con conxuntos [[espazo discreto space|discretos]] (normalmente [[Punto (xeometría)|conxuntos de puntos]] discretos) considerados  [[dixitalización|modelos dixitalizados]] ou [[imaxe|imaxes]] de obxectos do espazo euclidiano 2D ou 3D.

===Xeometría diferencial discreta===
{{principal|Xeometría diferencial discreta}}
A '''Xeometría diferencial discreta''' é o estudo das contrapartes discretas das nocións da [[xeometría diferencial]]. En lugar de curvas e superficies suaves, hai [[polígono]]s, [[retícula]]s e [[complexo simplicial|complexos simpliciais]]. Utilízase no estudo da [[infografías por ordenador]] e da [[topoloxía combinatoria]].

Os temas nesta área inclúen:

*[[Operador de Laplace discreto]]
*[[Cálculo exterior discreto]]
*[[Cálculo discreto]]
*[[Teoría Morse discreta]]
*[[Topoloxía combinatoria]]
*[[Análise da forma espectral]]
*[[Análise sobre fractais]]

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro |author=Bezdek, András |title=Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday |url=https://archive.org/details/discretegeometry0000unse |publisher=Marcel Dekker |location=New York, N.Y |year=2003 |isbn=0-8247-0968-3 }}
* {{cite book |author=[[Károly Bezdek|Bezdek, Károly]] |title=Classical Topics in Discrete Geometry |publisher=Springer |location=New York, N.Y |year=2010 |isbn=978-1-4419-0599-4 }}
*{{cite book |author=[[Károly Bezdek|Bezdek, Károly]] |title=Lectures on Sphere Arrangements - the Discrete Geometric Side |publisher=Springer |location=New York, N.Y |year=2013 |isbn=978-1-4614-8117-1}}
* {{cita libro  |last1=Bezdek|first1=Károly|last2=Deza|first2=Antoine|last3=Ye|first3=Yinyu|author-link1=Károly Bezdek|title=Discrete Geometry and Optimization |publisher=Springer |location=New York, N.Y |year=2013 |isbn=978-3-319-00200-2}}
* {{cita libro |last1=Brass|first1=Peter|last2=Moser|first2=William|last3=Pach|first3=János|author-link3=János Pach|title=Research problems in discrete geometry |publisher=Springer |location=Berlin |year=2005 |isbn=0-387-23815-8 }}
* {{cita libro  |last1=Pach|first1=János|author-link1=János Pach|last2=Agarwal|first2=Pankaj K.|title=Combinatorial geometry |url=https://archive.org/details/combinatorialgeo0000pach|publisher=Wiley-Interscience |location=New York |year=1995 |isbn=0-471-58890-3 }}
* {{cita libro  |author= [[Jacob E. Goodman|Goodman, Jacob E.]] and O'Rourke, Joseph |title=Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition |publisher=Chapman & Hall/CRC |location=Boca Raton |year=2004 |isbn=1-58488-301-4 }}
* {{cite book |last=Gruber|first=Peter M.|author-link=Peter M. Gruber|title=Convex and Discrete Geometry |publisher=Springer |location=Berlin |year=2007  |isbn=978-3-540-71132-2 }}
* {{cita libro  |author=Matoušek, Jiří |title=Lectures on discrete geometry |publisher=Springer |location=Berlin |year=2002 |isbn=0-387-95374-4}}
* {{cita libro  |author=[[Vladimir Boltyanski]], [[Horst Martini]], Petru S. Soltan  |title=Excursions into Combinatorial Geometry |url=https://archive.org/details/excursionsintoco0000bolt  |publisher=Springer |year=1997 |isbn=3-540-61341-2}}

=== Outros artigos ===
* [[Matemáticas discretas]].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Xeometría discreta]]