Ver o código fonte de «Teoría da orde»

'''A teoría da orde''' é unha rama das [[matemáticas]] que investiga a noción intuitiva de orde mediante relacións binarias. Ofrece un marco formal para describir afirmacións como "isto é [[Desigualdade (matemáticas)|menor que]] iso" ou "isto precede a iso". Este artigo presenta o campo e proporciona definicións básicas. Na Wikipedia en inglés hai un glosario de termos [[:en:Order_theory_glossary|Glosario da teoría da orde]].

== Antecedentes e motivación ==
Algunhas ordes, como "menor que" nos números naturais e a orde alfabética nas palabras, teñen unha propiedade especial: cada elemento pódese ''comparar'' con calquera outro elemento, é dicir, é máis pequeno (antes), máis grande (posterior) ou idéntico a. Porén, moitos outros tipos de orde non. Considere, por exemplo, a orde do subconxunto nunha colección de [[Conxunto|conxuntos]]: aínda que o conxunto de aves e o conxunto de cans son ambos os dous subconxuntos do conxunto de animais, nin os paxaros nin os cans constitúen un subconxunto do outro. Aquelas ordes como a relación "subconxunto de" para as que existen elementos ''incomparables'' chámanse ''ordes parciais''; ordes para as que cada par de elementos é comparable son ''ordes totais'' .

A teoría da orde recolle a intuición das ordes que xorde a partir deste tipo de exemplos nun contexto xeral. Isto conséguese especificando as propiedades que debe ter unha relación ≤ para ser unha orde matemática. 

Impulsados polo amplo uso práctico do que é a orde, definíronse numerosos tipos especiais de conxuntos ordenados, algúns dos cales se converteron en campos matemáticos propios. A maiores, a teoría da orde non se restrinxe ás diversas clases de relacións de ordenación, senón que tamén considera [[Función|funcións]] adecuadas entre elas. Un exemplo sinxelo dunha propiedade teórica de orde para funcións provén da [[Análise funcional|análise]] onde se atopan frecuentemente funcións monótonas.

== Definicións básicas ==
Esta sección introduce conxuntos ordenados a partir dos conceptos de [[teoría de conxuntos]], [[aritmética]] e relacións binarias.

=== Conxuntos parcialmente ordenados ===
Unha orde é unha relación binaria especial. Supoñamos que ''P'' é un conxunto e que ≤ é unha relación sobre ''P'' (enténdese que 'relación ''sobre'' un conxunto' significa 'relación ''entre'' os seus elementos', é dicir, ≤ é un subconxunto do produto cartesiano ''P'' x ''P''). Entón ≤ é unha '''orde parcial''' se é reflexiva, antisimétrica e transitiva, é dicir, se para todos ''a'', ''b'' e ''c'' en ''P'', temos que:

: ''a'' ≤ ''a'' (reflexividade)
: se ''a'' ≤ ''b'' e ''b'' ≤ ''a'' entón ''a'' = ''b'' (antisimetría)
: se ''a'' ≤ ''b'' e ''b'' ≤ ''c'' entón ''a'' ≤ ''c'' (transitividade).

Un conxunto cunha orde parcial sobre el chámase '''conxunto parcialmente ordenado''', ou '''poset''' (do inglés "partial ordered set"). Ao comprobar estas propiedades, vese inmediatamente que a orde coñecida sobre [[Número natural|números naturais]], [[Número enteiro|enteiros]], [[Número racional|números racionais]] e [[Número real|reais]] son todas ordes no sentido anterior. No entanto, estes exemplos teñen a propiedade adicional de que dous elementos calquera son comparables, é dicir, para todo ''a'' e ''b'' en ''P'', temos que:

: ''a'' ≤ ''b'' ou ''b'' ≤ ''a'' .

Unha orde parcial con esta propiedade chámase orde total. Este tipo de orde tamén pode denominarse '''orde linear''' ou '''[[Orde_total#cadeas|cadea]]'''. Aínda que moitas ordes coñecidas son lineais, a orde de subconxuntos nos conxuntos ofrece un exemplo onde este non é o caso. Outro exemplo vén dado pola relación de divisibilidade (ou "é un [[Divisor|factor]] de"). Para dous números naturais ''n'' e ''m'', escribimos ''n'' | ''m'' se ''n'' [[División (matemáticas)|divide]] ''m'' sen resto. Vese facilmente que isto dá unha orde parcial. Por exemplo, nin 3 divide 13 nin 13 divide 3, polo que 3 e 13 non son elementos comparables da relación de divisibilidade no conxunto de números enteiros. A relación de identidade = en calquera conxunto tamén é unha orde parcial na que cada dous elementos distintos son incomparables. Tamén é a única relación que é tanto unha orde parcial como unha [[relación de equivalencia]] porque satisfai tanto a propiedade de antisimetría das ordes parciais como a propiedade de simetría das relacións de equivalencia. Moitas propiedades avanzadas dos posets son interesantes principalmente para unha orde de tipo non linear.

=== Visualización dun poset ===
[[Ficheiro:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg|miniatura|250x250px| [[Diagrama de Hasse]] do conxunto de todos os divisores de 60, parcialmente ordenados pola divisibilidade]]
[[Diagrama de Hasse|Os diagramas de Hasse]] poden representar visualmente os elementos e as relacións dunha ordenación parcial. Trátase de debuxos gráficos onde os [[Teoría de grafos|vértices]] son os elementos do poset e a relación de ordenación indícase tanto polas [[Teoría de grafos|arestas]] como pola posición relativa dos vértices. As ordes son debuxadas de abaixo cara arriba: se un elemento ''x'' é menor que (precede) a ''y'', existe un camiño de ''x'' a ''y'' dirixido cara arriba. A miúdo é necesario que os elementos de conexión das arestas se crucen entre si, mais os elementos nunca deben situarse dentro dunha aresta. Un exercicio instrutivo consiste en debuxar o diagrama de Hasse para o conxunto de números naturais que son menores ou iguais a 13, ordenados pola relación ''[[divisor]]'').

Mesmo algúns conxuntos infinitos poden diagramarse superpoñendo  [[puntos suspensivos]] dentro dunha suborde finita. Isto funciona ben para os números naturais, mais falla para os reais, onde non hai un sucesor inmediato por riba de 0; porén, moitas veces pódese obter unha intuición relacionada con diagramas de tipo similar.

=== Elementos especiais dentro dunha orde ===
Nun conxunto parcialmente ordenado pode haber algúns elementos que xogan un papel especial. O exemplo máis básico é o '''menor elemento''' dun poset. Por exemplo, 1 é o [[Elemento maior e menor|elemento menor]] dos enteiros positivos e o [[conxunto baleiro]] é o conxunto menor baixo a orde do subconxunto. Formalmente, un elemento ''m'' é un elemento mínimo se:

: ''m'' ≤ ''a'', para todos os elementos ''a'' da orde.

Os [[Elemento maior e menor|elementos menores e maiores]] poden non existir, como mostra o exemplo dos números reais. Mais se existen, sempre son únicos. En contraste, considere a relación de divisibilidade | no conxunto {2,3,4,5,6}. Aínda que este conxunto non ten nin superior nin inferior en relación coa divisibilidade, os elementos 2, 3 e 5 non teñen ningún elemento por debaixo, mentres que 4, 5 e 6 non teñen ningún por riba. Estes elementos chámanse '''minimal''' e '''maximal''', respectivamente. Formalmente, un elemento ''m'' é [[Elemento maximal e minimal|minimal]] se:

: ''a'' ≤ ''m'' implica ''a'' = ''m'', para todos os elementos ''a'' da orde.

Mudando ≤ por ≥ obtemos a definición de [[Elemento maximal e minimal|maximal]]. Como mostra o exemplo, pode haber moitos elementos maximais e algúns elementos poden ser tanto maximal como minimal (por exemplo, o 5 anterior). No entanto, se hai un elemento menor, entón é o único elemento minimal da orde. De novo, en posets infinitos non sempre existen elementos maximais: o conxunto de todos os subconxuntos ''finitos'' dun conxunto infinito dado, ordenados pola inclusión de subconxuntos, proporciona un dos moitos contraexemplos. Unha ferramenta importante para garantir a existencia de elementos maximais baixo certas condicións é o '''[[Lema de Zorn]]'''.

Os subconxuntos de conxuntos parcialmente ordenados herdan a orde. Xa aplicamos isto considerando o subconxunto {2,3,4,5,6} dos números naturais coa orde de divisibilidade inducida. Tamén hai elementos dun poset que son especiais con respecto a algún subconxunto da orde. Isto leva á definición de '''[[Elemento maiorante e minorante|elementos maiorantes]]'''. Dado un subconxunto ''S'' dalgún conxunto ''P'', un elemento maiorante de ''S'' é un elemento ''b'' de ''P'' que está por riba de todos os elementos de ''S''. Formalmente, isto significa que

: ''s'' ≤ ''b'', para todos ''os s'' en ''S'' .

Os elementos minorantes defínense de novo invertendo a orde. Por exemplo, -5 é un elemento minorante dos números naturais como un subconxunto dos enteiros. Dado un conxunto de conxuntos, un elemento maiorante para estes conxuntos baixo a ordenación do subconxunto vén dado pola súa unión. De feito, este elemento maiorante é bastante especial: é o conxunto máis pequeno que contén todos os conxuntos. Así damos cun novo concepto, o '''[[Ínfimo e supremo|elemento maiorante mínimo]]''' dun conxunto de conxuntos. Este concepto tamén se denomina [[Ínfimo e supremo|'''supremo''']] ou '''join''', e para un conxunto ''S'' escríbese sup(''S'') ou <math>\bigvee S</math>. Pola contra, o '''[[Ínfimo e supremo|elemento minorante máis grande]]''' coñécese como '''[[Ínfimo e supremo|ínfimo]]''' ou '''meet''' e denomínase inf(''S'') ou <math>\bigwedge S</math>. Estes conceptos xogan un papel importante en moitas aplicacións da teoría da orde. Para dous elementos ''x'' e ''y'', tamén se escribe <math>x\vee y</math> e <math>x\wedge y</math> para sup({ ''x'', ''y'' }) e inf({ ''x'', ''y'' }), respectivamente.

Por exemplo, 1 é o ínfimo dos enteiros positivos como subconxunto de enteiros.

=== Dualidade ===
Nas definicións anteriores, a miúdo observamos que un concepto pode definirse con só inverter a ordenación nunha definición anterior. Este é o caso de "menor" e "maior", de "minimal" e "maximal", de "maiorante" e "minorante", etc. Esta é unha situación xeral na teoría da orde: unha orde dada pódese inverter simplemente trocando a súa dirección, volteando pictóricamente o diagrama de Hasse de arriba abaixo. Isto produce a chamada orde '''dual''', '''inversa''' ou '''oposta'''.

Pódense atopar algúns detalles e exemplos máis no artigo sobre [[Dualidade (teoría da orde)|a teoría da dualidade na teoría da orde]].

=== Construción de novas ordes ===
Hai moitas formas de construír ordes a partir de ordes dadas. A orde dual é un exemplo. Outra construción importante é o [[produto cartesiano]] de dous conxuntos parcialmente ordenados, xunto coa orde do produto en pares de elementos. A ordenación defínese por (''a'', ''x'') ≤ (''b'', ''y'') se (e só se) ''a'' ≤ ''b'' e ''x'' ≤ ''y''. (Nótese con coidado que hai tres significados distintos para o símbolo de relación ≤ nesta definición.) A unión disxunta de dous posets é outro exemplo típico de construción de ordes, onde a orde é só a unión (disxunta) das ordes orixinais.

Toda orde parcial ≤ dá lugar á chamada orde estrita <, ao definir ''a'' < ''b'' se ''a'' ≤ ''b'' e non ''b'' ≤ ''a''. Esta transformación pódese inverter establecendo ''a'' ≤ ''b'' se ''a'' < ''b'' ou ''a'' = ''b''. Os dous conceptos son equivalentes aínda que nalgunhas circunstancias pode ser máis cómodo traballar cun que co outro.

== Funcións entre ordes ==
É razoable considerar funcións entre conxuntos parcialmente ordenados que teñan certas propiedades adicionais que están relacionadas coas relacións de ordenación dos dous conxuntos. A condición máis fundamental que se dá neste contexto é a monotonía. Unha función ''f'' dun poset ''P'' a un poset ''Q'' é '''monótona''', ou '''conserva a orde''', se ''a'' ≤ ''b'' en ''P'' implica ''f'' (''a'') ≤ ''f'' (''b'') en ''Q'' (observando que, estritamente, as dúas relacións aquí son diferentes xa que se aplican a distintos conxuntos). A inversa desta implicación leva a funcións que '''reflicten a orde''', é dicir, funcións ''f'' como as anteriores para as que ''f'' (''a'') ≤ ''f'' (''b'') implica ''a'' ≤ ''b''. Por outra banda, unha función tamén pode ser '''inversora de orde''' ou '''antítona''', se ''a'' ≤ ''b'' implica ''f'' (''a'') ≥ ''f'' (''b'').

Unha '''[[orde de mergullo]]''' é unha función ''f'' entre ordes que é á vez conservadora e reflectora da orde. Por exemplo, a función que asigna un número natural ao seu sucesor é claramente monótona con respecto á orde natural. Calquera función dunha orde discreta, é dicir, dun conxunto ordenado pola orde de igualdade "=", tamén é monótona. Se mapeamos cada número natural co número real correspondente temos un exemplo de orde de [[mergullo (matemáticas)|mergullo]]. O complemento dun conxunto nun conxunto das partes é un exemplo dunha función antítona.

Unha cuestión importante é cando dúas ordes son "esencialmente iguais", é dicir, cando son iguais ata o cambio de nome dos elementos. Os '''[[Isomorfismo de orde|isomorfismos de orde]]''' son funcións que definen esa mudanza de nome. Un isomorfismo de orde é unha  [[bixectiva|función bixectiva]] monótona que ten unha inversa monótona. Isto equivale a ser unha orde [[sobrexectiva]] por mergullo de orde. Polo tanto, a imaxe ''f''(''P'') dunha orde por mergullo é sempre isomorfa a ''P'', o que xustifica o termo "mergullo".

Un tipo máis elaborado de funcións vén dado polas chamadas '''[[Conexión de Galois|conexións de Galois]]'''. As conexións monótonas de Galois pódense ver como unha xeneralización de isomorfismos de orde, xa que constitúen un par de dúas funcións en direccións inversas, que "non son totalmente" inversas entre si, pero teñen relacións estreitas.

Outro tipo especial de automapas nun poset son '''[[Operador de pechamento|os operadores de pechamento]]''', que non só son monótonos, senón tamén [[idempotencia|idempotentes]], é dicir, ''f''(''x'') = ''f''( ''f'' (''x'')), e '''[[Operador de pecheamento|extensivos]]''' (ou ''inflacionarios''), é dicir, ''x'' ≤ ''f''(''x''). Estes teñen moitas aplicacións en todo tipo de “pechamentos” que aparecen nas matemáticas.

Cando se fala de posets con elemento menor, pode parecer razoable considerar só as funcións monótonas que conservan este elemento, é dicir, que mapean elementos menores con elementos menores. Se existe un ínfimo binario ∧, entón unha propiedade razoable podería ser esixir que ''f''(''x''∧''y'') = ''f''(''x'')∧''f''(''y''), para todos os ''x'' e ''y''. Todas estas propiedades, e de feito moitas máis, pódense compilar baixo a etiqueta de funcións de preservación de límites.

Finalmente, pódese inverter a vista, mudando de ''funcións de orde'' a ''orde de funcións''. De feito, as funcións entre dous posets ''P'' e ''Q'' poden ordenarse mediante a [[orde punto a punto]]. Para dúas funcións ''f'' e ''g'', temos ''f'' ≤ ''g'' se ''f''(''x'') ≤ ''g'' (''x'') para todos os elementos ''x'' de ''P''. Isto acontece, por exemplo, na [[Teoría do dominio|teoría de dominios]], onde os [[Espazo de funcións|espazos de función]] xogan un papel importante.

== Tipos especiais de orde ==
Moitas das estruturas que se estudan na teoría da orde empregan relacións de orde con outras propiedades. De feito, incluso algunhas relacións que non son ordes parciais teñen especial interese. Hai que mencionar principalmente o concepto de [[preorde]]. Unha preorde é unha relación que é reflexiva e transitiva, mais non necesariamente antisimétrica. Cada preorde induce unha [[relación de equivalencia]] entre elementos, onde ''a'' é equivalente a ''b'', se ''a'' ≤ ''b'' e ''b'' ≤ ''a''. As preordes  pódense converter en ordes identificando todos os elementos que son equivalentes relativos a esta relación.

Pódense definir varios tipos de ordes a partir de datos numéricos sobre os elementos da orde: unha [[orde total]] resulta de unir distintos números reais a cada elemento e empregar as comparacións numéricas para ordenar os elementos; no seu lugar, se se permite que distintos elementos teñan valoracións numéricas iguais, obtense unha [[Ordenación débil e estrita|ordenación débil estrita]]. Esixir que dúas valoracións estean separadas por un limiar fixo antes de poder comparalas leva ao concepto de [[semiorde]], mentres que permitir que o limiar varíe por elemento produce unha [[Orde de intervalos|orde por intervalos]].

Unha propiedade adicional simple e útil leva á chamada relación '''ben fundada''', na que todos os subconxuntos non baleiros teñen un elemento minimal. Xeneralizando unha '''boa orde''' pasando de orde linear a orde parcial, temos que un conxunto está '''[[Boa orde parcial|parcialmente ben ordenado]]''' se todos os seus subconxuntos non baleiros teñen un número finito de elementos minimais.

Moitos outros tipos de orde xorden cando se garante a existencia de [[Ínfimo e supremo|ínfimo]] e [[Ínfimo e supremo|supremo]] de determinados conxuntos. Centrándose neste aspecto, xeralmente denominado [[Completitude (teoría da orde)|completitude]] de orde, obtense:

* [[Posets limitados]], é dicir, posets cun elemento [[Elemento maior e menor|menor]] e [[Elemento maior e menor|maior]] (que son exactamente o supremo e o ínfimo do [[Subconxunto|subconxunto baleiro]]),
* [[Retícula|Retículas]] nas que todo conxunto finito non baleiro ten un supremo e un ínfimo,
* Retículas completas, onde cada conxunto ten un [[ínfimo e supremo]], 
* [[Orde parcial completa dirixida|Ordes parciais completas dirixidas]] (dcpos), que garanten a existencia de supremo de todos os  [[Set dirixido|subconxuntos dirixidos]] e que se estudan na [[Teoría do dominio|teoría de dominios]].
* As ordes parciais con complementos, ou ''conxuntos poc'', <ref>{{Cita libro|first=Martin A.|last=Roller|title=Poc sets, median algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem|date=1998|publisher=Southampton Preprint Archive|url=http://www.personal.soton.ac.uk/gan/Roller.pdf|access-date=2015-01-18|data-arquivo=04 de marzo de 2016|url-arquivo=https://web.archive.org/web/20160304051111/http://www.personal.soton.ac.uk/gan/Roller.pdf|url-morta=yes}}</ref> son posets cun único elemento inferior 0, así como unha involución inversa de orde <math>*</math> tal que <math>a \leq a^{*} \implies a = 0.</math>

No entanto, pódese ir aínda máis lonxe: se existen todos os ínfimos finitos non baleiros, entón ∧ pódese ver como unha operación binaria total no sentido da [[álxebra universal]]. Polo tanto, nunha retícula, están dispoñibles dúas operacións ∧ e ∨, e pódense definir novas propiedades dando identidades, como

: ''x''&nbsp;∧&nbsp;( ''y''&nbsp;∨&nbsp;''z'' )&nbsp;=&nbsp;( ''x''&nbsp;∧&nbsp;''e'' )&nbsp;∨&nbsp;( ''x''&nbsp;∧&nbsp;''z'' ), para tódolos ''x'', ''y'' e ''z''.

Esta condición chámase '''distributividade''' e dá lugar a [[Retícula distributiva|retículas distributivas]]. Hai algunhas outras leis importantes de distributividade que se comentan no artigo sobre a [[distributividade na teoría da orde]]. Algunhas estruturas de orde adicionais que adoitan especificarse mediante operacións alxébricas e definir identidades son

* [[Álxebra de Heyting|Álxebras de Heyting]] e
* [[Álxebra de Boole|Álxebras de Boole]],

onde ambas as dúas introducen unha nova operación ~ chamada '''negación'''. Ambas as dúas estruturas xogan un papel na [[lóxica matemática]] e especialmente as álxebras de Boole teñen importantes aplicacións en [[Ciencias da computación|informática]]. Finalmente, varias estruturas en matemáticas combinan orde con operacións aínda máis alxébricas, como no caso dos [[Cuántico|cuánticos]], que permiten definir unha operación de suma.

Un poset é '''localmente finito''' se cada [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] pechado [''a'', ''b''] nel é finito. Os posets localmente finitos dan lugar a álxebras de incidencia que á súa vez poden usarse para definir a [[característica de Euler]] dos posets finitos.

== Subconxuntos de conxuntos ordenados ==
Nun conxunto ordenado, pódense definir moitos tipos de subconxuntos especiais en función da orde dada. Un exemplo sinxelo son '''os conxuntos superiores'''; é dicir, conxuntos que conteñen todos os elementos que están por riba deles na orde. Formalmente, o '''pechamento superior''' dun conxunto ''S'' nun poset ''P'' vén dado polo conxunto {''x'' en ''P'' | hai algún ''y'' en ''S'' con ''y'' ≤ ''x''}. Un conxunto que é igual ao seu pechamento superior chámase conxunto superior. '''Os conxuntos inferiores''' defínense dualmente.

Subconxuntos inferiores máis complicados son os  [[Ideal (teoría da orde)|ideais]] , que teñen a propiedade adicional de que cada dous dos seus elementos teñen un elemento maiorante dentro do ideal. O seu dual ven dado por [[Filtro (matemáticas)|filtros]]. Un concepto relacionado é o dun [[conxunto dirixido]], que como un ideal contén elementos maiorantes de subconxuntos finitos, mais non ten que ser un conxunto inferior. A maiores, adoita xeneralizarse a conxuntos preordenados.

Un subconxunto que está ordenado linerlmente, chámase [[Orde_total#cadeas|cadea]]. A noción oposta, a [[anticadea]], é un subconxunto que non contén dous elementos comparables; é dicir, que é unha orde discreta.

== Áreas matemáticas relacionadas ==

=== Álxebra universal ===
Un exemplo é a correspondencia entre as [[Álxebra de Boole|álxebras de Boole]] e os [[Anel booleano|aneis booleanos]]. Outras cuestións están relacionadas coa existencia de [[Obxecto libre|construcións libres]], como as [[Retícula libre|retículas libres]] baseadas nun determinado conxunto de xeradores. Ademais, os operadores de pechamento son importantes no estudo da álxebra universal.

=== Topoloxía ===
En [[topoloxía]], as ordes xogan un papel moi destacado. De feito, a colección de [[Conxunto aberto|conxuntos abertos]] proporciona un exemplo clásico dunha retícula completa, máis precisamente unha [[álxebra de Heyting]] completa (ou '''marco'''). Os [[Filtro (matemáticas)|filtros]] e as [[Rede (matemáticas)|redes]] son nocións moi relacionadas coa teoría da orde e o [[Conxunto pechado|operador de pechamento de conxuntos]] pódese usar para definir unha topoloxía. 

Como contrapartida, na teoría da orde, adoita facer uso de resultados topolóxicos. Existen varias formas de definir subconxuntos dunha orde que se poden considerar como conxuntos abertos dunha topoloxía. Considerando topoloxías nun poset (''X'', ≤) que á súa vez inducen ≤ como a súa orde de especialización, a topoloxía [[Comparación de topoloxías|máis fina]] é a [[topoloxía de Alexandrov]], que se dá tomando todos os conxuntos superiores como abertos. Pola contra, a topoloxía [[Comparación de topoloxías|máis grosa]] que induce a orde de especialización é a [[topoloxía superior]], tendo os complementos dos [[Ideal (teoría da orde)|ideais principais]] (é dicir, conxuntos da forma {''y'' en ''X'' | ''y'' ≤ ''x''} para algúns ''x'') como [[subbase]]. Ademais, unha topoloxía con orde de especialización ≤ pode ser consistente na orde, o que significa que os seus conxuntos abertos son "inaccesibles por supremos dirixidos" (en relación a ≤). A topoloxía coherente de orde máis fina é a [[topoloxía de Scott]], que é máis grosa que a topoloxía Alexandrov. Unha terceira topoloxía importante neste senso é a [[topoloxía de Lawson]]. Existen conexións estreitas entre estas topoloxías e os conceptos da teoría da orde. Por exemplo, unha función conserva o supremo dirixido só se é unha función [[Función continua|continua]] con respecto á topoloxía de Scott (por este motivo esta propiedade teórica da orde tamén se chama continuidade de Scott).

=== Teoría de categorías ===
A visualización dunha orde con [[Diagrama de Hasse|diagramas de Hasse]] pode mostrarse coma un grafo. Deste xeito, cada orde é vista como equivalente a un grafo acíclico dirixido, onde os nós son os elementos do poset e hai un camiño dirixido de ''a'' a ''b'' se e só se ''a'' ≤ ''b''. Eliminando o requisito de ser acíclico, tamén se poden obter todos as preordes.

Cando están equipados con todas as arestas transitivas, estes grafos á súa vez son só [[Teoría das categorías|categorías]] especiais, onde os elementos son obxectos e cada conxunto de morfismos entre dous elementos é como máximo un singleton. As funcións entre ordes convértense en functores entre categorías. Moitas ideas da teoría da orde son só conceptos da teoría de categorías en pequeno. Por exemplo, un ínfimo é só un produto categórico. De forma máis xeral, pódese recoller a noción de ínfimo e supremo baixo a noción abstracta dun [[Límite (teoría da categoría)|límite categórico]] (ou ''colímite'', respectivamente). Outro lugar onde se producen ideas categóricas é o concepto de [[conexión de Galois]] (monótona), que é o mesmo que un par de [[Functor adxunto|functores adxuntos]].

Esta liña de investigación leva a varios ''[[Teorema da representación|teoremas de representación]]'', a miúdo recollidos baixo a etiqueta de dualidade de Stone.

== Notas ==
{{Listaref}} 
== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===

* {{cita libro|first=Garrett|last=Birkhoff|author-link=Garrett Birkhoff|title=Lattice Theory|volume=25|publisher=American Mathematical Society|edition=3rd Revised|year=1940|isbn=978-0-8218-1025-5}}
* {{cita libro|first1=S. N.|last1=Burris|first2=H. P.|last2=Sankappanavar|year=1981|url=https://archive.org/details/courseinuniversa00stan|title=A Course in Universal Algebra|publisher=Springer|isbn=978-0-387-90578-5}}
* {{cita libro|first1=B. A.|last1=Davey|first2=H. A.|last2=Priestley|year=2002|author2-link=Hilary Priestley| title = Introduction to Lattices and Order|title-link= Introduction to Lattices and Order |edition=2nd|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-78451-4}}
* {{cita libro|first1=G.|last1=Gierz|first2=K. H.|last2=Hofmann|first3=K.|last3=Keimel|first4=M.|last4=Mislove|first5=D. S.|last5=Scott|year=2003|title=Continuous Lattices and Domains|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-80338-0|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|volume=93|url=https://archive.org/details/continuouslattic0000unse}}

=== Outros artigos ===
* [[Relación binaria]].
* [[Teoría de conxuntos]].
* [[Álxebra de Boole]].

=== Ligazóns externas ===
* [http://www.apronus.com/provenmath/orders.htm Orders at ProvenMath] partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.
* Nagel, Felix (2013). [http://www.felixnagel.org Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis]
{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría da orde| ]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]