Ver o código fonte de «Teorema do seno»

[[Ficheiro:Ley de los senos.svg|miniatura|Teorema do seno.]]En [[trigonometría]], o '''teorema do seno''' é unha relación de [[proporcionalidade]] entre as lonxitudes dos lados dun [[triángulo]] e os [[seno]]s dos [[ángulo]]s respectivamente opostos.

Se nun triángulo ''ABC'', as medidas dos lados opostos aos ángulos ''A'', ''B'' e ''C'' son respectivamente ''a'', ''b'', ''c'', entón;
{{Ecuación|<math>\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C} </math>}}

== Demostración ==
A pesar de ser dos teoremas trigonométricos máis usados e de ter unha demostración particularmente simple, é pouco común que se presente.

[[Ficheiro:Ley de los senos-prueba.svg|miniatura|263px|dereita|O teorema dos senos establece que ''a/sin(A)'' é constante.]]
Dado o triángulo ''ABC'', denotamos por ''O'' o seu [[circuncentro]] e debuxamos a súa [[circunferencia]] circunscrita. Prolongando o segmento ''BO'' até cortar a [[circunferencia]], obtense un [[diámetro]] ''BP''.

Agora, o triángulo ''PBC'' é recto, posto que ''BP'' é un diámetro, e ademais os ángulos ''A'' e ''P'' son iguais, porque ambos son [[ángulo inscrito|ángulos inscritos]] que abren o segmento ''BC'' (Véxase definición de [[arco capaz]]). Por definición da función trigonométrica [[seno]], tense
{{Ecuación|<math>\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}</math>|3=left}}
onde ''R'' é o radio da [[circunferencia]]. Despexando ''2R'' obtemos:
{{Ecuación|<math>\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} = 2R</math>|3=left}}

Repetindo o procedemento cun diámetro que pase por ''A'' e outro que pase por ''C'', chégase a que as tres fraccións teñen o mesmo valor ''2R'' e polo tanto son iguais.

A conclusión que se obtén acostuma chamarse teorema dos senos xeneralizado e establece que para un triángulo ''ABC'' onde ''a, b, c'' son os lados opostos aos ángulos ''A, B, C''  respectivamente, se ''R'' denota o radio da [[circunferencia]] circunscrita, entón:
{{Ecuación|<math>\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}=2R </math>}}

Pode enunciarse o teorema dunha forma alternativa:
:'''Nun triángulo, o cociente entre cada lado e o seno do seu ángulo oposto é constante e igual ao diámetro da [[circunferencia]] circunscrita.

== Aplicación ==
O teorema do seno é utilizado para resolver problemas nos que se coñecen dous ángulos do triángulo e un lado oposto a un deles.
Tamén se usa cando coñecemos dous lados do triángulo e un ángulo oposto a un deles.

== Relación coa área do triángulo ==
[[Ficheiro:Formulas para área de un triángulo.svg|miniatura|Dúas fórmulas para calcular a área dun triángulo]]

Para un triángulo ''ABC'', a [[área]] calcúlase como ''ah/2'' onde ''h'' é a medida da altura sobre a base ''a''. Novamente, por definición de seno, tense sen ''C'' = ''h/b'' ou o que é o mesmo ''h'' = ''b'' sen ''C'', de modo que se cumpre:
:<math>Area = \frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\operatorname{sen}\,C}{2}</math>.

Mais, o teorema dos senos implica que ''c'' = 2''R'' sen ''C'', polo que ao substituír na expresión anterior obtense un novo teorema:
<math>Area=\frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\operatorname{sen}\,C}{2}=\frac{a\;b\;c}{4\;R}</math>

== Véxase tamén ==
===Outros artigos===
* [[Trigonometría]]
** [[Triangulación]]
** [[Trigonometría esférica]]
** [[Función trigonométrica]]
* [[Xeometría]] do [[triángulo]]
** [[Teorema do coseno]]
** [[Teorema de Pitágoras]]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Teoremas|Seno]]
[[Categoría:Xeometría]]