Ver o código fonte de «Teoremas do isomorfismo»

En [[matemáticas]], en concreto [[álxebra abstracta]], os '''teoremas do isomorfismo''' (tamén coñecidos como '''Teoremas de isomorfismo de Noether''') son [[Teorema|teoremas]] que describen a relación entre [[Cociente (álxebra universal)|cocientes]], [[Homomorfismo|homomorfismos]] e, subobxectos. Existen versións dos teoremas para [[Grupo (matemáticas)|grupos]], [[Anel (álxebra)|aneis]], [[Espazo vectorial|espazos vectoriais]], [[Módulo (álxebra)|módulos]], [[Álxebra de Lie|Álxebras de Lie]], e outras [[Estrutura alxébrica|estruturas alxébricas]]. En [[Álxebra Universal|álxebra universal]], os teoremas de isomorfismo poden ser xeneralizados ao contexto de álxebras e [[Relación de congruencia|congruencias]].

== Historia ==
Os teoremas do isomorfismo foron formulados nalgunha xeneralidade para homomorfismos de módulos por [[Emmy Noether]] no seu artigo ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie en alxébrica Zahl - Und Funktionenkörpern'', que foi publicado en 1927 en [[Mathematische Annalen]]. As versións menos xerais destes teoremas pódense atopar no traballo de [[Richard Dedekind]] e documentos anteriores de Noether.

Tres anos despois, [[Bartel Leendert van der Waerden|B. l. van der Waerden]] publicou a súa influente ''[[Moderne Algebra]]'', o primeiro libro de texto de [[álxebra abstracta]] que levou unha aproximación a este tema en [[Grupo (matemáticas)|grupos]]-[[Anel (álxebra)|aneis]]-[[Corpo (álxebra)|corpos]]. Van der Waerden utilizou as conferencias de Noether sobre [[teoría de grupos]] e [[Emil Artín]] sobre álxebra, así como un seminario realizado por Artin, [[Wilhelm Blaschke]], [[Otto Schreier]], e o propio van der Waerden sobre [[Ideal (teoría dos aneis)|ideais]] como as principais referencias.

Imos ver os teoremas de isomorfismo referidos aos [[Grupo (matemáticas)|grupos]]. Os teoremas refírense pola orde ou as veces polas letras A, B e C.

=== Primeiro teorema do isomorfismo ===
[[Ficheiro:First-isomorphism-theorem.svg|miniatura|Diagrama do teorema fundamental sobre homomorfismos]]
Sexan ''G'' e ''H''  grupos, e sexa ''f''&nbsp;:&#x2009;''G''&nbsp;→&nbsp;''H''  un [[homomorfismo]]. Entón:

# O [[Kernel (álxebra)|kernel]] de ''f'' é un [[subgrupo normal]] de ''G.''
# A [[Imaxe (matemáticas)|imaxe]] de ''f'' é un [[subgrupo]] de ''H''.
# A imaxe de ''f'' é [[Isomorfismo de grupos|isomorfa]] ao [[grupo cociente]] ''G''&#x2009;/&#x2009;ker(''f'').

En particular, se ''f'' é [[Sobrexectiva|sobrexectivo]] entón ''H'' é isomorfo a ''G''&#x2009;/&#x2009;ker(''f'').

=== Segundo teorema do isomorfismo ===
[[Ficheiro:Diagram_for_the_First_Isomorphism_Theorem.png|miniatura|Diagrama para o segundo teorema punto 4. Os dous grupos cocientes (punteados) son isomorfos.]]
Sexa <math>G</math> un grupo. Sexa <math>S</math> un subgrupo de <math>G</math>, e sexa <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math>. Entón cúmprese o seguinte:<ref>{{Cita libro | last=Milne | first=James S. | title=Group Theory | year=2013 | version = 3.13 |  url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf}}</ref>

# O produto <math>SN</math> é un subgrupo de <math>G</math>.
# O subgrupo <math>N</math> é un subgrupo normal de <math>SN</math>.
# A [[Intersección (conxuntos)|intersección]] <math>S \cap N</math> é un subgrupo normal de <math>S</math>.
# Os grupos cocientes <math>(SN)/N</math> e <math>S/(S\cap N)</math> son isomorfos.

Tecnicamente, non é necesario que <math>N</math> sexa un subgrupo normal, sempre que <math>S</math> sexa un subgrupo do [[Centralizador e normalizador|normalizador]] de <math>N</math> en <math>G</math>. Neste caso, <math>N</math> non é un subgrupo normal de <math>G</math> mais <math>N</math> é aínda un subgrupo normal do produto <math>SN</math>.

Unha aplicación do segundo teorema do isomorfismo é identificar os [[Grupo linear proxectivo|grupos lineares proxectivos]], por exemplo, o grupo sobre a [[Esfera de Riemann|liña proxectiva complexa]] comeza facendo <math>G = \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})</math>, o grupo de [[Matriz (matemáticas)|matrices]] [[Número complexo|complexas]] 2&#x2009;×&#x2009;2 [[Matriz invertíbel|invertíbeis]], <math>S = \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})</math>, o subgrupo de matrices de [[Determinante (matemáticas)|determinante]] 1, e <math>N</math> o subgrupo normal de matrices escalares <math>\mathbb{C}^{\times}\!I = \left\{\left( \begin{smallmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{smallmatrix} \right) : a \in \mathbb{C}^{\times} \right\}</math>, con eses grupos  temos <math>S \cap N = \{\pm I\}</math>, onde <math>I</math> é a [[matriz identidade]] e, <math>SN = \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})</math>. Entón o segundo teorema do isomorfismo afirma que:

: <math>\operatorname{PGL}_2(\mathbb{C}) := \operatorname{GL}_2 \left(\mathbb{C})/(\mathbb{C}^{\times}\!I\right) \cong \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})/\{\pm I\} =: \operatorname{PSL}_2(\mathbb{C})</math>

=== Terceiro teorema do isomorfismo ===
Sexa <math>G</math> un grupo, e <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math>.
Entón

# Se <math>K</math> é un subgrupo de <math>G</math> tal que <math>N \subseteq K \subseteq G</math>, entón <math>G/N</math> ten un subgrupo isomorfo a <math>K/N</math>.
# Cada subgrupo de <math>G/N</math> é da forma <math>K/N</math> para algún subgrupo <math>K</math> de <math>G</math> tal que <math>N \subseteq K \subseteq G</math>.
# Se <math>K</math> é un subgrupo normal de <math>G</math> tal que <math>N \subseteq K \subseteq G</math>, entón <math>G/N</math> ten un subgrupo normal isomorfo a <math>K/N</math>.
# Cada subgrupo normal de <math>G/N</math> é da forma <math>K/N</math> para algún subgrupo normal <math>K</math> de <math>G</math> tal que <math>N \subseteq K \subseteq G</math>.
# Se <math>K</math> é un subgrupo normal de <math>G</math> tal que <math>N \subseteq K \subseteq G</math>, entón o grupo cociente <math>(G/N)/(K/N)</math> é isomorfo a <math>G/K</math>.

As catro primeiras afirmacións adoitan subsumirse baixo o Cuarto teorema do isomorfismo que mostramos a continuación.

=== Cuarto teorema do isomorfismo ===
Sexa <math>G</math>  un grupo, e <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math>.
O homomorfismo da proxección canónica <math>G\rightarrow G/N</math> define unha correspondencia bixectiva
entre o conxunto de subgrupos de <math>G</math> contendo <math>N</math> e o conxunto dos (todos) subgrupos de <math>G/N</math>. Baixo esta correspondencia, os subgrupos normais correspóndense con subgrupos normais.

Este teorema denomínanse tamén como o '''teorema da retícula''', '''teorema de correspondencia'''.

=== Comentarios ===
O primeiro teorema do isomorfismo pode ser expresado en [[Teoría das categorías|teoría das categoría]] coomo que a [[categoría de grupos]] é (epi normal, mono) factorizábel; noutras palabras, os [[Morfismo Normal|epimorfismos normais]] e os [[Monomorfismo|monomorfismos]] forman un [[sistema de factorización]] para a [[Categoría (matemáticas)|categoría]]. Isto está capturado no [[diagrama conmutativo]] na marxe, que mostra os [[Categoría (matemáticas)|obxectos]] e [[Morfismo|morfismos]] cuxa existencia pode deducirse do morfismo <math> f : G \rightarrow H</math>. O diagrama mostra que cada morfismo na categoría de grupos ten un [[Núcleo (teoría de categorías)|kernel]] no sentido da teoría das categorías; o morfismo arbitrario ''f'' factoriza en <math>\iota \circ \pi</math>, onde <math>\iota</math> é un monomorfismo e <math>\pi</math> é un epimorfismo (na [[categoría conormal]], todos os epimorfismos son normais). Isto está representado no diagrama por un obxecto <math>\ker f</math> e un monomorfismo <math>\kappa: \ker f \rightarrow G</math> (os kernels son sempre monomorfismos), que completan a [[Secuencia curta exacta|secuencia exacta curta]] que vai desde a parte inferior esquerda ata a parte superior dereita do diagrama. O uso da convención da [[secuencia exacta]] sálvanos de ter que debuxar os [[Morfismo cero|morfismos cero]] de <math>\ker f</math> cara a <math>H</math> e cara a <math>G / \ker f</math>.

No segundo teorema do isomorfismo, o produto ''SN'' é o [[Join e meet|join]] de ''S'' e ''N'' na [[rede de subgrupos]] de ''G'', mentres que a intersección ''S''&nbsp;∩&nbsp;''N'' é o [[Join e meet|meet]].

O terceiro teorema do isomorfismo é xeneralizado polo [[lema nove]] para [[categorías abelianas]] e máis en xeral mapas entre obxectos.

== Álxebra Universal ==
Para xeneralizar o visto anteriormente para grupos na [[Álxebra Universal|álxebra universal]], os subgrupos normais deben ser substituídos por [[Relación de congruencia|relacións de congruencia]].

Imos mostra un exemplo para o teorema fundamental do isomorfismo.

=== Primeiro teorema do isomorfismo na álxebra universal ===
Sexa <math>f:A \rightarrow B</math> unha álxebra [[homomorfismo]]. Entón a imaxe de <math>f</math> é unha subalxebra de <math>B</math>, a relación dada por <math>\Phi:f(x)=f(y)</math> (é dicir, o kernel de <math>f</math>) é unha congruencia sobre <math>A</math>, e as álxebras <math>A/\Phi</math> e <math>\operatorname{im} f</math> son [[Isomorfismo|isomorfas]]. (Note que no caso dun grupo, <math>f(x)=f(y)</math> [[se e só se]] <math>f(xy^{-1}) = 1</math>, así cubrimos a noción de kernel usado na teoría de grupos neste caso.)

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* [[Noether, Emmy]], ''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern'', [[Mathematische Annalen]] '''96'''  (1927) pp.&nbsp;26–61
* [[McLarty, Colin]], "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". ''The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy'' (edited by [[Jeremy Gray]] e José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp.&nbsp;211–35.
* {{Cita libro| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| date=2009| title=Basic algebra| edition= 2nd| volume = 1 | publisher=Dover| isbn = 9780486471891}}
* Cohn, Paul M., ''Universal algebra'', Chapter II.3 p.&nbsp;57
* {{Cita libro| last=Milne | first=James S. | title=Group Theory | year=2013 | version = 3.13 |  url=http://www.jmilne.org/math/}}
* {{Cita libro| last=van der Waerden | first=B. I. | title=[[Moderne Algebra|Algebra]] | edition= 9 | volume=1 | publisher=Springer-Verlag | year=1994}}
* {{Cita libro | last1=Dummit | first1=David S. | first2=Richard M. | last2=Foote |  title=Abstract algebra | location=Hoboken, NJ | publisher=Wiley | date=2004 | isbn=978-0-471-43334-7}}
* {{Cita libro |last1=Burris |first1=Stanley |last2=Sankappanavar |first2=H. P. |title=A Course in Universal Algebra |date=2012 |url=https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra2012.pdf |isbn=978-0-9880552-0-9}}
* {{Cita libro| author=Scott, W. R. | title=Group Theory | publisher=Prentice Hall | year=1964}}
* {{Cita libro|author=Durbin, John R.|title=Modern Algebra: An Introduction|year=2009|edition= 6|publisher=Wiley|isbn=978-0-470-38443-5}}
* {{Cita libro| title=Basic Algebra | author= Knapp, Anthony W. | edition= Digital second | year=2016}}
* {{Cita libro| author=Grillet, Pierre Antoine | title=Abstract Algebra| url=https://archive.org/details/abstractalgebra0000gril | edition= 2 | publisher=Springer | year=2007}}
* {{Cita libro| author = Rotman, Joseph J. | title=Advanced Modern Algebra | publisher=Prentice Hall | edition= 2 | year=2003 | isbn=0130878685 }}
* {{Cita libro| author = Hungerford, Thomas W. | title=Algebra (Graduate Texts in Mathematics, 73) | publisher=Springer | year=1980 | isbn=0387905189 }}
=== Outros artigos ===
* [[Teoría das categorías]].
* [[Isomorfismo]].
* [[Conxunto cociente]].
=== Ligazóns externas ===
*[https://danielmiranda.prof.ufabc.edu.br/ala/slides/video16.pdf Daniel Miranda, Universidade Federal do ABC, Álgebra Linear Avançada Teoremas de Isomorfismo].


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra abstracta]]