Ver o código fonte de «Táboa de Cayley»

[[Ficheiro:Cayley table Group C5 RK01.svg|miniatura|225px|Táboa de Cayley con cores do grupo C5 (enteiros módulo 5 baixo adición)]]
Nomeado así polo [[Matemático, matemática|matemático]] [[Reino Unido|británico]] do século XIX [[Arthur Cayley]], unha '''táboa de Cayley''' describe a estrutura dun [[grupo finito]] organizando todos os produtos posíbeis de todos os elementos do grupo nunha táboa cadrada que lembra unha táboa [[Suma|de suma]] ou [[Táboa de multiplicar|multiplicación]]. Moitas propiedades dun grupo, como se é [[Grupo abeliano|abeliano]] ou non, que elementos son [[Elemento inverso|inversos]] a que elementos e o tamaño e contido do [[Centro (teoría de grupos)|centro]] do grupo, pódense descubrir na súa táboa de Cayley.

Un exemplo sinxelo dunha táboa de Cayley é o do grupo {1, -1} baixo [[Multiplicación|a multiplicación]] ordinaria:
{| align="center" border="2" cellpadding="5" style="text-align:center;"
! style="background:#efefef;" |×
! style="background:#efefef;" | 1
! style="background:#efefef;" | &#x2212; 1
|-
! style="background:#efefef;" | 1
| 1
| &#x2212; 1
|-
! style="background:#efefef;" | &#x2212; 1
| &#x2212; 1
| 1
|}

== Historia ==
As táboas de Cayley presentáronse por primeira vez no artigo de Cayley de 1854, "On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation ''θ''<sup>''n''</sup> = 1". Nese documento facíanse referencia simplemente como táboas e eran soamente ilustrativos, máis tarde pasaron a coñecerse como táboas de Cayley, en homenaxe ao seu creador.

== Estrutura e disposición ==
Dado que moitas táboas de Cayley describen grupos que non son [[Grupo abeliano|abelianos]], non se garante que o produto ''ab'' en relación á [[operación binaria]] do grupo sexa igual ao produto ''ba'' para todos os ''a'' e ''b'' do grupo. Para evitar confusións, a convención é que o factor que etiqueta a fila (denominado ''factor máis próximo'' por Cayley) é o primeiro, e que o factor que etiqueta a columna (ou ''factor''  mais lonxe) é o segundo. Por exemplo, a intersección da fila ''a'' e da columna ''b'' é ''ab'' e non ''ba'', como podemos ver no seguinte exemplo:
{| align="center" border="2" cellpadding="5" style="text-align: center;"
! style="background:#efefef;" |*
! style="background:#efefef;" | a
! style="background:#efefef;" | b
! style="background:#efefef;" | c
|-
! style="background:#efefef;" | a
| a <sup>2</sup>
| ab
| ac
|-
! style="background:#efefef;" | b
| ba
| b <sup>2</sup>
| bc
|-
! style="background:#efefef;" | c
| ca
| cb
| c <sup>2</sup>
|}

== Propiedades e usos ==

=== Conmutatividade ===
A táboa de Cayley indícanos se un grupo é [[Grupo abeliano|abeliano]]. Como a operación de grupo dun grupo abeliano é [[Conmutatividade|conmutativa]], un grupo é abeliano [[se e só se]] os valores da súa táboa de Cayley son [[Simetría|simétricos]] ao longo do seu eixo diagonal. O grupo {1, -1} anterior e o grupo cíclico de orde 3 baixo a multiplicación ordinaria son ambos os dou exemplos de grupos abelianos, e a inspección da simetría das súas táboas de Cayley verifícao. Pola contra, o grupo non abeliano máis pequeno, o [[grupo diédrico de orde 6]], non ten unha táboa de Cayley simétrica.

=== Asociatividade ===
Debido a que a [[Asociatividade (álxebra)|asociatividade]] tómase como un axioma cando se trata de grupos, a miúdo dáse por feito cando se trata de táboas de Cayley. No entanto, as táboas de Cayley tamén se poden usar para caracterizar a operación dun [[cuasigrupo]], que non asume a asociatividade como un axioma (de feito, as táboas de Cayley pódense usar para caracterizar a operación de calquera [[Magma (álxebra)|magma]] finito). Desafortunadamente, xeralmente non é posíbel determinar se unha operación é asociativa ou non simplemente mirando a súa táboa de Cayley, como ocorre coa conmutatividade. Isto é porque a asociatividade depende dunha ecuación de 3 termos, <math>(ab)c=a(bc)</math>, mentres que a táboa de Cayley mostra produtos de 2 termos.

=== Permutacións ===
Debido a que a [[propiedade de cancelación]] cúmprese para grupos (e mesmo para cuasigrupos), ningunha fila ou columna dunha táboa de Cayley pode conter o mesmo elemento dúas veces. Así, cada fila e columna da táboa é unha [[permutación]] de todos os elementos do grupo. Isto restrinxe moito  as táboas de Cayley que poderían definir unha operación de grupo válida.

A táboa de Cayley dun grupo é un exemplo de [[cadrado latino]]. Unha proba alternativa e máis sucinta dedúcese da propiedade de cancelación. Esta propiedade implica que para cada x do grupo, a función dunha variábel de y, f(x,y)= xy debe ser un [[Mapa (matemáticas)|mapa]] [[Función inxectiva|un a un]]. O resultado é resultado do feito de que os mapas un a un en conxuntos finitos son permutacións.

== Xeración de matriz de permutación ==
A forma estándar dunha táboa de Cayley ten a orde dos elementos das filas igual que a das columnas. Outra forma é organizar os elementos das columnas de xeito que a ''n''-ésima columna corresponda á inversa do elemento da ''n''-ésima fila. No noso exemplo de ''D''<sub>3</sub>, só necesitamos mudar as dúas últimas columnas, xa que ''f'' e ''d'' son os únicos elementos que non son inversos propios, senón inversos entre si.
{| align="center" border="2" cellpadding="5"
! style="background:#efefef;" |
! style="background:#efefef;" |<big>e</big>
! style="background:#efefef;" | <big>a</big>
! style="background:#efefef;" | <big>b</big>
! style="background:#efefef;" | <big>c</big>
! style="background:#efefef;" | <big>f=d <sup>−1</sup></big>
! style="background:#efefef;" | <big>d=f <sup>−1</sup></big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>e</big>
| <big>e</big>
| <big>a</big>
| <big>b</big>
| <big>c</big>
| <big>f</big>
| <big>d</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>a</big>
| <big>a</big>
| <big>e</big>
| <big>d</big>
| <big>f</big>
| <big>c</big>
| <big>b</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>b</big>
| <big>b</big>
| <big>f</big>
| <big>e</big>
| <big>d</big>
| <big>a</big>
| <big>c</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>c</big>
| <big>c</big>
| <big>d</big>
| <big>f</big>
| <big>e</big>
| <big>b</big>
| <big>a</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>d</big>
| <big>d</big>
| <big>c</big>
| <big>a</big>
| <big>b</big>
| <big>e</big>
| <big>f</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>f</big>
| <big>f</big>
| <big>b</big>
| <big>c</big>
| <big>a</big>
| <big>d</big>
| <big>e</big>
|}
Este exemplo en particular permítenos crear seis [[Matriz de permutación|matrices de permutación]] (matriz con todos os elementos 1 ou 0, onde só hai un 1 en cada fila e columna). A matriz de 6x6 que representa un elemento terá un 1 en cada posición que teña a letra do elemento na táboa de Cayley e un cero en todas as outras posicións, isto é unha representación da función [[delta de Kronecker]] para ese símbolo. (Nótese que o elemento identidade ''e'' está en todas as posicións da diagonal principal, o que nos dá a matriz de identidade para matrices 6x6 neste caso, como sería de esperar.) Aquí está a matriz que representa o noso elemento ''a'', por exemplo.
{| align="center" border="2" cellpadding="5"
! style="background:#efefef;" |
! style="background:#efefef;" |<big>e</big>
! style="background:#efefef;" | <big>a</big>
! style="background:#efefef;" | <big>b</big>
! style="background:#efefef;" | <big>c</big>
! style="background:#efefef;" | <big>f</big>
! style="background:#efefef;" | <big>d</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>e</big>
| <big>0</big>
| <big>1</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>a</big>
| <big>1</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>b</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>1</big>
| <big>0</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>c</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>1</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>d</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>1</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
|-
! style="background:#efefef;" | <big>f</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
| <big>1</big>
| <big>0</big>
| <big>0</big>
|}
Isto móstranos directamente que calquera grupo de orde ''n'' é un subgrupo do [[Grupo de permutacións|grupo de permutación]] ''S''<sub>''n''</sub>, que ten orde ''n''!.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* [[Arthur Cayley|Cayley, Arthur]]. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ''θ''<sup>''n''</sup> = 1", ''Philosophical Magazine'', Vol. 7 (1854), pp.&nbsp;40&ndash;47.  [https://books.google.com/books?id=aJsllJyUPs0C&pg=PA123 Available on-line at Google Books as part of his collected works.]
* [[Arthur Cayley|Cayley, Arthur]]. "On the Theory of Groups", ''[[American Journal of Mathematics]]'', Vol. 11, No. 2 (Jan 1889), pp.&nbsp;139&ndash;157. [https://www.jstor.org/stable/2369415 Available at JSTOR.]

=== Outros artigos ===
* [[Automorfismo]].



{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra abstracta]]