Ver o código fonte de «Triángulo rectángulo»

{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
[[Ficheiro:Rtriangle.svg|miniatura|Triángulo rectángulo]]
Un '''triángulo rectángulo''' é un [[triángulo]] en que un dos seus [[ángulo]]s é [[ángulo recto|recto]], é dicir, mide 90 [[Grao sesaxesimal|graos]]. A relación entre os lados e os ángulos dun triángulo rectángulo é a base da [[trigonometría]].

O lado oposto ao ángulo recto chámase [[hipotenusa]] (lado ''c'' da imaxe). Os lados adxacentes a este chámanse [[cateto]]s. O lado ''a'' pode identificarse como o lado ''adxacente ao ángulo B'' e ''oposto ao ángulo A'', mentres que o lado ''b'' é o lado ''adxacente ao ángulo A'' e ''oposto ao ángulo B''.

Se as lonxitudes dos tres lados dun triángulo rectángulo son [[número enteiro|enteiros]], o triángulo chámase triángulo pitagórico, e as lonxitudes coñécense como [[terna pitagórica]].

== Propiedades principais ==
=== Área ===
Como en calquera triángulo, a área é igual á metade da base multiplicada pola altura correspondente. Nun triángulo rectángulo, se se toma como base un cateto entón o outro é a altura, polo que a área do triángulo rectángulo é a metade do produto dos dous catetos. Alxebricamente, a área ''T'' é
:<math>T=\tfrac{1}{2}ab</math>
onde ''a'' e ''b'' son os catetos do triangle.

Se a circunferencia inscrita é tanxente á hipotenusa AB no punto P, entón denotando o [[semiperíodo]] {{nowrap|(''a'' + ''b'' + ''c'') / 2}} como ''s'', tense  {{nowrap|PA {{=}} ''s'' − ''a''}} e {{nowrap|PB {{=}} ''s'' − ''b''}}, e a área vén dada por
:<math>T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).</math>

Esta fórmula só se aplica aos triángulos rectángulos.<ref>Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", ''[[Mathematical Gazette]]'' 87, xullo de 2003, pp. 323-324.</ref>

===Altitudes===
[[Ficheiro:Teorema.png|miniatura|Altura dun triángulo rectángulo]]
Se se debuxa a altura dende o vértice no ángulo recto á hipotenusa, entón o triángulo queda dividido en dous triángulos máis pequenos que son [[Semellanza (xeometría)|semellantes]] ao orixinal e polo tanto semellantes entre eles. Disto:
* A altura á hipotenusa é a [[media xeométrica]] (media proporcional dos dous segmentos da hipotenusa.<ref name=Posamentier/>{{rp|243}}
* Cada cateto do triángulo é a media proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adxacente ao cateto.

Alxebricamente,
:<math>\displaystyle f^2=de,</math> (isto coñécese en ocasións como o [[teorema da altura]] do triángulo rectángulo)
:<math>\displaystyle b^2=ce,</math>
:<math>\displaystyle a^2=cd</math>
onde ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'' se mostran no diagrama.<ref>Wentworth p. 156</ref> Thus
:<math>f=\frac{ab}{c}.</math>

Ademais, a altura á hipotenusa está relacionada cos catetos do triángulo rectángulo por<ref>Voles, Roger, "Integer solutions of <math>a^{-2} + b^{-2} = d^{-2}</math>," ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, 269–271.</ref><ref>Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 313–317.</ref>
:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.</math>

A altura de cada cateto coincide co outro cateto. Dado que estas se intersecan no vértice do ángulo recto, o [[ortocentro]] do triángulo rectángulo (intersección das alturas) coincide con ese punto.

=== Teorema de Pitágoras ===
{{Artigo principal|Teorema de Pitágoras}}
O [[teorema de Pitágoras]] afirma que:
{{cita|En calquera triángulo rectángulo, a área do [[cadrado]] que ten como lado a hipotenusa (lado oposto ao ángulo recto) é igual á suma das áreas dos cadrados que teñen como lados os dous catetos (os dous ángulos que conforman o ángulo recto.}}

Isto pode ser escrito nunha ecuación como
:<math>\displaystyle a^2+b^2=c^2</math>
onde ''c'' é a lonxitude da hipotenusa e ''a'' e ''b'' son as lonxitudes dos catetos.

As [[terna pitagórica|ternas pitagóricas]] son enteiros ''a, b, c'' que satisfán esta ecuación.

=== Inraio e circunraio ===
[[Ficheiro:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.png|miniatura|200x200px|Ilustración do teorema de Pitágoras]]
O raio da circunferencia inscrita dun triángulo rectángulo con catetos ''a'' e ''b'' e hipotenusa ''c'' é
:<math>r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.</math>

O raio da circunferencia circunscrita é a metade da lonxitude da hipotenusa,
:<math>R = \frac{c}{2}.</math>

Polo tanto, a suma dos raios das circunferencias circunscrita e inscrita é a metade da suma dos catetos:<ref name=Crux>''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>

:<math>R+r = \frac{a+b}{2}.</math>

Un dos catetos pode expresarse en termos do raio da circunferencia inscrita e o outro cateto como
:<math>\displaystyle a=\frac{2r(b-r)}{b-2r}.</math>

== Caracterización ==
Un triángulo ''ABC'' con lados <math>a \le b < c</math>, [[semiperímetro]] ''s'', [[área]] ''T'', [[altura (xeometría)|altura]] ''h'' oposta ao lado máis longo, radio da circunferencia circunscrita ''R'', inraio ''r'', exraios ''r<sub>a</sub>'', ''r<sub>b</sub>'', ''r<sub>c</sub>'' (tanxentes a ''a'', ''b'', ''c'' respectivamente), e [[Mediana (xeometría)|medianas]] ''m<sub>a</sub>'', ''m<sub>b</sub>'', ''m<sub>c</sub>'' é un triángulo rectángulo [[se e só se]] calquera das afirmacións das seguintes categorías é certa. Todas son propiedades dun triángulo rectángulo, xa que as caracterizacións son equivalentes.

=== Lados e semiperímetro ===
* <math>\displaystyle a^2+b^2=c^2\quad (\text{Pythagorean theorem})</math>
* <math>\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)</math>
* <math>\displaystyle s=2R+r.</math><ref>{{Cita web |url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=411120 |título=Triangle right iff s = 2R + r, ''Art of problem solving'', 2011 |data-acceso=08 de novembro de 2018 |data-arquivo=28 de abril de 2014 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20140428221212/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=411120 |url-morta=yes }}</ref>
* <math>\displaystyle a^2+b^2+c^2=8R^2.</math><ref name=Andreescu/>

=== Ángulos ===
* ''A'' e ''B'' son [[ángulos complementarios|complementarios]].<ref>{{Cita web |url=http://www.ricksmath.com/right-triangles.html# |título=Properties of Right Triangles |data-acceso=08 de novembro de 2018 |urlarquivo=https://web.archive.org/web/20111231222001/http://www.ricksmath.com/right-triangles.html |dataarquivo=31 de decembro de 2011 |urlmorta=yes }}</ref>
* <math>\displaystyle \cos{A}\cos{B}\cos{C}=0.</math><ref name=Andreescu/><ref name=CTK>CTK Wiki Math, ''A Variant of the Pythagorean Theorem'', 2011, [http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Trigonometry.AVariantOfPythagoreanTheorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130805051705/http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Trigonometry.AVariantOfPythagoreanTheorem |date=05 de agosto de 2013 }}.</ref>
* <math>\displaystyle \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2.</math><ref name=Andreescu/><ref name=CTK/>
* <math>\displaystyle \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1.</math><ref name=CTK/>
* <math>\displaystyle \sin{2A}=\sin{2B}=2\sin{A}\sin{B}.</math>

=== Área ===
* <math>\displaystyle T=\frac{ab}{2}</math>
* <math>\displaystyle T=r_ar_b=rr_c</math>
* <math>\displaystyle T=r(2R+r)</math>
* <math>T=PA\cdot PB,</math> onde ''P'' é o punto de tanxencia da circunferencia inscrita co lado máis longo ''AB''.<ref>{{cita publicación periódica|last=Darvasi|first=Gyula|journal=The Mathematical Gazette|pages=72–76|title=Converse of a Property of Right Triangles|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-03_89_514/page/72|volume=89|number=514|date=marzo de 2005}}.</ref>

=== Inraio e exraios<ref name=Bell>{{cita libro|last=Bell|first=Amy|journal=Forum Geometricorum|pages=335–342|title=Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf|volume=6|year=2006|data-acceso=08 de novembro de 2018|data-arquivo=31 de agosto de 2021|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20210831080348/https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf|url-morta=yes}}</ref>===
* <math>\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_a=s-b=(a-b+c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_b=s-a=(-a+b+c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_c=s=(a+b+c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_a+r_b+r_c+r=a+b+c</math>
* <math>\displaystyle r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2</math>
* <math>\displaystyle r=\frac{r_ar_b}{r_c}</math>

=== Alturas e medianas ===
[[Ficheiro:right_angle_altitude.svg|miniatura|A altura do triángulo rectángulo dende o seu ángulo recto á hipotenusa é a media xeométrica das lonxitudes dos segmentos en que divide a hipotenusa. Empregando o [[teorema de Pitágoras]] sobre os tres triángulos de lados {{nowrap|(''p''&thinsp;+&thinsp;''q'', ''r'', ''s'')}}, {{nowrap|(''r'', ''h'', ''p'')}} e {{nowrap|(''s'', ''h'', ''q'')}},<br />
<math>\begin{align}
    (p + q)^2 \quad &= \quad\;\, r^2 \quad + \quad s^2 \\
  p^2 \!+ 2pq + q^2 &= \left(h^2 \!\!+\! p^2\right) \!+\! \left(h^2 \!\!+\! q^2\right) \\
       2pq \qquad\, &= 2h^2 \quad \therefore h = \sqrt{pq} \\
\end{align}</math>]]
* <math>\displaystyle h=\frac{ab}{c}</math>
* <math>\displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=6R^2.</math><ref name=Crux/>{{rp|Prob. 954, p. 26}}
* A lonxitude da [[mediana (xeometría)|mediana]] é igual ao radio da circunferencia circunscrita.
* A altura máis curta (a que está sobre o vértice do maior ángulo) é a [[media xeométrica]] dos segmentos en que divide o lado oposto (o máis longo). É o [[teorema da altura]] do triángulo rectángulo.

=== Circunferencia circunscrita e inscrita ===
* Un triángulo pode inscribirse nun [[semicírculo]], cun lado coincidindo na súa totalidade co diámetro ([[teorema de Tales]]).
* O [[circuncentro]] é o punto medio do lado máis longo.
* O lado máis longo é un [[diámetro]] da circunferencia circunscrita <math>\displaystyle (c=2R).</math>
* A circunferencia circunscrita é [[tanxente]] ao [[círculo de nove puntos]].<ref name=Andreescu>Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.</ref>
* O [[ortocentro]] cae sobre a circunferencia circunscrita.<ref name=Crux/>
* A distancia entre o [[incentro]] e o ortocentro é igual a <math>\sqrt{2}r</math>.<ref name=Crux/>

== Razóns trigonométricas ==
As [[función trigonométrica|funcións trigonométricas]] para os ángulos agudos poden definirse como razóns dos lados dun triángulo rectángulo. Para un ángulo dado, pódese construír un triángulo rectángulo, e os lados chamados oposto, adxacente e hipotenusa en relación a ese ángulo segundo as definicións dadas. Estas razóns dos lados non dependen do triángulo rectángulo escollido, senón só do ángulo dado, xa que todos os triángulos construídos deste xeitos son [[Semellanza (xeometría)|semellantes]]. Se para un ángulo dado α, os lados oposto, adxacente e hipotenusa se denominan ''O'', ''A'' e ''H'' respectivamente, entón as funcións trigonométricas son
:<math>\sin\alpha =\frac {O}{H},\,\cos\alpha =\frac {A}{H},\,\tan\alpha =\frac {O}{A},\,\sec\alpha =\frac {H}{A},\,\cot\alpha =\frac {A}{O},\,\csc\alpha =\frac {H}{O}.</math>

== Medianas ==
As seguintes expresións relacionan as [[mediana (xeometría)|medianas]] dun triángulo rectángulo:
:<math>m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2 = \frac{5}{4}c^2.</math>

A mediana sobre a hipotenusa dun triángulo rectángulo divide o triángulo en dous triángulos isósceles, porque a mediana é igual á metade da hipotenusa.

As medianas ''m''<sub>''a''</sub> e ''m''<sub>''b''</sub> sobre os catetos satisfán<ref name=Crux/>{{rp|p.136,#3110}}
:<math>4c^4+9a^2b^2=16m_a^2m_b^2.</math>

== Recta de Euler ==
Nun triángulo rectángulo, a [[recta de Euler]] contén a mediana sobre a hipotenusa (é dicir, pasa polo vértice do ángulo recto e polo punto medio do lado oposto a este). Isto é porque o ortocentro do triángulo rectángulo, intersección das súas alturas, cae no vértice do ángulo recto, mentres que o circuncentro, intersección das bisectrices dos ángulos, cae no punto medio da hipotenusa.

== Desigualdades ==
Nun triángulo rectángulo o diámetro da circunferencia inscrita é menor que a metade da hipotenusa, e máis axustadamente, é menor ou igual que <math>(\sqrt{2}-1)</math> veces a hipotenusa.<ref name=PL>Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. ''The Secrets of Triangles''. Prometheus Books, 2012.</ref>{{rp|p.281}}

Nun triángulo rectángulo con catetos ''a'', ''b'' e hipotenusa ''c'',
:<math>c \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)</math>
dándose a igualdade só no caso de que sexa isóscele.<ref name=PL/>{{rp|p.282,p.358}}

Se a altura da hipotenusa se denota ''h''<sub>''c''</sub>, entón
:<math>h_c \leq \frac{\sqrt {2}}{4}(a+b)</math>
dándose a igualdade só no caso de que sexa isóscele.<ref name=PL/>{{rp|p.282}}

== Outras propiedades ==
Se dous segmentos de lonxitudes ''p'' e ''q'' que emanan do vértice ''C'' trisecan a hipotenusa en segmentos de lonxitude ''c''/3, entón<ref name=Posamentier>Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 1996.</ref>{{rp|pp. 216–217}}
:<math>p^2 + q^2 = 5\left(\frac{c}{3}\right)^2.</math>

O triángulo rectángulo é o único triángulo que ten dous, en lugar dun ou de tres, cadrados inscritos diferentes.<ref>Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", ''[[Mathematics Magazine]]'' 71(4), 1998, 278-284.</ref>

Sexan ''h'' e ''k'' (''h'' > ''k'') os lados de dous cadrados inscritos nun triángulo rectángulo de hipotenusa ''c''. Entón
:<math>\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{k^2}.</math>

Tres lados e o raio da circunferencia inscrita ''r'' están relacionados nunha fórmula similar:
:<math>\displaystyle \frac{1}{r}=-{\frac{1}{c}}+\frac{1}{h}+\frac{1}{k}.</math>

O perímetro dun triángulo rectángulo é igual á suma dos raios da circunferencia inscrita e das tres excritas:
:<math>a+b+c=r+r_a+r_b+r_c.</math>

== Notas ==
{{Listaref|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{cita libro|title=A Text-Book of Geometry |first=G.A. |last=Wentworth |publisher=Ginn & Co. |year=1895 |url=https://archive.org/details/atextbookgeomet10wentgoog}}
=== Ligazóns externas ===
* [http://mathworld.wolfram.com/RightTriangle.html Triángulo rectángulo] en MathWorld
* [https://web.archive.org/web/20170930064506/http://www.kurztutorial.info/mathematik/trigonometrie/en/dreieck.html Calculator for right triangles]
* [http://www.triangle-calculator.com/?what=rt Advanced right triangle calculator]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Polígonos]]