Ver o código fonte de «Teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas»

[[Ficheiro:Dirichlet.jpg|miniatura| Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.]]
'''O teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas''' é un resultado da [[teoría analítica de números]] demostrada polo matemático [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Johann Dirichlet]].

Este [[teorema]] sobre a distribución de [[Número primo|números primos]] en <math>\mathbb{N}</math>, foi conxecturado por [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] e finalmente demostrado en [[1837]] por Dirichlet, nome co que se coñece actualmente.

Os números da forma ''a'' + ''nd'' forman unha [[progresión aritmética]]
:<math>a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \ldots,\ </math>
e o teorema de Dirichlet afirma que esta secuencia contén infinitos números primos.

O primeiro teorema de converxencia [[Serie de Fourier|da serie de Fourier]], debido a Dirichlet, apareceu en 1829 e refírese a funcións monótonas por intervalos. Comezamos con algúns comentarios sobre estas funcións. Unha función monótona e limitada nun intervalo [a, b] é integrábel e ten límites laterais finitos en cada punto. Se estes límites non coinciden a función terá unha descontinuidade cun salto finito. A suma dos saltos non pode ser maior que a diferenza dos valores da función nos extremos do intervalo, polo que o conxunto de descontinuidades cun salto superior a 1/n é finito e, polo tanto, o conxunto de descontinuidades é como moito numerábel. As mesmas propiedades serán certas para unha función monótona en segmentos, é dicir, unha que é monótona nun número finito de intervalos que xuntos dan o intervalo orixinal.

=Exemplos=
Os primos da forma 4''n'' + 3 son {{OEIS|id=A002145}}
: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 179, 1, 191 , 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283,...
Corresponden aos seguintes valores de ''n'': {{OEIS|id=A095278}}
: 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52 , 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95,...
A forma forte do teorema de Dirichlet implica que
:<math>\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{19}+\frac{1}{23}+\frac{1}{31}+\frac{1}{43}+\frac{1}{47}+\frac{1}{59}+\frac{1}{67}+\cdots</math>
é unha [[serie diverxente]].

Podemos xerar algunhas formas de primos mediante un método iterativo. Por exemplo, podemos xerar números primos da forma <math>4n+3</math> usando o seguinte método:

Sexa <math>a_0=4(1)+3=7 </math>. Entón sexa <math>a_1=4a_0+3=4(7)+3=31</math> que é primo. Continuamos calculando <math>4(7)(31)+3=871=13(67)</math>. Como <math>4(7)(31)+3</math> é da forma <math>4n+3</math>, 13 ou 67 é da forma <math>4n+3</math>. Temos que <math>67=4(16)+3</math> e é primo, polo que <math>a_3=67</math>. Despois continuamos este proceso para atopar números primos sucesivos da forma <math>4n+3</math> (Silverman 2013).
= Enunciado =
: Sexa <math>a_1, \, b \in \mathbb{N} \; / \; \operatorname{mdc}(a_1, \; b) = 1</math> entón a [[progresión aritmética]] <math>a_n=a_1+b \cdot (n-1)</math> contén infinitos números primos. (segundo Dirichlet)

= Demostración =
A demostración do teorema utiliza as propiedades de certas funcións multiplicativas (coñecidas como [[Función L de Dirichlet|funcións L de Dirichlet]]) e varios resultados sobre a aritmética de [[Número complexo|números complexos]] e é o suficientemente complexa como para que algúns textos [[Teoría de números|de teoría de números]] clásica decidan excluíla do seu repertorio de demostracións. Para evitar unha lectura demasiado densa, este artigo excluíu da demostración algúns corolarios intermedios que aparecen marcados como '''[AD]'''. A proba completa, xunto cos corolarios aquí excluídos, pódense atopar no artigo de '''González de la Hoz'''.<ref>Gonzalez de la Hoz, F.A., ''Demostración del teorema de Dirichlet'', [http://paraisomat.ii.uned.es/archivos/tnumeros/ap_dirichlet.zip web de la UNED]. {{Es}}</ref>

: Sexa <math>G</math> un [[Grupo abeliano|grupo finito conmutativo]] de orde <math>h</math> e elemento unitario <math>e</math>.

Un ''' ''carácter sobre'' <math>G</math>''' é unha función <math>\chi \in \mathbb{C} \; / \; \chi \neq 0, \;\chi(u \cdot v)=\chi(u) \cdot \chi(v) \; \forall u, v \in G</math>. Un carácter sobre <math>G</math> ten unha serie de '''propiedades''' importantes para a nosa demostración:

# Dado que tanto a inversa dun carácter sobre <math>G</math> como o produto dos caracteres sobre <math>G</math> é tamén un carácter sobre <math>G</math>, o conxunto de caracteres sobre <math>G</math> forma un [[Grupo abeliano|grupo conmutativo]] coa multiplicación.
#: Isto permite definir o ''carácter principal'' do grupo <math>G</math> que se define como a función <math>\chi_0 \; / \; \chi_0(u)= 1 \; \forall u \in G</math>. O carácter principal é por tanto o elemento unidade do grupo definido polo conxunto de caracteres sobre <math>G</math>.
# Como <math>\chi(e)=1</math> e dado que a orde dun elemento divide a orde do grupo, entón<math>\forall u \in G \; (\chi(u))^h=\chi(u^h)=\chi(e)=1</math>, o que implica que <math>\mid \chi(u)\mid=1</math>.
#: Dado que o número de raíces do elemento unitario de orde <math>h</math> é como máximo <math>h</math>, o número de caracteres <math>c</math> é finito, sendo o valor <math>h^h</math> un límite superior de <math>c</math>.
#: Por outra parte <math>\forall u \in G, \; u \ne e</math> existe um carácter <math>\chi \; / \; \chi(u) \ne 1</math> ('''[AD]'''). Por el, e se representa mediante <math>\sum_{G}a_{\chi} \,</math> a suma do valor <math>a_{\chi}</math> asociado a cada un dos diferentes caracteres do grupo <math>G</math>, se ten estas '''propiedades''' adicionais ('''[AD]'''):
# <math>\forall u \in G \mbox{ tense que: }</math> <math>\sum_{G}\chi(u)= \begin{cases}
c & se \; u = e
\\
0 & se \; u \neq e
\end{cases} </math><math>\quad \mbox{ onde } c=\sum_{G}1</math>
# <math>\forall u \in G \mbox{ se tem que: }</math> <math>\sum_{u \in G}\chi(u)= \begin{cases}
h & \text{ se } \; \chi = \chi_0
\\
0 & \text{ se }\; \chi \neq \chi_0
\end{cases} </math><math>\quad \mbox{ onde } h \mbox{ é a orde de } G 
\mbox{ sendo } c = h</math>
# <math>\forall u, v \in G \mbox{ determina que: } </math> <math>\frac{1}{h}\sum_{\chi}\frac{\chi(u)}{\chi(v)}=\begin{cases}
1 &  \text{ se }\; u = v
\\
0 &  \text{ se }\; u \ne v
\end{cases}</math>
# <math>\forall \chi_1, \chi_2 \in G \mbox{ determina que: }</math> <math>\frac{1}{h}\sum_{u \in G}\frac{\chi_1(u)}{\chi_2(u)}=\begin{cases}
1 &  \text{ se }\; \chi_1 = \chi_2
\\
0 &  \text{ se } \; \chi_1 \ne \chi_2
\end{cases}</math>
#: Dado un <math>q \in \mathbb{N}</math>, defínense os caracteres <math>\chi</math> do grupo <math>G=Z^*_q</math> definido como as clases de congruencia módulo <math>q</math> de números coprimos con <math>q</math>.
#: O grupo <math>G</math> ten <math>\phi(q)</math> elementos, e podémolos representar por <math>G=\lbrace a_1, a_2, a_3, ..., a_{\phi(q)} \rbrace</math> onde os diferentes <math>a_i</math> son os representantes da clase de congruencia que obedecen a condición <math>0<a_j<q</math>, e neste contexto se definen as funcións estendidas dos caracteres <math>\chi</math> de <math>G</math> da seguinte maneira:
#: <math>\chi(n)= \begin{cases}
\chi(a_i) & \mathrm{se} \; n \equiv a_i \pmod q
\\
0 & \mathrm{se} \; \operatorname{mcd}(n,q)>1
\end{cases}</math>
#: Estas funcións denomínanse '''caracteres de Dirichlet módulo ''q''''' e son completamente multiplicativas. Existen <math>\phi(q)</math> funcións deste tipo e unha delas: <math>\chi_0(n)= \begin{cases}
1 & \mathrm{se} \; n \equiv a_i \pmod  q
\\
0 & \mathrm{se} \; \operatorname{mcd}(n,q)>1
\end{cases}</math> denomínase '''carácter principal de Dirichlet'''.
#: Estes caracteres teñen algunhas '''propiedades''' significativas (derivadas das propiedades dos caracteres dun grupo que vimos antes):
# <math>\sum_{n (\mathrm{\; mod \;} q)}\chi(n)=\begin{cases}
\phi(q) & \mathrm{se} \; \chi = \chi_0
\\
0 & \mathrm{se} \; \chi \ne \chi_0
\end{cases}</math>
# <math>\sum_{n (\mathrm{\; mod \;} q)}\chi(u)=\begin{cases}
\phi(q) & \mathrm{se} \; u \equiv 1 \pmod q
\\
0 & \mathrm{se} \; u \not \equiv 1 \pmod q
\end{cases}</math>
# <math>\forall a \in \mathbb{N} \; / \; \operatorname{mcd}(a,\;q)=1 \mbox{ tense que: }</math> <math>\sum_{n (\mathrm{\; mod \;} q)}\frac{\chi(u)}{\chi(a)}=\begin{cases}
\phi(q) & \mathrm{se} \; u = a
\\
0 & \mathrm{se} \; u \ne a
\end{cases}</math>

Neste punto hai que introducir a seguinte '''definición''':

: Unha [[Función L de Dirichlet|'''función L''' de Dirichlet]] é unha función da forma

<math>L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math> onde [[Número complexo|<math>s \in \mathbb{C}</math>]] e <math>\chi</math> é un [[carácter de Dirichlet]].

Os valores de <math>\chi</math> son periódicos, o que implica que a serie <math>L(s,\,\chi)</math> [[Serie converxente|converxe absolutamente]] a <math>\Re(s)>1</math> e [[Serie converxente|uniformemente]] a <math>\Re(s)>1+\varepsilon, \quad \forall \varepsilon>0.</math> Alén diso, como os coeficientes son completamente multiplicativos, a serie admite a seguinte expresión: <math>L(s,\chi)=\prod_p \left ( 1 - \frac {\chi(p)}{p^s} \right )^{-1}</math>. Cando <math>\Re(s)>1</math> a '''función L''' de Dirichlet ten as seguintes propiedades ( '''[AD]'''):

# <math>L(s,\chi) \neq 0</math>
# <math>L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right )</math>
# <math>\frac {L^\prime(s,\chi)}{L(s,\chi)}=- \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\chi(n)\Lambda(n)}{n^s}</math>
# <math>\ln(L(s,\chi))=\sum_p{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \frac {(\chi(p))^m}{p^{m \cdot s}}}</math>

Da igualdade <math>L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right )</math> e as propiedades da función <math>\zeta</math> pódese deducir que a función <math>L(s,\chi_0)</math> é [[Función analítica|analítica]] no semiplano complexo <math>\Re(s)>0</math> coa excepción dun polo en <math>s=1</math>, cuxo residuo é <math>\prod_{p \mid q} \left (1 - \frac {1}{p} \right)=\frac {\phi(q)}{q}</math>. Como consecuencia diso, podemos dicir que <math>L(s,\chi_0)=f(s)+\frac{\phi(q)/q}{s-1}</math>, onde <math>f</math> é analítica e non ten singularidades en <math>\Re(s)>0</math>, de modo que a función expresada por <math>\frac {L^\prime(s,\chi)}{L(s,\chi)}=\frac {f^\prime(s)-\frac{\phi(q)/q}{(s-1)^2}}{f(s)+\frac{\phi(q)/q}{s-1}}=\frac{(s-1)^2f^\prime(s)-\phi(q)/q}{(s-1)f(s)-\phi(q)/q}\frac{1}{s-1}</math> tamén ten un polo en <math>s=1</math> con residuo <math>-1</math>. Por outra banda, toda '''funcións L''' de Dirichlet <math>L(s,\chi)</math> con <math>\chi \neq \chi_0</math> é analítica e non presenta singularidades na zona <math>\Re(s)>0</math> ('''[AD]'''). E para <math>k>0</math> temos ('''[AD]''') que 
: <math>\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\sum_{n=a\pmod q}\frac{\Lambda(n)}{n^k}-O(1)</math> 
que tamén se pode expresar como:
:<math>\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\frac {-1}{\phi(q)} \cdot \frac {L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)} - \frac{1}{\phi(q)\chi(a)} \sum_{ \chi\pmod q \atop \chi \neq \chi_0}\frac {L^\prime(k,\chi)}{L(k,\chi)}-O(1)</math>
Esta expresión é chave para demostrar o teorema de Dirichlet, xa que podemos concluír que o teorema é correcto se o primeiro termo do segundo membro diverxe cando os termos restantes permanecen dentro de certos límites. Como se cumpre que <math>L(1,\chi) \neq 0</math> cando <math>\chi \neq \chi_0</math> a seguinte expresión:
:<math>\lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{1}{\phi(q)\chi(a)}\sum_{\chi\pmod q \atop \chi \neq \chi_0}\frac {L^\prime(k,\chi)}{L(k,\chi)}=\frac{1}{\phi(q)\chi(1)}\sum_{\chi\pmod q \atop \chi \neq \chi_0}\frac {L^\prime(1,\chi)}{L(1,\chi)}=O(2)</math>
obtén un valor finito e, como vimos, dado que <math>\frac{1}{\chi_0(a)}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}</math> ten un polo en <math>s=1</math> con residuo <math>-1</math> resulta que <math>\lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=-\infty</math> o que implica que:
:<math>\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p}=</math><math>\lim_{k \rightarrow 1^+}\sum_{p=a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=</math><math>\frac {-1}{\phi(q)} \left ( \lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}+O(2) \right )+O(1)=</math><math>\infty</math>
o que proba o teorema.
== Proba simple para 4n+3==
Queremos demostrar que hai infinitos números primos da forma <math>4n+3
</math>. Supoña, por contradición, que só hai un número finito de primos da forma <math>4n+3</math>. 

Despois xuntamos unha lista de todos os devanditos números primos <math>3,p_1,p_2,...,p_m
</math> onde <math>p_1<p_2<...<p_m</math>. 

Sexa <math>N=4p_1p_2...p_m+3</math>. Está claro que ningún dos primos da lista <math>3,p_1,p_2,...,p_m
</math> divide <math>N</math>. 

A continuación, supoña que <math>N </math> é composto. Entón <math>N
</math> ten factorización prima única <math>N=a_1a_2...a_r
</math> onde cada <math>a_i </math> é primo.

Como <math>N\equiv 3\bmod 4
</math>, <math>N</math> é impar e só debe ser o produto de números primos impares. Calquera {{Mvar|p}} primo impar debe ser tal que <math>p\equiv 1\bmod 4 </math> ou <math>p\equiv 3\bmod 4
</math>. 

Non pode ser que <math>a_i\equiv 1\bmod 4
</math> <math>\forall a_i
</math> porque se este fose o caso, entón <math>N\equiv 1\bmod 4
</math>. Así que existe un primo <math>a_i\equiv 3\bmod 4
</math> tal que <math>a_i\mid N
</math>. 

No entanto, ningún dos primos da lista <math>3,p_1,p_2,...,p_m
</math> dividie <math>N </math>, unha contradición. Polo tanto <math>N
</math> debe ser primo e <math>N>p_m</math>. Polo tanto, <math>N
</math> é un primo da forma <math>4n+3</math>, pero non está incluído na lista <math>3,p_1,p_2,...,p_m</math>. 

Así, a lista non contén todos os números primos deste tipo e debe haber infinitos números primos da forma <math>4n+3</math> (Silverman 2013).
= Xeneralizacións =
A [[Conxectura de Bunyakovsky]] xeneraliza o teorema de Dirichlet a polinomios de grao superior. Se  os polinomios cadráticos simples como {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + 1}} (coñecidos polo [[Problemas de Landau| cuarto problema de Landau]]) conseguen infinitos valores primos é un [[problema sen resolver]] importante.

A [[conxectura de Dickson]] xeneraliza o teorema de Dirichlet a máis dun polinomio.

A [[hipótese H de Schinzel]] xeneraliza estas dúas conxecturas, é dicir, xeneraliza a máis dun polinomio cun grao maior que un.

Na [[teoría alxébrica de números]], o teorema de Dirichlet xeneralízase ao [[teorema da densidade de Chebotarev]].

O [[Teorema de Linnik]] (1944) refírese ao tamaño do primo máis pequeno nunha progresión aritmética dada. Linnik demostrou que a progresión ''a'' + ''nd'' (como ''n'' varía a través dos enteiros positivos) contén como máximo un primo de magnitude ''cd<sup>L</sup >'' para constantes absolutas ''c'' e ''L''. Os investigadores posteriores reduciron a ''L'' a 5.

Un análogo do teorema de Dirichlet cúmprese no marco dos sistemas dinámicos ([[Toshikazu Sunada|T. Sunada]] e A. Katsuda, 1990).

Shiu demostrou que calquera progresión aritmética que satisfaga a hipótese do teorema de Dirichlet conterá, de feito, tiradas arbitrariamente longas de números primos ''consecutivos''.<ref>{{cita revista | last1=Shiu | first1 = D. K. L. | title=Cadenas de primos congruentes | ano=2000 | publicación= J. London Math. Soc.| volume=61 |número=2 | páxinas=359–373 | doi=10.1112/s0024610799007863}}</ref>

== Notas ==
{{reflist|30em}}

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
*{{Apostol IANT}}
*{{MathWorld|title=Dirichlet's Theorem|urlname=DirichletsTheorem}}
*Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/notes/Dirichlet.html "Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions"] nas [[Prime Pages]].
* {{Cita libro
| last=Dirichlet
| first=P. G. L.
| author-link=Peter Gustav Lejeune Dirichlet
| title=Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält
|trans-title=Proof of the theorem that every unbounded arithmetic progression, whose first term and common difference are integers without common factors, contains infinitely many prime numbers
| journal=Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
| volume=48
| year=1837
| pages= 45–71
| url= https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=chi.56785536;view=1up;seq=305
}}
*{{{Cita libro
 | last = Neukirch | first = Jürgen | author-link = Jürgen Neukirch
 | isbn = 3-540-65399-6
 | location = Berlin
 | mr = 1697859 | zbl=0956.11021
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | series = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]
 | title = Algebraic number theory. Translated from the 1992 German original and with a note by Norbert Schappacher
 | volume = 322
 | year = 1999}}.
*{{{Cita libro| doi=10.2307/1969454 | author-link=Atle Selberg | first=Atle | last=Selberg  | title=An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression | jstor=1969454 | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=50 | issue=2 | year=1949 | pages=297–304 | zbl=0036.30603 }}.
*{{{Cita libro| last=Serre  | first=Jean-Pierre | title=A course in arithmetic | zbl=0256.12001 | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=7 | location=New York; Heidelberg; Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1973 | isbn=3-540-90040-3 }}.
*{{{Cita libro| author-link=Toshikazu Sunada | first1=Toshikazu | last1=Sunada | first2=Atsushi | last2=Katsuda | title=Closed orbits in homology classes | journal=Publ. Math. IHÉS | volume=71 | year=1990 | pages=5–32 | doi=10.1007/BF02699875 | url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1990__71__5_0/ }}.
*[https://www.pearson.com/en-us/pearsonplus/p/9780137981175 Silverman JH (2013) A Friendly Introduction to Number Theory: Pearson New International Edition, Pearson Education.]

=== Outros artigos ===
*[[Teorema de Bombieri-Vinogradov]]
*[[Teorema de Brun-Titchmarsh]]
*[[Teorema de Siegel-Walfisz]]
*[[Teorema de Green-Tao]]
=== Ligazóns externas ===
* [https://bibliothek.bbaw.de/digitalisierte-sammlungen/akademieschriften/ansicht-akademieschriften?tx_bbaw_academicpublicationshow%5baction%5d=show&tx_bbaw_academicpublicationshow%5bcontroller%5d=AcademicPublication\Volume&tx_bbaw_academicpublicationshow%5bpage%5d=286&tx_bbaw_academicpublicationshow%5bvolume%5d=108&cHash=cdcc91473488a5ab2956096880af8f0f documento orixinal escaneado]
* [https://arxiv.org/abs/0808.1408 Dirichlet: ''There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime''] 
* [http://demonstrations.wolfram.com/DirichletsTheorem/ Dirichlet's Theorem] por Jay Warendorff, [[Wolfram Demonstrations Project]].


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Teoremas]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]