Ver o código fonte de «Teoría de grupos»

{{Libre homónimos| Para nocións básicas de grupos, ver [[Grupo (matemáticas)]].}}


Na [[álxebra abstracta]], '''a teoría de grupos''' estuda as [[Estrutura alxébrica|estruturas alxébricas]] coñecidas como [[Grupo (matemáticas)|grupos]]. O concepto de grupo é fundamental para a álxebra abstracta: outras estruturas alxébricas coñecidas, como [[Anel (álxebra)|os aneis]], [[Corpo (álxebra)|os corpos]] e [[Espazo vectorial|os espazos vectoriais]], pódense ver como grupos dotados de [[Operación (matemáticas)|operacións]] e [[Axioma|axiomas]] adicionais. [[Grupo alxébrico lineal|Os grupos alxébricos lineares]] e [[Grupo de mentira|os grupos de Lie]] son dúas ramas importantes da teoría de grupos.

Un dos logros matemáticos máis importantes do século XX <ref>{{cita libro |last=Elwes|first=Richard|url=http://plus.maths.org/issue41/features/elwes/index.html|title=An enormous theorem: the classification of finite simple groups|journal=[[Plus Magazine]]|issue=41|date=December 2006|access-date=2011-12-20}}</ref> foi o esforzo colaborativo, ocupando máis de 10.000 páxinas de revistas e publicado na súa maioría entre 1960 e 2004, que culminou cunha [[Clasificación dos grupos simples finitos|clasificación completa de grupos simples finitos]].

== Historia ==
A teoría de grupos ten tres fontes históricas principais: [[Teoría de números|a teoría dos números]], a teoría das [[Ecuación alxébrica|ecuacións alxébricas]] e [[Xeometría|a xeometría]]. A teoría de números foi iniciada por [[Leonhard Euler]], e desenvolvida polo traballo [[Carl Friedrich Gauss|de Gauss]] sobre a [[aritmética modular]] e os grupos aditivos e multiplicativos relacionados con [[Corpo cadrático|corpos cadráticos]]. Os primeiros resultados sobre os grupos de permutación foron obtidos por [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]], [[Paolo Ruffini|Ruffini]] e [[Niels Henrik Abel|Abel]] na súa procura de solucións xerais de ecuacións polinómicas de alto grao. [[Évariste Galois]] acuñou o termo "grupo" e estableceu unha conexión, agora coñecida como [[teoría de Galois]], entre a incipiente teoría de grupos e [[Corpo (álxebra)|a teoría de corpos]]. En xeometría, os grupos primeiro cobraron importancia na [[xeometría proxectiva]] e, máis tarde, [[Xeometría non euclidiana|na xeometría non euclidiana]]. [[Programa Erlangen|O programa Erlangen]] de [[Felix Klein]] proclamou que a teoría de grupos é o principio organizador da xeometría.

[[Évariste Galois|Galois]], na década de 1830, foi o primeiro en empregar grupos para determinar a resolubilidade das [[Ecuación polinómica|ecuacións polinómicas]]. [[Arthur Cayley]] e [[Augustin Louis Cauchy]] impulsaron estas investigacións máis alá creando a teoría dos grupos de permutación. A segunda fonte histórica dos grupos procede de situacións [[Xeometría|xeométricas]]. Nun intento de abordar posibles xeometrías (como a xeometría [[Xeometría euclidiana|euclidiana]], [[Xeometría hiperbólica|hiperbólica]] ou [[Xeometría proxectiva|proxectiva]]) usando a teoría de grupos, [[Felix Klein]] iniciou o programa Erlangen. [[Sophus Lie]], en 1884, comezou a usar grupos (agora chamados [[Grupo de mentira|grupos de Lie]]) ligados a problemas [[Análise matemática|analíticos]]. En terceiro lugar, os grupos foron, ao principio, implicitamente e máis tarde explicitamente, utilizados na [[Teoría de números alxébricos|teoría alxébrica de números]].

O diferente alcance destas primeiras fontes deu lugar a diferentes nocións de grupos. A teoría dos grupos unificouse a partir de 1880. Desde entón, o impacto da teoría de grupos foi crecendo constantemente, dando lugar ao nacemento da [[álxebra abstracta]] a principios do século XX, [[Teoría da representación|a teoría da representación]] e outros moitos dominios derivados. A [[Clasificación dos grupos simples finitos|clasificación dos grupos finitos simples]] é un amplo traballo de mediados do século XX, que clasifica todos os grupos finitos simples.

== Principais clases de grupos ==

=== Grupos de permutacións ===
A primeira clase de grupos en someterse a un estudo sistemático foron os [[Grupo de permutacións|grupos de permutacións]]. Dado calquera conxunto ''X'' e unha colección ''G'' de [[Bixectiva|bixeccións]] de ''X'' en si mesmo (coñecidas como ''permutacións'') que está pechada baixo composicións e inversas, ''G'' é un grupo que [[Acción de grupo|actúa]] sobre ''X''. Se ''X'' consta de ''n'' elementos e ''G'' consta de ''todas'' as permutacións, ''G'' é o [[grupo simétrico]] S<sub>''n''</sub>; en xeral, calquera grupo de permutación ''G'' é un [[subgrupo]] do grupo simétrico de ''X''. Unha construción temperá debida a [[Arthur Cayley|Cayley]] exhibía calquera grupo como un grupo de permutacións, actuando sobre si mesmo ({{Nowrap|1=''X'' = ''G''}}) por medio da [[representación regular]] esquerda.

=== Grupos de matrices ===
A seguinte clase importante de grupos vén dada por ''grupos matriciales'', ou [[Grupo linear|grupos lineares]]. Aquí ''G'' é un conxunto formado por [[Matriz (matemáticas)|matrices]] invertibles de orde ''n'' sobre un corpo ''K'' que está pechado baixo o produto e a inversa. Tal grupo actúa sobre o espazo vectorial ''n'' dimensional ''K''<sup>''n''</sup> mediante [[Aplicación linear|transformacións lineares]]. Esta acción fai que os grupos de matrices sexan conceptualmente similares aos grupos de permutación, e a xeometría da acción pode ser aproveitada para establecer propiedades do grupo ''G.''

=== Grupos de transformación (grupo de automorfismos) ===
Os grupos de permutacións e os grupos de matrices son casos especiais de grupos de transformación: grupos que actúan sobre un determinado espazo ''X'' conservando a súa estrutura inherente. No caso dos grupos de permutación, ''X'' é un conxunto; para grupos de matrices, ''X'' é un [[espazo vectorial]]. O concepto de grupo de transformación está intimamente relacionado co concepto de [[grupo de simetría]]: os grupos de transformación constan frecuentemente de ''todas'' as transformacións que conservan unha determinada estrutura.

=== Grupos abstractos ===
A maioría dos grupos considerados na primeira etapa do desenvolvemento da teoría de grupos foron "concretos", realizándose a través de números, permutacións ou matrices. Non foi ata finais do século XIX cando comezou a implantarse a idea dun '''grupo abstracto''', onde "abstracto" significa que se ignora a natureza dos elementos de tal xeito que dous grupos isomórficos son considerados como o mesmo grupo. Unha forma típica de especificar un grupo abstracto é mediante unha [[Presentación dun grupo|presentación]] por ''xeradores e relacións'',

: <math> G = \langle S|R\rangle. </math>

Unha fonte significativa de grupos abstractos vén dada pola construción dun [[grupo cociente]], ''G''/''H'', dun grupo ''G'' por un [[Subgrupo normal|subgrupo]] ''H'' normal. Os grupos de clases de [[Corpo de números alxébricos|corpos numéricos alxébricos]] foron un dos primeiros exemplos de grupos cociente, de moito interese na [[teoría de números]]. Se un grupo ''G'' é un grupo de permutación nun conxunto ''X'', o grupo cociente ''G''/''H'' xa non actúa sobre ''X''; mais a idea dun grupo abstracto permite non preocuparse por esta discrepancia.

O cambio de perspectiva de grupos concretos a abstractos fai que sexa natural considerar as propiedades de grupos que son independentes dunha realización particular, ou en linguaxe moderna, invariantes baixo [[isomorfismo]], así como as clases de grupo cunha determinada propiedade: [[Grupo finito|grupos finitos]], [[Grupo de torsión|grupos periódicos]], [[grupos simples]], grupos solucionables, etc. En lugar de explorar as propiedades dun grupo individual, búscase establecer resultados que se apliquen a toda unha clase de grupos. O novo paradigma foi de máxima importancia para o desenvolvemento das matemáticas: presaxiou a creación da [[álxebra abstracta]] nas obras de [[David Hilbert|Hilbert]], Emil Artin, [[Emmy Noether]] e outros. 

=== Grupos con estrutura adicional ===
Unha elaboración importante do concepto de grupo ocorre se ''G'' está dotado dunha estrutura adicional, en particular, dun [[espazo topolóxico]], unha [[Colector diferenciable|variedade diferenciable]] ou unha [[variedade alxébrica]]. Se as operacións de grupo ''m'' (multiplicación) e ''i'' (inversión),

: <math> m: G\times G\to G, (g,h)\mapsto gh, \quad i:G\to G, g\mapsto g^{-1}, </math>

son compatibles con esta estrutura, é dicir, son mapas [[Función continua|continuos]], [[Función suave|suaves]] ou [[Mapa regular (xeometría alxébrica)|regulares]] (no sentido de xeometría alxébrica), entón ''G'' é un [[grupo topolóxico]], un [[Grupo de mentira|grupo de Lie]] ou un [[grupo alxébrico]]. <ref>Este proceso de imposición de estrutura extra formalizouse a través da noción dun [[obxecto de grupo]] nunha [[Categoría (matemáticas)|categoría] adecuada. Así, os grupos de Lie son obxectos de grupo na categoría de variedades diferenciables e os grupos alxébricos afíns son obxectos de grupo na categoría de variedades alxébricas afíns.</ref>

Os grupos topolóxicos forman un dominio natural para [[Análise harmónica|a análise harmónica abstracta]], mentres que os [[Grupo de Lie|grupos de Lie]]  son os piares da [[xeometría diferencial]] e da  [[teoría da representación]]. Determinadas cuestións de clasificación que non se poden resolver en xeral pódense abordar e resolver para subclases especiais de grupos. Así, os  grupos de Lie conectados e compactos clasificáronse completamente. Unha tendencia relativamente recente na teoría dos grupos finitos explota as súas conexións con grupos topolóxicos compactos ([[Grupo Profinito|grupos profinitos]]): por exemplo, un único [[Poderoso grupo p|grupo analítico ''p''-ádico]] ''G'' ten unha familia de cocientes que son [[Grupo P|''p'' grupos]] finitos de varias ordes e as propiedades de ''G'' tradúcense nas propiedades dos seus cocientes finitos.

== Ramas da teoría de grupos ==

=== Teoría de grupos finitos ===
Durante o século XX conseguiuse a [[Clasificación dos grupos simples finitos|clasificación completa dos grupos finitos simples]], o que significa que agora se coñecen todos aqueles grupos simples a partir dos que se poden construír todos os grupos finitos.

=== Representación de grupos ===
Os grupos pódense describir de diferentes xeitos. Os grupos finitos pódense describir escribindo a táboa de grupos formada por todas as posibles multiplicacións {{Nowrap|''g'' • ''h''}}. Unha forma máis compacta de definir un grupo é mediante elementos ''xeradores e as súas relacións'', tamén chamada ''presentación'' dun grupo. Dado calquera conxunto ''F'' de xeradores <math>\{g_i\}_{i\in I}</math>, o [[grupo libre]] xerado por ''F'' sobrexecta ao grupo ''G''. O kernel deste mapa chámase subgrupo de relacións, xerado por algún subconxunto ''D''. A presentación adoita denotarse por <math>\langle F \mid D\rangle.</math> Por exemplo, a presentación do grupo <math>\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle</math> describe un grupo isomorfo a <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.</math> Unha cadea formada por símbolos xeradores e os seus inversos chámase ''palabra''.


Dado un grupo ''G'', [[Teoría da representación|a teoría da representación]] pregúntase que representacións de ''G'' existen. Hai varios escenarios, e os métodos empregados e os resultados obtidos son bastante diferentes en cada caso: [[Teoría da representación de grupos finitos|a teoría da representación de grupos finitos]] e as representacións de [[Grupo de mentira|grupos de Lie]] son dous subdominios principais da teoría. A totalidade das representacións está rexida polos [[Teoría dos caracteres|caracteres]] do grupo. Por exemplo, [[Serie de Fourier|os polinomios de Fourier]] pódense interpretar como os caracteres de [[Grupo unitario|U(1)]], o grupo de [[Número complexo|números complexos]] de [[valor absoluto]] ''1'', que actúan no espazo [[Espazo Lp|''L''<sup>2</sup>]] das funcións periódicas.

=== Teoría de Lie ===
Un grupo de Lie é un [[Grupo (matemáticas)|grupo]] que tamén é unha [[Colector diferenciable|variedade diferenciable]], coa propiedade de que as operacións do grupo son compatibles coa [[Estrutura diferencial|estrutura suave]].

=== Teoría combinatoria e xeométrica de grupos ===


A [[teoría combinatoria de grupos]] estuda os grupos desde a perspectiva de xeradores e relacións.<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Schupp|Lyndon|2001}}</ref> É particularmente útil cando se cumpren os supostos de finitude, por exemplo grupos finitamente xerados ou grupos finitamente presentados (é dicir, ademais, as relacións son finitas). Esta área fai uso da conexión de [[Grafo|gráficos]] a través dos seus [[Grupo fundamental|grupos fundamentais]]. Por exemplo, pódese demostrar que cada subgrupo dun grupo libre é libre.

A teoría xeométrica de grupos  ataca os problemas desde un punto de vista xeométrico, vendo os grupos como obxectos xeométricos ou ben atopando obxectos xeométricos axeitados sobre os que actúa un grupo. <ref>{{Cita Harvard sen parénteses|La Harpe|2000}}</ref> A primeira idea realízase mediante o grafo de Cayley, cuxos vértices corresponden a elementos do grupo e as arestas corresponden á multiplicación pola dereita do grupo. 

== Aplicacións da teoría de grupos ==
Case todas as estruturas da [[álxebra abstracta]] son casos especiais de grupos. Os [[Anel (álxebra)|aneis]], por exemplo, pódense ver como [[Grupo abeliano|grupos abelianos]] (correspondentes á suma) xunto cunha segunda operación (correspondente á multiplicación). Polo tanto, os argumentos teóricos de grupo subxacen en gran parte da teoría desas entidades.

=== Teoría de Galois ===
A [[teoría de Galois]] utiliza grupos para describir as simetrías das raíces dun polinomio (ou máis precisamente os automorfismos das álxebras xeradas por estas raíces). O [[teorema fundamental da teoría de Galois]] proporciona un vínculo entre as [[Extensión de corpo alxébrico|extensións de corpo alxébrico]] e a teoría de grupos. 

=== Topoloxía alxébrica ===
[[Topoloxía alxébrica|A topoloxía alxébrica]] é outro dominio que asocia de forma destacada os grupos aos obxectos nos que a teoría está interesada. Alí, os grupos úsanse para describir certos invariantes de [[Espazo topolóxico|espazos topolóxicos]]. Chámanse "invariantes" porque se definen de tal xeito que non mudan se o espazo está sometido a algunha [[Homeomorfismo|deformación]]. Por exemplo, o [[grupo fundamental]] "conta" cantos camiños no espazo son esencialmente diferentes. A [[conxectura de Poincaré]], probada en 2002/2003 por [[Grigori Perelman]], é unha aplicación destacada desta idea. 
[[Ficheiro:Torus.png|dereita|miniatura|200x200px| Un toro. A súa estrutura de grupo abeliano indúcese a partir do mapa {{Nowrap|'''C''' → '''C'''/('''Z''' + ''τ'''''Z''')}}, onde ''τ'' é un parámetro  no medio plano superior .]]

=== Xeometría alxébrica ===
[[Xeometría alxébrica|A xeometría alxébrica]] tamén usa a teoría de grupos de moitas maneiras. Unha delas son as [[Variedade abeliana|variedades abelianas]]. Estúdase con especial detalle o caso unidimensional, a saber, as [[Curva elíptica|curvas elípticas]] e son interesantes tanto na teoría como na práctica.<ref>Véxase [[Conxectura de Birch e Swinnerton-Dyer]],un dos [[problemas do milenio]]</ref> 

=== Teoría alxébrica de números ===
[[Teoría de números alxébricos|A teoría alxébrica de números]] fai uso dos grupos para algunhas aplicacións importantes. Por exemplo, a fórmula do produto de Euler ,

: <math>
\begin{align}
\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}& = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}, \\
\end{align}
\!</math>

capta [[Teorema fundamental da aritmética|o feito]] de que calquera número enteiro  descomponse dun xeito único en [[Número primo|números primos]]. O fracaso desta afirmación para aneis máis xerais orixina grupos de clases e números [[Primo regular|primos regulares]], que aparecen no tratamento de [[Ernst Kummer|Kummer]] do [[Último Teorema de Fermat|último teorema de Fermat]].

=== Análise harmónica ===
A análise dos grupos de Lie e outros grupos denomínase [[análise harmónica]]. 

=== Combinatoria ===
En [[combinatoria]], a noción de grupo de [[permutación]] e o concepto de acción grupal úsanse a miúdo para simplificar a contaxe dun conxunto de obxectos.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==


=== Bibliografía ===
* {{Cita libro | last1=Borel | first1=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Linear algebraic groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-97370-8 | mr=1102012  | year=1991 | volume=126 | doi=10.1007/978-1-4612-0941-6}}
* {{Cita libro | last1=Carter | first1=Nathan C. | title=Visual group theory | url=http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ | publisher=[[Mathematical Association of America]] | series=Classroom Resource Materials Series | isbn=978-0-88385-757-1 | mr=2504193  | year=2009}}
* {{Cita libro | last1=Cannon | first1=John J. | title=Computers in group theory: A survey | mr=0290613  | year=1969 | journal=Communications of the ACM | volume=12 | pages=3–12 | doi=10.1145/362835.362837 }}
* {{Cita libro | last1=Frucht | first1=R. | title=Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe | url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | year=1939 | journal=Compositio Mathematica | issn=0010-437X | volume=6 | pages=239–50 |  archive-url=https://web.archive.org/web/20081201083831/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0 | archive-date=2008-12-01 }}
* {{Cita libro | last1=Golubitsky | first1=Martin| last2=Stewart | first2=Ian | author1-link=Ian Stewart (mathematician)| title =Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism |mr=2223010  |journal= Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) |volume=43 | year= 2006 | pages=305–364 | doi=10.1090/S0273-0979-06-01108-6 | issue=3 }}.
* {{Cita libro | last1=Judson | first1=Thomas W. | title=Abstract Algebra: Theory and Applications | year=1997 | url=http://abstract.ups.edu }} 
* {{Cita libro | doi=10.2307/2690312 | last1=Kleiner | first1=Israel | title=The evolution of group theory: a brief survey | mr=863090  | year=1986 | journal=[[Mathematics Magazine]] | issn=0025-570X | volume=59 | issue=4 | pages=195–215 | jstor=2690312}}
* {{Cita libro | last1=La Harpe | first1=Pierre de | title=Topics in geometric group theory | publisher=[[University of Chicago Press]] | isbn=978-0-226-31721-2 | year=2000}}
*{{Cita libro | author=Livio, M. | author1-link=Mario Livio | title=The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry | publisher=Simon & Schuster | year=2005 | isbn=0-7432-5820-7  | url=https://archive.org/details/equationthatcoul0000livi }}.
* {{Cita libro | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | title=Abelian varieties | publisher=[[Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-560528-0 | oclc=138290 | year=1970}}
*  [[Mark Ronan|Ronan M.]], 2006. ''Symmetry and the Monster''. Oxford University Press. {{ISBN|0-19-280722-6}}. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
*{{Cita libro | author=Rotman, Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | location=New York | publisher=Springer-Verlag | year=1994 | isbn=0-387-94285-8}}  A standard contemporary reference.
* {{Cita libro |author-link1=Paul Schupp|author-link2=Roger Lyndon | last1=Schupp | first1=Paul E. | last2=Lyndon | first2=Roger C. | title=Combinatorial group theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-41158-1 | year=2001}}
*{{Cita libro | author=Scott, W. R. | title= Group Theory | url=https://archive.org/details/grouptheory0000scot | location=New York | publisher=Dover | year=1987 | orig-year=1964 | isbn=0-486-65377-3}} Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
* {{Cita libro | last1=Shatz | first1=Stephen S. | title=Profinite groups, arithmetic, and geometry | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-08017-8 | mr=0347778  | year=1972}}

=== Outros artigos ===
* [[:en:List of group theory topics]]
* [[:en:Examples of groups]]
=== Ligazóns externas ===
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html History of the abstract group concept]
* [https://archive.today/20120723235509/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm  Higher dimensional group theory].
* [http://plus.maths.org/issue48/package/index.html Plus teacher and student package: Group Theory] 
* {{Cita EB1911|wstitle=Groups, Theory of|volume=12|pages=626–636|first=William|last=Burnside|author-link=William Burnside|mode=cs2}} 

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra abstracta]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]