Ver o código fonte de «Teorema de Napoleón»


[[Ficheiro:Napoleon_theorem.png|miniatura| ABC é calquera triángulo e A', B', C' son os centros dos triángulos equiláteros construídos nos lados de ABC. Daquela A'B'C' é un triángulo equilátero.]]
'''O teorema de Napoleón''' é un [[teorema]] [[Xeometría|de xeometría]] relativo a [[Triángulo equilátero|triángulos equiláteros]] construídos a partir de calquera [[triángulo]].

Aínda que tradicionalmente se atribúe a [[Napoleón I de Francia|Napoleón Bonaparte]] (de aí o nome do teorema), non hai probas sólidas de que fose realmente o autor do teorema. O enunciado apareceu realmente en 1825 na revista The Ladies' Diary <ref>{{cita publicación periódica|first1=W.|last1=Rutherford|título=Question 1439|xornal=The Ladies Diary|volume=122|ano=1825|páxina=47}}.</ref>, catro anos despois da morte do emperador.

== Enunciado ==
{{Teorema|Teorema de Napoléon|Se construímos tres triángulos equiláteros a partir dos lados de calquera triángulo, todos exteriores ou todos interiores, os centros destes triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.}}

[[Ficheiro:Napoleon_theorem_X.png|miniatura| Neste caso os triángulos equilateros están construídos cara ao interior do triángulo e os seus centros  A'B'C' forman igualmente un triángulo equilátero.]]
Observacións:

* Por "exterior", debemos entender por exemplo que coas notacións da nosa figura e un marco de referencia orientado, os triángulos ''ABC'' e ''A'BC'' están en sentidos opostos (na figura superior ''ABC'' está no sentido trigonométrico e ''A'BC'' no sentido antitrigonométrico), o mesmo acontece para os outros dous. No caso "interior" (segunda figura), teñen o mesmo sentido.
* Para un triángulo equilátero, por "centro" debemos entender [[centro de gravidade]], é dicir, [[centroide (Baricentro)|baricentro]], intersección das tres [[Mediana (xeometría)|medianas]], coincidindo cos centros dos círculos inscritos e circunscritos.

== Demostración ==

Existen múltiples probas do teorema, mediante moi distintas técnicas (ver a ligazón externa de Cut-the-Knot). Aquí preséntanse dúas.

=== En [[Xeometría euclidiana|xeometría clásica]] ===
[[Ficheiro:513px-Napoleon's theorem proof.png|miniatura| Figura do teorema de Napoleón.]]
Os triángulos ''MCL'' e ''ACX'' son semellantes, cunha razón {{Sqrt|3}}. De feito, ''CA''/''CM'' = {{Sqrt|3}} = ''CX''/''CL'' e os ángulos MĈL e AĈX son iguais. Ou nunha linguaxe máis moderna: pola [[Semellanza (xeometría)|semellanza directa]] ([[Composición de funcións|composta]] por unha [[homotecia]] e unha [[Rotación|rotación]]) do centro ''C'', dun ángulo ±30 graos (na dirección apropiada) e de razón {{Sqrt|3}}, os puntos ''M'' e ''L'' convértense respectivamente nos puntos ''A'' e ''X.''

Do que se desprende que a lonxitude do segmento ''AX'' é igual a {{Sqrt|3}} veces a de ''ML''.

Ao aplicar o mesmo razoamento aos triángulos ''NBL'' e ''ABX'', demostramos que a lonxitude de ''AX'' tamén é igual a {{Sqrt|3}} veces a de ''NL''. Así, ''ML'' e ''NL'' teñen a mesma lonxitude.

Igualmente demostramos, en comparación con ''BY'', que ''LM'' e ''NM'' teñen a mesma lonxitude.

En conclusión: ''NL'' = ''ML'' = ''NM'' e o triángulo ''MNL'' é equilátero.

=== Con números complexos ===
Denotamos <math>j = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}</math> ( notación habitual) e empregaremos as notacións da figura.

Proporcionamos ao [[plano complexo]] un marco de referencia [[Base ortonormal|ortonormal]]. Sexan ''a'', ''b'', ''c'', ''l'', ''m'' e ''n'' os respectivos [[Número complexo|afixos]] dos puntos ''A'', ''B'', ''C'', ''L'', ''M'' e ''N deste marco de referencia.''

Por construción, ''A'' é a imaxe de ''B'' facendo a [[Rotación do plano|rotación]] con centro ''N'' e ángulo <math>\textstyle{+\frac{2\pi}{3}}</math>, que se traduce en:<center><math>(a-n) = j(b-n).</math></center>Así mesmo:<center><math>(b-l) = j(c-l),\quad</math>e tamén 
 <math>(c-m) = j(a-m).</math></center>Podemos deducir :<center><math>(1-j)n = a-jb,\quad(1-j)l = b-jc,\quad</math>e tamén 
 <math>  (1-j)m = c-ja.</math></center>Como, por definición, temos <math display="inline">{\frac{1}{j}+1+j = 0}</math>, e temos, <math>j^3 = 1</math>, daquela:

: <math>\begin{align}(1-j)(m-n)&=(-1-j)a+jb+c\\
&= j^2a+j^4b+j^3c\\
&= -j^2[-a+(1+j)b-jc]\\
&= -j^2[(b-jc)-(a-jb)]\\
&= -j^2(1-j)(l-n)\end{align}</math>

Dividindo por (1 – ''j'' ) obtemos <math>(m-n) = -j^2(l-n) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}(l-n)</math>.

O punto ''M'' é a imaxe de ''L'' pola rotación do centro ''N'' e do ángulo <math>\textstyle{+\frac{\pi}{3}}</math> polo tanto, ''NLM'' é un triángulo equilátero.

''Nota:'' esta demostración segue sendo válida no caso dos triángulos "interiores" mudando algúns signos.

== Lemas ==
{{Teorema|Lema 1|O [[centroide (Baricentro)|baricentro]] do triángulo inicial ''ABC'' e do triángulo final ''LMN'' coinciden.}}Este [[Lema (matemáticas)|lema]] pódese demostrar facilmente usando as notacións da demostración con números complexos:

: <math>\begin{align}(1-j)(n+l+m)&=a-jb+b-jc+c-ja\\
&= (1-j)(a+b+c)
\end{align}</math>

daí a igualdade para os afixos dos baricentros <math>\tfrac{n+l+m}{3} = \tfrac{a+b+c}{3}</math>{{Teorema|Lema 2|A diferenza entre a área do triángulo "exterior" final ''LMN'' e a área do triángulo "interior" final ''L''<sub>1</sub>''M''<sub>1</sub>''N''<sub>1</sub> é igual á área do triángulo inicial ''ABC''.}}Volvamos ás notacións anteriores, para o triángulo “interior" (observemos de paso que o punto ''N''<sub>1</sub> é o simétrica do punto ''N'' con respecto ao segmento ''AB''); daquela obtemos:

: <math>(1-j)n_1 = b-ja</math>
: <math>(1-j)l_1 = c-jb</math>
: <math>(1-j)m_1 = a-jc</math>

e sabendo que a área dun triángulo equilátero de lado {{Mvar|a}} pódese obter mediante: <math>\mathcal{A} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2</math> e <math>z \overline{z} = \left|z\right|^2</math>, imos calcular a diferenza:

: <math>\begin{align}\mathcal{A} &= \frac{\sqrt{3}}{4}\left[(l-n)\overline{(l-n)} - (l_1-n_1)\overline{(l_1-n_1)}\right]\\
&= \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{1}{(1-j)\overline{(1-j)}} \left\{\left[(b-a)-j(c-b)\right]\left[\overline{(b-a)}-j^2\overline{(c-b)}\right]-\left[(c-b)-j(b-a)\right]\left[\overline{(c-b)}-j^2\overline{(b-a)}\right]\right\} \text{ car }\overline{j} = j^2\\
&= \frac{1}{4\sqrt{3}} \left\{2j(b-a)\overline{(c-b)}-(c-b)\overline{(b-a)}-2j(c-b)\overline{(b-a)}+(b-a)\overline{(c-b)}\right\}
\end{align}</math>

desenvolvendo e sabendo que <math>j^2 = -1-j.</math>

Como <math>2j = -1+\mathrm{i}\sqrt{3}</math> ,  temos:

: <math>\begin{align}\mathcal{A} &= \frac{1}{4\sqrt{3}} \left\{\mathrm{i}\sqrt{3}(b-a)\overline{(c-b)}-\mathrm{i}\sqrt{3}(c-b)\overline{(b-a)}\right\}\\
&= \frac{1}{4\mathrm{i}} \left\{(c-b)\overline{(b-a)}-(b-a)\overline{(c-b)}\right\}
\end{align}</math>

O resultado anterior é de feito a área (alxébrica) do triángulo cuxos afixos de vértice son ''a'', ''b'' e ''c''.

==Xeneralizacións==
===Teorema de Petr-Douglas-Neumann===
{{Principal|Teorema de Petr-Douglas-Neumann}}

Se os triángulos isósceles con ángulos ápices {{tmath|\tfrac{2k\pi}{n} }} están erguidos nos lados dun {{mvar|n}}-gono arbitrario {{math|''A''<sub >0</sub>}}, e se este proceso se repite co {{mvar|n}}-gono formado polos ápices libres dos triángulos, pero cun valor diferente de {{mvar|k}}, e así sucesivamente ata que se utilicen todos os valores {{math|1 ≤ ''k'' ≤ ''n'' - 2}} (en orde arbitraria), daquela fórmase un {{mvar|n}}-gono {{math|''A''<sub>''n''−2</sub>}} cuxo centroide coincide co centroide de {{math|''A''<sub>0</sub>}}.<ref>{{cita publicación periódica | doi=10.1007/PL00009307 | volume=18 | title=Isogonal Prismatoids | journal=[[Discrete & Computational Geometry]] | date=1997 | pages=13–52| doi-access=free | last1=Grünbaum | first1=Branko }}</ref>

===Teorema de Napoleón-Barlotti===
[[Ficheiro:Napoleon barlotti.svg|thumb|upright=1.0|Teorema de Napoleón-Barlotti para un pentágono]]
Os centros de {{mvar|n}}-gonos regulares construídos sobre os lados dun {{mvar|n}}-gono {{mvar|P}} forman un {{mvar|n}}-gono regular se e só se {{mvar|P}} é unha imaxe afín dun {{mvar|n}}-gono regular.<ref>A. Barlotti, Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo, Boll. Un. Mat. Ital.
7 no. 3 (1952) 182–185.</ref><ref>Una proprietà degli n-agoni che si ottengono transformando in una affinità un n-agono regolare,
Boll. Un. Mat. Ital. 10 no. 3 (1955) 96–98.</ref>
== Notas ==
{{reflist|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 

=== Outros artigos ===
* [[Problema de Napoléon]]
* [[Puntos de Napoléon]]
* [[Punto de Fermat]]
=== Ligazóns externas ===
*[http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml Napoleon's Theorem and Generalizations], at [[Cut-the-Knot]]
*[http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=xml_triangle_napoleon2.xml To see the construction], en [[instrumenpoche]]
*[http://demonstrations.wolfram.com/NapoleonsTheorem/ Napoleon's Theorem] por Jay Warendorff, O [[Wolfram Demonstrations Project]].
* {{MathWorld |title=Napoleon's Theorem |urlname=NapoleonsTheorem}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Xeometría]]
[[Categoría:Teoremas]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]