Ver o código fonte de «Teorema do binomio»


{{Image frame|content=<math>
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \quad 1 \\
 1 \quad 2 \quad 1 \\
 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\
 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1
\end{array}
</math>|width=215|caption=O [[coeficiente binomial]] <math>\tbinom{n}{k}</math> aparece como a entrada {{mvar|k}}-ésima na {{mvar|n}}-ésima fila do [[triángulo de Pascal]] (onde a fila superior é a fila 0, <math>\tbinom{0}{0}=1</math>). Cada entrada é a suma das dúas superiores.}} 
En [[álxebra elemental]], o '''teorema do binomio''' (ou '''expansión binomial''') describe a expansión alxébrica das [[Potenciación|potencias]] dun [[binomio]]. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio {{Math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} nunha suma que implique termos da forma {{Math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}}, onde os expoñentes {{Mvar|b}} e {{Mvar|c}} son [[Número natural|enteiros non negativos]] con {{Math|1=''b'' + ''c'' = ''n''}} e o coeficiente {{Mvar|a}} de cada termo é un [[Número natural|número enteiro positivo]] específico que depende de {{Mvar|n}} e {{Mvar|b}} . Por exemplo, para {{Math|1=''n'' = 4}},<math display="block">(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. </math>O coeficiente {{Mvar|a}} no termo de {{Math|''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>}} coñécese como [[coeficiente binomial]] <math>\tbinom{n}{b}</math> ou <math>\tbinom{n}{c}</math> (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar {{Mvar|n}} e {{Mvar|b}} pódense ordenar para formar o [[triángulo de Pascal]]. Estes números tamén aparecen en [[combinatoria]], onde <math>\tbinom{n}{b}</math> dá o número de [[combinacións]] diferentes (é dicir, subconxuntos) de {{Mvar|b}} elementos que se poden escoller entre un [[conxunto]] de {{Mvar|n}} elementos, e de aí podemos ler "{{Mvar|n}} sobre {{Mvar|b}}" ou "{{Mvar|n}} en {{Mvar|b}}". 

== Teorema ==
Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa {{Mvar|n}} do binomio {{Math|''x'' + ''y''}} é unha suma da forma<math display="block">(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1} y^1 + {n \choose 2}x^{n-2} y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,</math>onde cada un <math> \tbinom nk </math> é un número enteiro positivo coñecido como [[coeficiente binomial]], definido como<math display="block">\binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k + 1)}{k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}.</math>Usando o [[sumatorio]], pódese escribir de forma máis concisa como<math display="block">(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.</math>Para o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo:
<math display="block">(x-y)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}x^{n-k}y^k .</math>

Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo {{Math|1}} por {{Mvar|y}}, de xeito que só implica unha única [[variábel]]:<math display="block">\begin{align}
(1+x)^n
&= {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n \\[4mu]
&= \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k. \vphantom{\Bigg)}
\end{align}</math>

== Exemplos ==
Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:<math display="block">\begin{align}
(x+y)^0 & = 1, \\[8pt]
(x+y)^1 & = x + y, \\[8pt]
(x+y)^2 & = x^2 + 2xy + y^2, \\[8pt]
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7, \\[8pt]
(x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8.
\end{align}</math>

* os expoñentes de {{Mvar|x}} nos termos son {{Math|''n'', ''n'' − 1, ..., 2, 1, 0}} {{Math|''n'', ''n'' − 1, ..., 2, 1, 0}} (o último termo contén implicitamente {{Math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} );
* os expoñentes de {{Mvar|y}} nos termos son {{Math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} {{Math|0, 1, 2, ..., ''n'' − 1, ''n''}} (o primeiro termo contén implicitamente {{Math|1=''y''<sup>0</sup> = 1}} );
* os coeficientes forman a {{Mvar|n}} ésima fila do triángulo de Pascal;
* hai {{Math|''n'' + 1}} termos, e os seus coeficientes suman {{Math|2<sup>''n''</sup>}} .

== Coeficientes binomiais ==
{{Artigo principal|Coeficiente binomial}}
Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse '''coeficientes binomiais''' . Estes adoitan escribirse <math>\tbinom{n}{k},</math> e pódese ler como "{{Mvar|n}} sobre {{Mvar|k}}", combinacións de {{Mvar|n}} elementos tomados en grupos de {{Mvar|k}} elementos.

O coeficiente de {{Math|''x''<sup>''n''−''k''</sup>''y''<sup>''k''</sup>}} vén dado pola fórmula<math display="block">\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!}.</math> O coeficiente binomial <math> \tbinom nk </math> pódese interpretar como o número de formas de escoller {{Mvar|k}} elementos dun conxunto de {{Mvar|n}} elementos.

== Xeneralizacións ==

=== Teorema binomial xeneralizado de Newton ===
{{Artigo principal|Serie binomial}}
[[Isaac Newton]] xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:

:<math>{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty{r \choose k} x^{r-k} y^{k}}</math>

onde <math>r</math> pode ser calquera [[número real]] e os coeficientes están dados polo [[Multiplicación|produto]]:

:<math>{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!} = \frac{r!}{(r-k)!k!}</math>

Expresado co [[Factorial descendente e ascendente|símbolo de Pochhammer]]:
<math display="block">{r \choose k}=\frac{r^\underline{k}}{k!}</math>.

Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos <math>x</math> e <math>y</math> sexan suficientemente próximos, no sentido de que <math>x > y</math> e o [[valor absoluto]] de <math>\Big|\frac{x}{y}\Big|</math> sexa menor que 1.

A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:
:<math>\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty{r+k-1 \choose k} x^k</math>


Exemplos (lembrando que  <math>|x| < 1</math>):
:<math display="block">\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots.</math>
: <math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots.</math>


=== Teorema Multinomial ===
{{AP|Teorema multinomial}}
O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:

:<math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n
 = \sum_{k_1+k_2+\cdots +k_m = n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}. </math>

Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde <math>k_1</math> ata <math>k_m</math> de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a <math>n</math>. Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:

:<math> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.</math>

Desde o punto de vista da [[combinatoria]], o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de <math>n</math> elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños <math> k_1, k_2, \ldots, k_m</math>

== Teorema multi-binomial ==
A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha [[dimensión]], usar produtos de expresións binomiais: 

:<math> (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm(x_{d}+y_{d})^{n_{d}} = \sum_{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm\sum_{k_{d}=0}^{n_{d}} \binom{n_{1}}{k_{1}}\, x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\;\dotsc\;\binom{n_{d}}{k_{d}}\, x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}. </math>

A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:

:<math> (x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} x^\nu y^{\alpha - \nu}.</math>

=== Regra xeral de Leibniz ===
A [[regra do produto (cálculo)|regra xeral de Leibniz]] dá a derivada {{Mvar|n}}-ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: <ref>{{cita libro |last=Olver |first=Peter J. |year=2000 |title=Applications of Lie Groups to Differential Equations |publisher=Springer |pages=318–319 |isbn=9780387950006 |url=https://books.google.com/books?id=sI2bAxgLMXYC&pg=PA318 }}</ref> <math display="block">(fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).</math>Aquí, o superíndice {{Math|(''n'')}} indica a derivada {{Mvar|n}}-ésima dunha función, <math>f^{(n)}(x) = \tfrac{d^n}{dx^n}f(x)</math>.<ref>{{cite book |last1=Spivey |first1=Michael Z. |title=The Art of Proving Binomial Identities |date=2019 |publisher=CRC Press |isbn=978-1351215800 |page=71}}</ref>

== Aplicacións ==

=== Identidades de ángulos múltiples ===
Para os [[Número complexo|números complexos]] o teorema binomial pódese combinar coa [[Fórmula de De Moivre|fórmula de De Moivre]] para obter [[Lista de identidades trigonométricas|fórmulas de ángulos múltiples]] para o [[seno]] e o [[coseno]]. Segundo a fórmula de De Moivre,<math display="block">\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.</math>e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo<math display="block">\left(\cos x + i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x
= (\cos^2 x-\sin^2 x) + i(2\cos x\sin x),</math>Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con <math>(\cos x+i\sin x)^2 = \cos(2x)+i\sin(2x)</math>, así<math display="block">\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,</math>que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que<math display="block">\left(\cos x + i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,</math>A fórmula de De Moivre resulta<math display="block">\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.</math>En xeral,<math display="block">\cos(nx) = \sum_{k\text{ par}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x</math>e<math display="block">\sin(nx) = \sum_{k\text{ impar}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.</math>Tamén hai fórmulas similares usando os [[polinomios de Chebyshev]].

=== Serie para ''e'' ===
O [[Número e|número {{Mvar|e}}]] adoita definirse pola fórmula<math display="block">e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.</math>Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a [[Serie (matemáticas)|serie infinita]] usual para {{Mvar|e}}:<math display="block">\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.</math>O {{Mvar|k}}-ésimo termo desta suma é<math display="block">{n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}</math>Cando {{Math|''n'' → ∞}}, a expresión racional da dereita achégase a {{Math|1}}, e polo tanto<math display="block">\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.</math>Isto indica que {{Mvar|e}} pódese escribir como unha serie:<math display="block">e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.</math>

=== Probabilidade ===
O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da [[distribución binomial negativa]]. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes <math>\{X_t\}_{t\in S}</math> con probabilidade de éxito <math>p\in [0,1]</math> nos que  non aconteza ningún sería

: <math> P\left(\bigcap_{t\in S} X_t^C\right) = (1-p)^{|S|} = \sum_{n=0}^{|S|} {|S| \choose n} (-p)^n.</math>

Un límite superior para esta cantidade é <math> e^{-p|S|}.</math> <ref>{{Cite book|title=Data Compression|last1=Cover|first1=Thomas M.|last2=Thomas|first2=Joy A.|date=2001-01-01|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=9780471200611|pages=320|doi=10.1002/0471200611.ch5}}</ref>

== En álxebra abstracta ==
O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos {{Math|''x''}} e {{Math|''y''}} nun [[Anel (álxebra)|anel]], ou mesmo nun [[Semirando|semianel]], sempre que {{Math|1=''xy'' = ''yx''}}. Por exemplo, vale para dúas matrices {{Math|''n'' × ''n''}}, sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. <ref>Artin, ''Algebra'', 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).</ref>

== Notas ==
{{reflist|30em}} 
{{Reflist|group=note}}
== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro|last=Bag|first=Amulya Kumar|year=1966|title=Binomial theorem in ancient India|journal=Indian J. History Sci|volume=1|issue=1|pages=68–74}}
* {{cita libro|last1=Graham|first1=Ronald|first2=Donald |last2=Knuth|first3= Oren|last3= Patashnik|title=Concrete Mathematics|url=https://archive.org/details/B-001-002-135/mode/2up|publisher=Addison Wesley|year=1990|pages=[https://archive.org/details/B-001-002-135/page/n165/mode/2up 153]–242|chapter=(5) Binomial Coefficients|isbn=0-201-14236-8}}

=== Outros artigos ===
* [[Distribución binomial]]
* [[Teorema binomial inverso]]
* [[Aproximación de Stirling]]
* [[Teorema de Tannery]]
* [[Grupo simétrico]]
* [[Coeficeinte binomial de Gauss]]
=== Ligazóns externas ===

* {{SpringerEOM|id=Newton_binomial|first=E.D.|last= Solomentsev|title=Newton binomial}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/BinomialTheorem/ Binomial Theorem] by [[Stephen Wolfram]], and [http://demonstrations.wolfram.com/BinomialTheoremStepByStep/ "Binomial Theorem (Step-by-Step)"] by Bruce Colletti and Jeff Bryant, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Polinomios]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
[[Categoría:Teoremas|binomio]]