Ver o código fonte de «Teorema das raíces racionais»

En [[álxebra]], o '''teorema das raíces racionais''' (ou '''test das raíces racionais''', '''teorema dos ceros racionais''', '''test dos ceros racionais''' ou '''teorema ''p''/''q''''') estabelece unha condición sobre as [[Número racional|solucións racionais]] dunha [[Ecuación alxébrica|ecuación polinomial]]
<math display="block">a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0</math> con coeficientes [[Número enteiro|enteiros]]. As solucións da ecuación son as [[Raíz dunha función|raíces]] (equivalentemente, os ceros) do [[polinomio]] do lado esquerdo da ecuación.

O teorema estabelece que se ''a''<sub>0</sub> e ''a<sub>n</sub>'' son diferentes de cero, entón, cada solución [[Número racional|racional]] ''x'', cando é escrita como unha fracción irredutíbel ''x''&#x20;=&#x20;''p''/''q'' (isto é, en que o [[máximo común divisor]] de ''p'' e ''q'' é 1), satisfai:
* ''p'' é un [[Divisor|factor]] enteiro do termo constante ''a''<sub>0</sub>, e
* ''q'' é un factor enteiro do [[coeficiente]] dominante ''a''<sub>''n''</sub>.
O teorema das raíces racionais é un caso especial (para un único factor linear) do [[lema de Gauss]] sobre a factorización de polinomios. O '''teorema das raíces enteiras''' é un caso especial do teorema das raíces racionais se o coeficiente dominante&nbsp;''a<sub>n</sub>''&nbsp;=&nbsp;1.

== Aplicación ==
O teorema é usado para determinar se un polinomio ten algunha raíz racional e, en caso afirmativo, encontralas. Unha vez que o teorema impón que o numerador e o denominador de raíces racionais irredutíbeis sexan divisores de certos números, tódalas combinacións posíbeis de divisores poden ser verificadas e as raíces racionais serán atopadas, ou será determinado que non existen raíces racionais. Se unha ou máis raíces fosen atopadas, pódese factorizar ao polinomio, obtendo un polinomio de menor grao cuxas raíces tamén son raíces do polinomio orixinal.

=== Ecuación cúbica ===
A ecuación cúbica xeral
<math display="block">ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
con coeficientes enteiros ten tres solucións no [[plano complexo]]. Se fose concluído por medio do test das raíces racionais que non existen solucións racionais, entón a única forma de expresar as solucións [[expresión alxébrica|alxebricamente]] é usando [[raíz cúbica|raíces cúbicas]]. Mais se o test encontra tres solucións racionais entón xa non precisamos usar raíces cúbicas. E de existir exactamente unha solución racional ''r'', entón (''x'' – ''r'') pode factorizar o polinomio cúbico usando a [[División polinomial|división longa de polinomios]] ou coa axuda da [[regra de Ruffini]], deixando un [[Función cadrática|polinomio cadrático]] cuxas dúas raíces son as outras dúas raíces da ecuación cúbica; e estas poden ser atopadas resolvendo a [[ecuación de segundo grao|ecuación cadrática]], e novamente evitando o uso de raíces cúbicas.

== Demostracións ==

=== Primeira demostración ===
Sexa
<math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \  a_0, \ldots a_n \in \mathbf{Z}.</math>
Supoña que <math>P(p/q) = 0 </math> para certos números [[Números primos entre si|primos entre si]] <math>p,q\in \mathbb{Z} </math>:
<math display="block">P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1\left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0.</math>

Multiplicamos ámbolos por <math>q^n </math>, movemos o termo constante para o lado dereito, e evidente a existencia dun factor <math>p </math> común no membro esquerdo:<math display="block">p(a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1}) = -a_0q^n.</math>

Obsérvase que <math>p</math> divide <math>a_0q^n</math>. Mais <math>p</math> e <math>q</math> son primos entre si e por tanto <math>p </math> e <math>q^n</math> tamén o son, entón polo [[lema de Euclides]] (na súa forma xeneralizada) debe dividir o factor restante <math>a_0</math>do produto.

Se en vez diso, o termo dominante fose movido para a dereita e sacárase o factor ''q'' no lado esquerdo, obteríase
<math display="block">q \left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1} \right ) = -a_np^n.</math>
E por razóns semellantes, pódese concluír que ''q'' divide ''a''<sub>''n''</sub>.<ref>{{cita libro |nome=D. |apelido=Arnold |nome2=G. |apelido2=Arnold |título=Four unit mathematics |editor=Edward Arnold |ano=1993 |isbn=0-340-54335-3 |páxinas=120–121 }}</ref>

=== Demostración usando o lema de Gauss ===
No caso de existir un factor non trivial dividindo tódolos coeficientes do polinomio, pódese dividir polo [[Máximo común divisor|maior divisor común]] dos coeficientes, de modo a obter un polinomio primitivo no sentido do [[lema de Gauss]]; notamos que isto non altera o conxunto das raíces racionais e só reforza as condicións de divisibilidade. O lema di que se o polinomio é factorizábel en {{math|'''Q'''[''X'']}} entón tamén é factorizábel en {{math|'''Z'''[''X'']}} como un produto de polinomios primitivos. Agora, calquera raíz racional {{Math|''p''/''q''}} corresponde a un factor de grao 1 en {{math|'''Q'''[''X'']}} do polinomio, e o seu representante primitivo é {{Math|''qx'' − ''p''}}, supondo que ''p'' e ''q'' son primos entre si. Mais calquera múltiplo de ''qx − p'' en {{math|'''Z'''[''X'']}} ten o termo dominante divisíbel por ''q'' e o termo constante divisíbel por ''p'', o que comproba a afirmación. Este argumento mostra que, mais xeralmente, pode suporse que calquera factor irredutíbel de ''P'' ten coeficientes enteiros, e os coeficientes dominante e constante dividen os coeficientes correspondentes de&#x20;''P''.

== Exemplos ==

=== Primeiro ===
No polinomio
<math display="block">2x^3+x-1,</math>
calquera raíz racional totalmente reducida debería ter un numerador que divide exactamente en 1 e un denominador que divide exactamente en 2. Asim, as únicas raíces racionais posíbeis son ±1/2 e ±1; como ningunha destas cantidade anula o polinomio, non posúe raíces racionais.

=== Segundo ===
No polinomio
<math display="block">x^3-7x+6</math>
as únicas raíces racionais posíbeis deberían ter un numerador que divide 6 e un denominador que divide 1, limitando as posibilidades a ±1, ±2, ±3, ±6. Destes, 1, 2 e -3 anulan o polinomio e, por tanto, son as súas raíces racionais. (Na verdade, esas son as súas únicas raíces pois unha ecuación cúbica ten apenas tres raíces; en xeral, un polinomio podería ter algunhas raíces racionais e algunhas [[Número irracional|irracionais]].)

=== Terceira ===
Tódalas raíces racionais do polinomio
<math display="block">3x^3 - 5x^2 + 5x - 2</math>
deben estar entre os números indicados simbolicamente por
<math display="block">\pm\frac{1,2}{1,3}\,,</math>
o que resulta nunha lista coas 8 posíbeis respostas:
<math display="block">\pm\left\{1, 2, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right\} .</math>
Estes candidatos a raíz poden ser avaliados utilizando o [[Esquema de Horner|método de Horner]] (por exemplo). Neste caso en particular hai exactamente unha raíz racional. Se un candidato a raíz non anula o polinomio, ele pode ser usado para reducir a lista de candidatos remanentes.<ref>{{cita publicación periódica |apelido=King |first=Jeremy D. |título=Integer roots of polynomials |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2006-11_90_519/page/455 |revista=Mathematical Gazette |volume=90 |data= Novembro de 2006 |páxinas=455–456 }}</ref>

Por exemplo, ''x''&#x20;=&#x20;1 non funciona, xa que neste caso o valor do polinomio é igual a&#x20;1. Isto significa que a substitución ''x''&#x20;=&#x20;1&#x20;+&#x20;''t'' producen un polinomio en&#x20;''t'' con termo constante 1, en canto que o coeficiente de ''t''<sup>3</sup> continua a ser o mesmo que o coeficiente de ''x''<sup>3</sup>. A aplicación do teorema das raíces racionais producen entón as seguintes posibilidades para as raíces en&#x20;''t'':
<math display="block">t=\pm\frac{1}{1,3}.</math>
Por tanto,
<math display="block">x = 1+t = 2, 0, \frac{4}{3}, \frac{2}{3}.</math>
Os candidatos a raíz que non ocorren en ámbalas listas son descartadas. A lista de candidatos a raíces racionais fica entón reducida a apenas ''x'' = 2 e ''x'' =&#x20;2/3.

Se se atopan ''k'' raíces racionais (''k'' ≥ 1), o método de Horner tamén producirá un polinomio de grao ''n''&nbsp;−&nbsp;''k'' cuxas raíces, xuntamente coas raíces racionais, son exactamente as raíces do polinomio orixinal. Tamén pode ocorrer de ningún dos candidatos sexa unha solución; neste caso, a ecuación que iguala o polinomio a 0 non ten solución racional. Se a ecuación non posúe un termo constante ''a''<sub>0</sub>, entón 0 é unha das solucións racionais da ecuación.

== Notas ==
{{Listaref}}

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Criterio de Eisenstein]]
=== Bibliografía ===
* {{Cita libro|título=Fundamentals of College Algebra|url=https://archive.org/details/fundamentalsofco0000mill_g1q3|apelidos=Miller|nome=Charles D.|ano=1990|ISBN=0-673-38638-4|ref=|apelidos2=Lial|nome2=Margaret L.|apelidos3=Schneider|nome3=David I.|edición=3ª|páxinas=[https://archive.org/details/fundamentalsofco0000mill_g1q3/page/216 216]–221}}
* {{Cita libro|título=The historical roots of elementary mathematics|apelidos=Jones|nome=Phillip S.|editorial=Dover Courier Publications|ano=1998|ISBN=0-486-25563-8|ref=|url=https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA116|apelidos2=Bedient|páxinas=116–117|nome2=Jack D.}}
* {{Cita libro|título=Calculus: An Applied Approach|apelidos=Larson|nome=Ron|editorial=Cengage Learning|ano=2007|ISBN=978-0-618-95825-2|ref=|url=https://books.google.com.ec/books/about/Calculus.html?id=rbDG7V0OV34C&hl=es-419&output=html_text|páxina=23}}

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Polinomios]]