Ver o código fonte de «Sistema de veciñanzas»

En [[topoloxía]] e outras áreas relacionadas das [[matemáticas]], o '''sistema de veciñanzas''', '''ou sistema completo de veciñanzas''' <ref>{{cita libro|last=Mendelson|first=Bert|date=1990 |orig-year=1975|title=Introduction to Topology|url=https://archive.org/details/introductiontoto0000mend|edition=Third|publisher=Dover|isbn=0-486-66352-3|page=[https://archive.org/details/introductiontoto0000mend/page/n54 41]}}</ref> ou '''filtro de veciñanzas'''  <math>\mathcal{N}(x)</math> por un punto <math>x</math> nun [[espazo topolóxico]] é a colección de tódalas [[Veciñanza (matemáticas)|veciñanzas]] de <math>x.</math>

== Definicións ==
'''Veciñanza dun punto ou conxunto'''

Unha {{em|{{visible anchor|veciñanza aberta}}}} dun punto (ou [[subconxunto]]) <math>x</math> nun espazo topolóxico <math>X</math> é calquera [[Conxunto aberto|subconxunto aberto]] <math>U</math> de <math>X</math> que contén <math>x.</math>
Unha {{em|{{visible anchor|veciñanza}} de <math>x</math> en <math>X</math>}} é calquera subconxunto <math>N \subseteq X</math> que conteña {{em|algunha}} veciñanza aberta de <math>x</math>;
explicitamente, <math>N</math> é unha veciñanza de <math>x</math> en <math>X</math> [[se e só se]] existe algún subconxunto aberto <math>U</math> con <math>x \in U \subseteq N</math>.{{sfn|Bourbaki|1989|pp=17-21}}{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}
De forma equivalente, unha veciñanza de <math>x</math> é calquera conxunto que conteña <math>x</math> no seu [[interior (topoloxía)|interior topolóxico]].

'''Filtro de veciñanzas'''

O sistema de veciñanzas para un punto (ou subconxunto [[Conxunto baleiro|non baleiro]]) <math>x</math> é un [[Filtro (teoría de conxuntos)|filtro]] chamado {{Em|[[filtro de veciñanzas]] para <math>x.</math>}} O filtro de veciñanzas para un punto <math>x \in X</math> é o mesmo que o filtro de veciñanzas do [[conxunto unitario]] <math>\{x\}.</math>

=== Base de veciñanzas ===
Unha {{em|{{visible anchor|base de veciñanzas}} }} ou {{em|{{visible anchor|base local}} }}  para un punto <math>x</math> é un filtro base do filtro de veciñanzas; isto significa que é un subconxunto
<math display=block>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)</math>
tal que para todo <math>V \in \mathcal{N}(x),</math> existe algunha <math>B \in \mathcal{B}</math> tal que <math>B \subseteq V .</math>{{sfn|Willard|2004|pp=31-37}}
É dicir, para calquera veciñanza <math>V</math> podemos atopar unha veciñanza <math>B</math> na base de veciñanzas que está contida en <math>V</math>.

De forma equivalente, <math>\mathcal{B}</math> é unha base local en <math>x</math> se e só se o filtro de veciñanzas <math>\mathcal{N}</math> pode ser recuperado de <math>\mathcal{B}</math> no sentido de que se cumpre a seguinte igualdade:<ref>{{Cita libro|title=General Topology |url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0|access-date=registration|ISBN=9780201087079}} (Ver capítulo 2, sección 4)</ref> <math display="block">\mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ para algún } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.</math>Unha familia <math>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)</math> é unha base de veciñanzas para <math>x</math> se e só se <math>\mathcal{B}</math> é un [[subconxunto cofinal]] de <math>\left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right)</math> respecto da [[Conxunto parcialmente ordenado|orde parcial]] <math>\supseteq</math> (importante, esta orde parcial é a relación de [[Subconxunto|superconxunto]] e non a relación [[Subconxunto|de subconxunto]]).

=== Subbase de veciñanzas ===
Unha {{em|{{visible anchor|subbase de veciñanzas}}}} en <math>x</math> é unha familia <math>\mathcal{S}</math> de subconxuntos de <math>X,</math> onde cada un deles contén <math>x,</math> de xeito que a colección de todos as [[Intersección (conxuntos)|interseccións]] de elementos de <math>\mathcal{S}</math> forma unha base de veciñanzas en <math>x.</math>

== Exemplos ==
Se <math>\R</math> ten a súa [[topoloxía euclidiana]] habitual entón as veciñanzas de <math>0</math> son todos eses subconxuntos <math>N \subseteq \R</math> para o que existe algún [[número real]] <math>r > 0</math> tal que <math>(-r, r) \subseteq N.</math> Por exemplo, todos os seguintes conxuntos son veciñanzas  de <math>0</math> en <math>\R</math> : <math display="block">(-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \Q, \; \R</math> pero ningún dos seguintes conxuntos son veciñanzas de <math>0</math>: <math display="block">\{0\}, \; \Q, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \Q, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}</math> onde <math>\Q</math> denota os [[Número racional|números racionais]].

Se <math>U</math> é un subconxunto aberto dun [[espazo topolóxico]] <math>X</math>, entón para cada <math>u \in U,</math> <math>U</math> é unha veciñanza de <math>u</math> en <math>X.</math> De xeito máis xeral, se <math>N \subseteq X</math> é calquera conxunto e <math>\operatorname{int}_X N</math> denota o [[Interior (topoloxía)|interior topolóxico]] de <math>N</math> en <math>X,</math> entón <math>N</math> é unha veciñanza (en <math>X</math>) de cada punto <math>x \in \operatorname{int}_X N</math> e a maiores <math>N</math> {{Em|non}} é unha veciñanza de ningún outro punto. Dito doutro xeito, <math>N</math> é unha veciñanza dun punto <math>x \in X</math> se e só se <math>x \in \operatorname{int}_X N.</math>

'''Bases de veciñanzas'''

En calquera espazo topolóxico, o sistema de veciñanzas para un punto tamén é unha base de veciñanzas para o punto. O conxunto de todas as veciñanzas abertas nun punto forma unha base de veciñanzas nese punto. Para calquera punto <math>x</math> nun [[espazo métrico]], a secuencia de [[Bóla (matemáticas)|bólas abertas]] ao redor de <math>x</math> con raio <math>1/n</math> forma unha base de veciñanzas [[Conxunto numerable|numerábel]] <math>\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}</math> . Isto significa que todo espazo métrico é [[Primeiro axioma de numerabilidade|primeiro numerábel]].

Dado un espazo <math>X</math> coa [[topoloxía non discreta]] o sistema de veciñanzas para calquera punto <math>x</math> só contén todo o espazo, <math>\mathcal{N}(x) = \{X\}</math>.

Na [[topoloxía débil]] sobre o espazo de medidas sobre un espazo <math>E,</math> unha base de veciñanzas sobre <math>\nu</math> está dada por <math display="block">\left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| < r_i, \, i = 1,\dots,n\right\}</math>onde as <math>f_i</math> son funcións limitadas [[Función continua|continuas]] de <math>E</math> aos números reais e <math>r_1, \dots, r_n</math> son números reais positivos.

'''Espazos seminormados e grupos topolóxicos'''

Nun [[espazo seminormado]], é dicir, un [[espazo vectorial]] coa [[Espazo topolóxico|topoloxía]] inducida por un [[seminorma]], todos os sistemas de veciñanzas poden construírse mediante a [[Translación (xeometría)|translación]] do sistema de veciñanzas da orixe, <math display="block">\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.</math>

Isto débese a que, por suposto, a adición de vectores é separadamente continua  na topoloxía inducida. Polo tanto, a topoloxía está determinada polo seu sistema de veciñanzas na orixe. De forma máis xeral, isto segue a ser certo sempre que o espazo sexa un [[grupo topolóxico]] ou a topoloxía estea definida por unha [[Espazo pseudométrico|pseudométrica]].

== Propiedades ==
Supoñamos que <math>u \in U \subseteq X</math> e sexa <math>\mathcal{N}</math> unha base de veciñanzas para <math>u</math> en <math>X.</math> Facemos <math>\mathcal{N}</math> un [[conxunto dirixido]] [[Conxunto parcialmente ordenado|ordenándoo parcialmente]] por inclusión de superconxuntos <math>\,\supseteq.</math> Entón <math>U</math> {{Em|non}} é unha veciñanza de <math>u</math> en <math>X</math> se e só se existe unha rede <math>\mathcal{N}</math>-indexada <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}}</math> en <math>X \setminus U</math> tal que <math>x_N \in N \setminus U</math> para todo <math>N \in \mathcal{N}</math> (o que implica que <math>\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} \to u</math> en <math>X</math>).

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4}} <!-- {{sfn|Bourbaki|1989|p=}} -->
* {{Dixmier General Topology}} <!-- {{sfn|Dixmier|1984|p=}} -->
* {{Willard General Topology}} <!-- {{sfn|Willard|2004|p=}} -->
=== Outros artigos ===
* {{annotated link|Base (topoloxía)}}
* {{annotated link|Filtro (teoría de conxuntos)}}
* {{annotated link|Espazo vectorial topolóxico localmente convexo}}
* {{annotated link|Veciñanza (matemáticas)}}
* {{annotated link|Subbase}}
* {{annotated link|Veciñanza tubular}}


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Topoloxía]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]