Ver o código fonte de «Serie formal de potencias»

En [[matemáticas]], unha '''serie formal'''  é unha suma infinita que se considera independentemente de calquera noción de [[Serie converxente|converxencia]], e que se pode manipular coas operacións alxébricas habituais sobre [[Serie (matemáticas)|series]] (suma, resta, multiplicación, división, [[Serie (matemáticas)|sumas parciais]], etc.).

Unha '''serie formal de potencias'''  é un tipo especial de serie formal, da forma

: <math>\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+ a_2x^2+\cdots,</math>

onde os <math>a_n,</math> chamados ''coeficientes'', son números ou, de xeito máis xeral, elementos dalgún [[Anel (álxebra)|anel]], e os <math>x^n</math> son potencias formais do símbolo <math>x</math> que é a [[variábel]]. Polo tanto, as series de potencias poden verse como unha xeneralización de [[Polinomio|polinomios]] onde se permite que o número de termos sexa infinito e difiren das [[Serie de potencias|series de potencias]] habituais pola ausencia de requisitos de converxencia, o que implica que unha serie de potencias pode non representar unha función da súa variábel. As series de potencias formais están en [[Función bixectiva|correspondencia un a un]] coas súas [[Sucesión (matemáticas)|secuencias]] de coeficientes, mais non se deben confundir os dous conceptos, xa que as operacións que se poden aplicar son diferentes.

Unha serie formal de potencias con coeficientes nun anel <math>R</math> chámase unha serie formal de potencias en <math>R.</math> As series formais de potencias sobre un anel <math>R</math> forman un anel, comunmente denotado por <math>R[[x]].</math> (Pódese ver como o [[Topoloxía I-ádica#Completamento|completamento {{Math|(''x'')}}-ádico ]] do [[anel polinómico]] <math>R[x],</math> do mesmo xeito que os [[Número p-ádico|enteiros {{Mvar|p}}-ádicos]] son o completamento {{Mvar|p}}-ádico do anel dos enteiros.)

As series formais de potencias son amplamente utilizadas en [[combinatoria]] para representar secuencias de enteiros como [[Función xeradora|funcións xeradoras]]. Neste contexto, unha [[relación de recorrencia]] entre os elementos dunha secuencia pode interpretarse a miúdo como unha [[ecuación diferencial]] que satisfai a función xeradora. Isto permite utilizar métodos de [[análise complexa]] para problemas combinatorios (ver [[combinatoria analítica]]).

== Introdución ==
Unha serie formal de potencias pode ser pensada como un obxecto que é como un [[polinomio]], mais con infinitos termos. Alternativamente, para aqueles familiarizados coas [[Serie de potencias|series de potencias]] (ou [[Serie de Taylor|series de Taylor]]), pódese pensar  como unha serie de potencias na que ignoramos as cuestións de converxencia ao non asumir que a variable ''X'' denota ningún valor numérico (nin sequera un valor descoñecido). Por exemplo, considere a serie

: <math>A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.</math>

Se estudásemos isto como unha serie de potencias, as súas propiedades incluirían, por exemplo, que o seu [[raio de converxencia]] é 1 polo [[teorema de Cauchy-Hadamard]]. Non entanto, como unha serie formal de potencias, podemos ignoralo completamente; o único que é relevante é a secuencia de [[Coeficiente|coeficientes]] [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Noutras palabras, unha serie formal de potencias é un obxecto que só rexistra unha secuencia de coeficientes. É perfectamente aceptábel considerar unha serie formal de potencias cos [[Factorial|factoriais]] [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] como coeficientes, aínda que a serie de potencias correspondente diverxa para calquera valor de X distinto de cero.

A álxebra sobre series de potencias formais realízase simplemente como se as series fosen polinomios. Por exemplo, se

: <math>B = 2X + 4X^3 + 6X^5 + \cdots,</math>

entón sumamos ''A'' e ''B'' termo por termo:

: <math>A + B = 1 - X + 5X^2 - 3X^3 + 9X^4 - 5X^5 + \cdots.</math>

Podemos multiplicar series de potencias formais, de novo só tratándoas como polinomios (ver en particular [[Produto de Cauchy|o produto de Cauchy]] ou [[convolución]]): 

: <math>AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + \cdots.</math>

Observe que cada coeficiente do produto ''AB'' só depende dun número ''finito'' de coeficientes de ''A'' e ''B'' . Por exemplo, o termo ''X''<sup>5</sup> vén dado por

: <math>44X^5 = (1\times 6X^5) + (5X^2 \times 4X^3) + (9X^4 \times 2X).</math>

Por esta razón, pódense multiplicar as series formais de potencias sen preocuparse polas cuestións habituais de converxencia absoluta, condicional e uniforme que xorden ao tratar as series de potencias no contexto da [[Análise matemática|análise]].

Unha vez que definimos a multiplicación para as series formais de potencias, podemos definir inversas multiplicativas do seguinte xeito. A inversa multiplicativa dunha serie formal de potencias ''A'' é unha serie formal de potencias ''C'' tal que ''AC'' = 1, sempre que exista tal serie formal de potencias. Resulta que se ''A'' ten un inverso multiplicativo, é único, e denotámolo por ''A''<sup>−1</sup> . Agora podemos definir a división de series de potencias formais definindo que ''B''/''A'' é o produto ''BA'' <sup>−1</sup>, sempre que exista a inversa de ''A.'' Por exemplo, pódese usar a definición de multiplicación anterior para verificar a fórmula familiar

: <math>\frac{1}{1 + X} = 1 - X + X^2 - X^3 + X^4 - X^5 + \cdots.</math>

Unha operación importante nas series formais de potencias é a de obter determinado coeficiente. Na súa forma máis básica, o operador de extracción de coeficientes <math>[X^n]</math> aplicado a unha serie de potencias formal <math>A</math> nunha variábel obtén o coeficiente da <math>n</math>-ésima potencia da variábel, de xeito que <math>[X^2]A=5</math> e <math>[X^5]A=-11</math> . Outros exemplos inclúen

: <math>\begin{align}
\left[X^3\right] (B) &= 4, \\ 
\left[X^2 \right] (X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) &= 3Y^3, \\
\left[X^2Y^3 \right] ( X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) &= 3, \\
\left[X^n \right] \left(\frac{1}{1+X} \right) &= (-1)^n, \\ 
\left[X^n \right] \left(\frac{X}{(1-X)^2} \right) &= n.
\end{align}</math>

Do mesmo xeito, moitas outras operacións que se realizan en polinomios pódense estender ás series formais de potencias, como se explica a continuación.

== O anel da serie formal de potencias ==
Se se considera o conxunto de todas as series formais de potenciasen ''X'' con coeficientes nun [[anel conmutativo]] ''R'', os elementos deste conxunto constitúen colectivamente outro anel que se escribe <math>R[[X]],</math> denominado  '''anel das series formais de potencias''' na variábel&nbsp;''X'' sobre ''R.''

=== Definición do anel das series formais de potencias ===
Pódese caracterizar <math>R[[X]]</math> abstractamente como o completamento do anel [[Polinomio|polinómico]] <math>R[X]</math> equipado cunha [[Espazo métrico|métrica]] particular. Isto dá automaticamente a <math>R[[X]]</math> a estrutura dun [[anel topolóxico]] (e mesmo dun espazo métrico completo). É posíbel describir <math>R[[X]]</math> de forma máis explícita, e definir a estrutura do anel e a estrutura topolóxica por separado, como segue.

==== Estrutura do anel ====
Como conxunto, <math>R[[X]]</math> pódese construír como un conxunto <math>R^\N</math> de todas as secuencias infinitas de elementos de <math>R</math>, indexado polos [[Número natural|números naturais]] (incluíndo o índice 0). Designando unha secuencia cuxo termo no índice <math>n</math> é <math>a_n</math> por <math>(a_n)</math>, defínese a suma de dúas secuencias deste tipo por

: <math>(a_n)_{n\in\N} + (b_n)_{n\in\N} = \left( a_n + b_n \right)_{n\in\N}</math>

e a multiplicación por

: <math>(a_n)_{n\in\N} \times (b_n)_{n\in\N} = \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)_{\!n\in\N}.</math>

Este tipo de produto chámase [[produto de Cauchy]] das dúas secuencias de coeficientes e é unha especie de [[Convolución#convolución discreta|convolución]] discreta. Con estas operacións, <math>R^\N</math> convértese nun anel conmutativo con elemento cero <math>(0,0,0,\ldots)</math> e identidade multiplicativa <math>(1,0,0,\ldots)</math> .

É bastante natural e conveniente designar unha secuencia xeral <math>(a_n)_{n\in\N}</math> pola expresión formal <math>\textstyle\sum_{i\in\N}a_i X^i</math>. Esta convención de notación permite a reformulación das definicións anteriores como

: <math>\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right)+\left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_{i\in\N}(a_i+b_i) X^i</math>

e

: <math>\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right) \times \left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_{n\in\N} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) X^n.</math>

==== Estrutura topolóxica ====
Tendo estipulado convencionalmente que{{Bloque numerado|:|<math>(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i,</math>|{{EquationRef|1}}}}interpretaríamos o lado dereito como unha suma infinita ben definida. Para iso, definimos unha noción de converxencia en <math>R^\N</math>  e construímos unha [[topoloxía]]  <math>R^\N</math>. Hai varias formas equivalentes de definir a topoloxía desexada.

* Podemos dar a <math>R^\N</math> a [[Topoloxía produto|topoloxía do produto]], onde a cada copia de <math>R</math> dáselle a [[topoloxía discreta]].
* Podemos dar a <math>R^\N</math> a [[topoloxía I-ádica]], onde <math>I=(X)</math> é o ideal xerado por <math>X</math>, que consta de todas as secuencias cuxo primeiro termo <math>a_0</math> é cero.
* A topoloxía desexada tamén se pode derivar da seguinte [[Espazo métrico|métrica]]. A distancia entre secuencias distintas <math>(a_n), (b_n) \in R^{\N},</math> defínese como <math display="block">d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},</math>onde <math>k</math> é o [[número natural]] máis pequeno tal que <math>a_k\neq b_k</math>; a distancia entre dúas secuencias iguais é por suposto cero.

Informalmente, dúas secuencias <math>(a_n)</math> e <math>(b_n)</math> achéganse cada vez máis se e só se cada vez máis os seus termos coinciden exactamente. Formalmente, a secuencia de [[Serie (matemáticas)|sumas parciais]] dalgunha suma infinita converxe se para cada potencia fixa de <math>X</math> o coeficiente estabilizase: hai un punto máis aló do cal todas as sumas parciais posteriores teñen o mesmo coeficiente.

Esta estrutura topolóxica, xunto coas operacións de anel descritas anteriormente, forman un anel topolóxico. Isto chámase o '''anel das series formais de potencias sobre <math>R</math>''' e  denótase como <math>R[[X]]</math>. A topoloxía ten a propiedade útil de que unha suma infinita converxe se e só se a secuencia dos seus termos converxe a 0, o que só significa que calquera potencia fixa de <math>X</math> ocorre só en finitamente moitos termos.

A estrutura topolóxica permite un uso moito máis flexible das sumas infinitas. Por exemplo, a regra para a multiplicación pódese redifinir simplemente como

: <math>\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right) \times \left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_{i,j\in\N} a_i b_j X^{i+j},</math>

xa que só un número finito de termos da dereita afectan a calquera fixo <math>X^n</math>. Os produtos infinitos tamén se definen pola estrutura topolóxica; pódese ver que un produto infinito converxe se e só se a secuencia dos seus factores converxe a 1 (neste caso o produto é distinto de cero) ou infinitos factores non teñen termo constante (neste caso o produto é cero).

==== Topoloxías alternativas ====
A topoloxía anterior é a [[Comparación de topoloxías|topoloxía máis fina]] para a cal

: <math>\sum_{i=0}^\infty a_i X^i</math>

sempre converxe como suma da serie dormal de potencias designada pola mesma expresión, e moitas veces abonda con darlle un significado a sumas e produtos infinitos, ou a outro tipo de límites que se quere utilizar para designar determinadas series formais de potencias. Non obstante, pode ocorrer ocasionalmente que se queira utilizar unha topoloxía máis grosa, de xeito que certas expresións se fagan converxentes que doutro xeito diverxerían. Isto aplícase en particular cando o anel base <math>R</math> xa ven cunha topoloxía diferente á discreta, por exemplo se tamén é un anel de series formais de potencias.

=== Propiedade universal ===
O anel <math>R[[X]]</math> pode caracterizarse pola seguinte propiedade universal. Se <math>S</math> é unha álxebra asociativa conmutativa <math>R</math>, se <math>I</math> é un ideal de <math>S</math> tal que a topoloxía <math>I</math>-ádica en <math>S</math> é completa, e se <math>x</math> é un elemento de <math>I</math>, entón hai unha ''única'' <math>\Phi: R[[X]]\to S</math> coas seguintes propiedades:

* <math>\Phi</math> é un <math>R</math>-álxebra homomorfismo
* <math>\Phi</math> é continua
* <math>\Phi(X)=x</math>.

== Operacións con series formais de potencias ==
Pódense realizar operacións alxébricas sobre series de potencias para xerar novas series de potencias.<ref name="Zwillinger_2014">{{cita libro |author-first1=Izrail Solomonovich |author-last1=Gradshteyn |author-link1=Izrail Solomonovich Gradshteyn |author-first2=Iosif Moiseevich |author-last2=Ryzhik |author-link2=Iosif Moiseevich Ryzhik |author-first3=Yuri Veniaminovich |author-last3=Geronimus |author-link3 =Yuri Veniaminovich Geronimus |author-first4=Michail Yulyevich |author-last4=Tseytlin |author-link4=Michail Yulyevich Tseytlin |author-first5=Alan |author-last5=Jeffrey |editor1-first=Daniel |editor1-last=Zwillinger |editor2-first=Victor Hugo |editor2-last=Moll |editor-link2=Victor Hugo Moll |translator=Scripta Technica, Inc. |title=Table of Integrals, Series, and Products |publisher=[[Academic Press, Inc.]] |date=2015 |orig-year=October 2014 |edition=8  |isbn=978-0-12-384933-5 |lccn=2014010276 <!-- |url=https://books.google.com/books?id=NjnLAwAAQBAJ |access-date=2016-02-21-->|title-link=Gradshteyn and Ryzhik |chapter=0.313 |page=18}} (Several previous editions as well.)</ref><ref name=formalpowerseries>{{cita publicación periódica | first=Ivan | last=Niven | author-link=Ivan Niven | title=Formal Power Series | journal=[[American Mathematical Monthly]] | volume=76 | issue=8 | date=October 1969 | pages=871–889 | doi=10.1080/00029890.1969.12000359}}</ref>A maiores das operacións de estrutura de anel definidas anteriormente, temos as seguintes.

=== Serie de potencias elevada a potencias ===
Para calquera [[número natural]] {{Math|''n''}}, a {{Mvar|n}} potencia dunha serie formal de potencias {{Mvar|S}} defínese recursivamente por <math display="block">\begin{align}S^1&=S\\
S^n&=S\cdot S^{n-1}\quad\text{for } n>1.\end{align}</math>

Se {{Math|''m''}} e {{Math|''a''<sub>0</sub>}} son invertíbeis no anel de coeficientes, pódese probar<ref>{{cita arXiv |last=Finkel |first=Hal |title=The differential transformation method and Miller's recurrence |date=2010-07-13 |class=math.CA |eprint=1007.2178}}</ref><ref name="Gould">{{Cita publicación periódica |last=Gould |first=H. W. |date=1974 |title=Coefficient Identities for Powers of Taylor and Dirichlet Series |url=https://www.jstor.org/stable/2318904 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=81 |issue=1 |pages=3–14 |doi=10.2307/2318904 |jstor=2318904 |issn=0002-9890}}</ref><ref>{{Cita publicación periódica |last=Zeilberger |first=Doron |year=1995 |title=The J.C.P. miller recurrence for exponentiating a polynomial, and its q-analog. |url=https://doi.org/10.1080/10236199508808006 |journal=Journal of Difference Equations and Applications |volume=1 |issue=1 |pages=57–60 |doi=10.1080/10236199508808006 |via=Taylor & Francis Online}}</ref> <math display="block"> \left( \sum_{k=0}^\infty a_k X^k \right)^{\!n} =\, \sum_{m=0}^\infty c_m X^m,</math> onde <math display="block">\begin{align} 
c_0 &= a_0^n,\\
c_m &= \frac{1}{m a_0} \sum_{k=1}^m (kn - m+k) a_{k} c_{m-k}, \ \ \ m \geq 1.
\end{align}</math>No caso das series formais de potencias con coeficientes complexos, as potencias complexas están ben definidas para as series {{Math|''f''}} con termo constante igual a {{Math|1}}. Neste caso, <math>f^{\alpha}</math> pódese definir ben pola composición coa [[serie binomial]] {{Math|(1+''x'')<sup>''α''</sup>}}, ben pola composición coas series exponencial e logarítmica, <math>f^{\alpha} = \exp(\alpha\log(f)),</math> ou como a solución da ecuación diferencial (en termos de serie) <math> f(f^{\alpha})' = \alpha f^{\alpha} f'</math> con termo constante 1; as tres definicións son equivalentes. As regras do cálculo <math>(f^\alpha)^\beta = f^{\alpha\beta}</math> e <math>f^\alpha g^\alpha = (fg)^\alpha</math> sdedúcense facilmente.

=== inverso multiplicativo ===
A serie

: <math>A = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n \in R[[X]]</math>

é invertíbel en <math>R[[X]]</math> se e só se o seu coeficiente constante <math>a_0</math> é invertíbel  en <math>R</math>.  Podemos calcular os coeficientes da serie inversa <math>B</math> mediante a fórmula recursiva explícita

: <math>\begin{align}
b_0 &= \frac{1}{a_0},\\
b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}, \ \ \ n \geq 1.
\end{align}</math>

Un caso especial importante é que a fórmula [[Serie xeométrica|da serie xeométrica]] é válida en <math>R[[X]]</math> :

: <math>(1 - X)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty X^n.</math>

Se <math>R=K</math> é un corpo, entón unha serie é invertíbel se e só se o termo constante é distinto de cero, é dicir, se e só se a serie non é divisíbel por <math>X</math>. Isto significa que <math>K[[X]]</math> é un [[anel de valoración discreta]] con parámetro uniformizador <math>X</math>.

=== División ===
Cálculo dun cociente <math>f/g=h</math>

: <math> \frac{\sum_{n=0}^\infty b_n X^n }{\sum_{n=0}^\infty a_n X^n } =\sum_{n=0}^\infty c_n X^n, </math>

asumindo que o denominador é invertíbel (é dicir, <math>a_0</math> é invertébel no anel dos escalares), pódese realizar como produto <math>f</math> e a inversa de <math>g</math>, ou equiparando directamente os coeficientes en <math>f=gh</math>:

: <math>c_n = \frac{1}{a_0}\left(b_n - \sum_{k=1}^n a_k c_{n-k}\right).</math>

=== Extracción de coeficientes ===
O operador de extracción de coeficientes aplicado a unha serie formal de potencias

: <math>f(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n </math>

en ''X'' escríbese

: <math> \left[ X^m \right] f(X) </math>

e extrae o coeficiente de ''X <sup>m</sup>'', así podemos escribir

: <math> \left[ X^m \right] f(X) = \left[ X^m \right] \sum_{n=0}^\infty a_n X^n = a_m.</math>

=== Composición ===
Dadas dúas series formais de potencias 

: <math>f(X) = \sum_{n=1}^\infty a_n X^n = a_1 X + a_2 X^2 + \cdots</math>
: <math>g(X) = \sum_{n=0}^\infty b_n X^n = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots</math>

tal que <math>a_0=0,</math> pódese formar a ''composición''

: <math>g(f(X)) = \sum_{n=0}^\infty b_n (f(X))^n = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n,</math>

onde os coeficientes ''c''<sub>''n''</sub> son determinados "ampliando" as potencias de ''f''(''X''):

: <math>c_n:=\sum_{k\in\N, |j|=n} b_k a_{j_1} a_{j_2} \cdots a_{j_k}.</math>

Aquí a suma esténdese sobre todos os (''k'', ''j'') con <math>k\in\N</math> e <math>j\in\N_+^k</math> con <math>|j|:=j_1+\cdots+j_k=n.</math>

Unha descrición máis explícita destes coeficientes é proporcionada pola [[fórmula de Faà di Bruno]], polo menos no caso en que o anel de coeficiente é un corpo de [[Característica (álxebra)|característica 0]].

A composición só é válida cando <math>f(X)</math> ''non ten termo constante'', de xeito que cada <math>c_n</math> depende só dun número finito de coeficientes de <math>f(X)</math> e <math>g(X)</math>. Noutras palabras, a serie para <math>g(f(X))</math> converxe na topoloxía de <math>R[[X]]</math> .

==== Exemplo ====
Supoña que o anel <math>R</math> ten característica 0 e os enteiros distintos de cero son invertíbeis en <math>R</math>. Se se denota por <math>\exp(X)</math> a serie formal de potencias

: <math>\exp(X) = 1 + X + \frac{X^2}{2!} + \frac{X^3}{3!} + \frac{X^4}{4!} + \cdots,</math>

entón a igualdade

: <math>\exp(\exp(X) - 1) = 1 + X + X^2 + \frac{5X^3}6 + \frac{5X^4}8 + \cdots</math>

ten perfectamente sentido como unha serie formal de potencias , xa que o coeficiente constante de <math>\exp(X) - 1</math> é cero.

=== Inversa ===
Sempre que unha serie formal

: <math>f(X)=\sum_k f_k X^k \in R[[X]]</math>

ten ''f''<sub>0</sub> = 0 e ''f''<sub>1</sub> é un elemento invertíbel de ''R'', existe unha serie

: <math>g(X)=\sum_k g_k X^k</math>

que é a [[Función inversa|inversa]] <math>f</math>, é dicir, compoñer <math>f</math> con <math>g</math> dá a serie que representa a [[Función identidade|función de identidade]] <math>x = 0 + 1x + 0x^2+ 0x^3+\cdots</math> . Os coeficientes de <math>g</math> pódense atopar recursivamente utilizando a fórmula anterior para os coeficientes dunha composición, equiparándoos cos da composición identidade ''X'' (é dicir, 1 no grao 1 e 0 en cada grao superior a 1). No caso de que o anel coeficiente sexa un corpo de característica 0, a '''fórmula de inversión de Lagrange''' (discutida a continuación) proporciona unha poderosa ferramenta para calcular os coeficientes de ''g'', así como os coeficientes das potencias (multiplicativas) de ''g''.

=== Diferenciación formal ===
Dada unha serie formal de potencias

: <math>f = \sum_{n\geq 0} a_n X^n \in R[[X]],</math>

definimos a súa '''derivada formal''', denotada ''Df'' ou ''f'' ′, como

: <math> Df = f' = \sum_{n \geq 1} a_n n X^{n-1}.</math>

O símbolo ''D'' chámase '''operador formal de diferenciación'''. Esta definición simplemente imita a diferenciación termo por termo dun polinomio.

Esta operación é ''R''-[[Aplicación linear|linear]]:

: <math>D(af + bg) = a \cdot Df + b \cdot Dg</math>

para calquera ''a'', ''b'' en ''R'' e calquera ''f'', ''g'' en <math>R[[X]].</math> Ademais, a derivada formal ten moitas das propiedades da [[derivada]] habitual do cálculo. Por exemplo, a [[Regra do produto (cálculo)|regra do produto]] é válida:

: <math>D(fg) \ =\ f \cdot (Dg) + (Df) \cdot g,</math>

e a [[regra da cadea]] tamén funciona:

: <math>D(f\circ g ) = ( Df\circ g ) \cdot Dg,</math>

sempre que se definan apropiadamente as composicións de series.

Así, nestes aspectos as series de potencias formais compórtanse como [[Serie de Taylor|as series de Taylor]]. De feito, para o ''f'' definido anteriormente, atopamos que

: <math>(D^k f)(0) = k! a_k, </math>

onde ''D'' <sup>''k''</sup> denota a ''k-''ésima derivada formal (é dicir, o resultado de diferenciar formalmente ''k'' veces).

=== Antidiferenciación formal ===
Se <math>R</math> é un anel con característica cero e os enteiros distintos de cero son invertibles <math>R</math>, entón dada unha serie de potencias formal

: <math>f = \sum_{n\geq 0} a_n X^n \in R[[X]],</math>

definimos a súa '''antiderivada formal''' ou '''integral indefinida formal''' por

: <math> D^{-1} f = \int f\ dX = C + \sum_{n \geq 0} a_n \frac{X^{n+1}}{n+1}.</math>

para calquera constante <math>C \in R</math> .

Esta operación é ''R''-[[Aplicación linear|linear]]:

: <math>D^{-1}(af + bg) = a \cdot D^{-1}f + b \cdot D^{-1}g</math>

para calquera ''a'', ''b'' en ''R'' e calquera ''f'', ''g'' en <math>R[[X]].</math> A maiores, a antiderivada formal ten moitas das propiedades da [[Función primitiva|antiderivada]] habitual do cálculo. Por exemplo, a antiderivada formal é a [[Función inversa|inversa pola dereita]] da derivada formal:

: <math>D(D^{-1}(f)) = f</math>

para calquera <math>f \in R[[X]]</math>.

== Serie formal de Laurent ==
As '''series formais de Laurent''' sobre un anel <math>R</math> defínense dun xeito similar ás series formais de potencias, agás que tamén permitimos un número finito de termos de grao negativo. É dicir, son as series que se poden escribir como

:<math>f = \sum_{n = N}^\infty a_n X^n</math>

para algún <math>N</math> enteiro, de xeito que só hai un número finito de <math>n</math> negativos con <math>a_n \neq 0</math>. (Isto é diferente da clásica [[serie de Laurent]] da [[análise complexa]].) Para unha serie formal de Laurent distinta de cero, o enteiro mínimo <math>n</math> tal que <math> a_n\neq 0</math> chámase ''orde'' de <math>f</math> e denomínase <math>\operatorname{ord}(f).</math> (A orde da serie cero é <math>+\infty</math>.)

Pódese definir a multiplicación destas series. De feito, de xeito similar á definición de series formais de potencias, o coeficiente de <math>X^k</math> de dúas series coas respectivas secuencias de coeficientes <math>\{a_n\}</math> e <math>\{b_n\}</math> é
: <math>\sum_{i\in\Z}a_ib_{k-i}.</math>
Esta suma ten só un número finito de termos distintos de cero debido á suposta desaparición dos coeficientes en índices suficientemente negativos.

As series formais de Laurent forman o '''anel de series formais de Laurent''' sobre <math>R</math>, denotado como <math>R((X))</math>.{{efn|Para cada serie formal de Laurent diferente de cero, a orde é un número enteiro (é dicir, os graos dos termos están limitados). Mais o anel <math>R((X))</math> contén series de todas as ordes.}} É igual á [[localización dun anel|localización]] do anel <math>R[[X] ]</math> de series formais de potencias en relación ao conxunto de potencias positivas de <math>X</math>. Se <math>R=K</math> é un [[corpo (matemáticas)|corpo]], entón <math>K((X))</math> é de feito un corpo, que se pode obter alternativamente como o [[corpo de fraccións]] do [[dominio de integridade]] <math>K[[X]]</math>.

Do mesmo xeito que con <math>R[[X]]</math>, o anel <math>R((X))</math> das series formais de Laurent pode estar dotado da estrutura dun anel topolóxico introducindo a métrica
:<math>d(f,g)=2^{-\operatorname{ord}(f-g)}.</math>

Pódese definir a diferenciación formal para as series formais de Laurent do xeito natural (termo por termo). Precisamente, a derivada formal das series formais de Laurent <math>f</math> anterior é
:<math>f' = Df = \sum_{n\in\Z} na_n X^{n-1},</math>
que é de novo unha serie formal de Laurent. Se <math>f</math> é unha serie formal de Laurent non constante e con coeficientes nun corpo de característica 0, entón temos
:<math>\operatorname{ord}(f')= \operatorname{ord}(f)-1.</math>
No entanto, en xeral este non é o caso xa que o factor <math>n</math> para o termo de orde máis baixa pode ser igual a 0 en <math>R</math>.

===Residuo formal===
Supoña que <math>K</math> é un corpo de [[característica (álxebra)|característica]] 0. Entón o mapa

:<math>D\colon K((X))\to K((X))</math>

definido anteriormente é unha <math>K</math>-[[derivación (álxebra abstracta)|derivación]] que satisfai

:<math>\ker D=K</math>
:<math>\operatorname{im} D= \left \{f\in K((X)) : [X^{-1}]f=0 \right\}.</math>

Isto último mostra que o coeficiente de <math>X^{-1}</math> en <math>f</math> é de particular interese; chámase ''residuo formal de <math>f</math>'', denotado <math>\operatorname{Res}(f)</math>. O mapa

:<math>\operatorname{Res}: K((X))\to K</math>

é <math>K</math>-linear, e pola observación anterior un ten unha [[secuencia exacta]]

:<math>0 \to K \to K((X)) \overset{D}{\longrightarrow} K((X)) \;\overset{\operatorname{Res}}{\longrightarrow}\; K \to 0.</math>

'''Algunhas regras do cálculo'''. Como consecuencia moi directa da definición anterior, e das regras de derivación formal, tense, para calquera <math>f, g\in K((X))</math>
<ol style="list-style-type: low-roman;"><li> <math>\operatorname{Res}(f')=0;</math></li>
<li> <math>\operatorname{Res}(fg')=-\operatorname{Res}(f'g);</math></li>
<li> <math>\operatorname{Res}(f'/f)=\operatorname{ord}(f),\qquad \forall f\neq 0;</math></li>
<li> <math>\operatorname{Res}\left(( g\circ f) f'\right) = \operatorname{ord}(f)\operatorname{Res}(g),</math> se <math >\operatorname{ord}(f)>0;</math></li>
<li> <math>[X^n]f(X)=\operatorname{Res}\left(X^{-n-1}f(X)\right).</math></li></li></li></ul><ul><li> </ol>

A propiedade (1) forma parte da secuencia exacta anterior. A propiedade (2) dedúcese de (1) aplicada a <math>(fg)'=f'g+fg'</math>. A propiedade (3): calquera <math>f</math> pódese escribir na forma <math>f=X^mg</math>, con <math>m=\operatorname{ord}(f)</math > e <math>\operatorname{ord}(g)=0</math>: entón <math>f'/f = mX^{-1}+g'/g.</math> <math>\operatorname {ord}(g)=0</math> implica que <math>g</math> é invertébel en <math>K[[X]]\subset \operatorname{im}(D) = \ker(\operatorname{ Res}),</math> de onde <math>\operatorname{Res}(f'/f)=m.</math> A propiedade (4): xa que <math>\operatorname{im}(D) = \ker (\operatorname{Res}),</math> podemos escribir <math>g=g_{-1}X^{-1}+G',</math> con <math>G \in K((X ))</math>

===Fórmula de inversión de Lagrange===
{{ap|Fórmula de inversión de Lagrange}}
Como se mencionou anteriormente, calquera serie formal <math>f \in K[[X]]</math> con ''f''<sub>0</sub> = 0 e ''f''<sub>1</sub> ≠ 0 ten unha  inversa <math>g \in K[[X]].</math> Cúmprese a seguinte relación entre os coeficientes de ''g<sup>n</sup>'' e ''f''<sup>−''k''</sup>:

:<math>k[X^k] g^n=n[X^{-n}]f^{-k}.</math>

En particular, para ''n''=1 e todos os ''k''≥1,

:<math>[X^k] g=\frac{1}{k} \operatorname{Res}\left(f^{-k}\right).</math>

Dado que a demostración da fórmula de inversión de Lagrange é un cálculo moi curto, paga a pena informar aquí dunha proba baseada en residuos (existen varias probas diferentes,<ref>{{cita libro | last1=Richard | first1=Stanley | title=Enumerative combinatorics. Volume 1. | series =Cambridge Stud. Adv. Math. | volume=49 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2012 | isbn=978-1-107-60262-5 | mr=2868112 }}</ref><ref>{{Cita libro |last1=Ira|first1=Gessel |título=Inversión de Lagrange | journal=Revista de Teoría Combinatoria, Serie A |volume=144 |idioma=gl |pages=212–249 |doi=10.1016/j.jcta.2016.06.018 |arxiv=1609.05988|mr=3534068}}</ref><ref>{{Cita libro |last1=Surya|first1=Erlang |last2=Warnke |first2=Lutz |date=2023 |title=Lagrange Inversion Formula by Induction |journal=The American Mathematical Monthly |volume=130 |issue=10 |language=en |pages=944–948 |doi=10.1080/00029890.2023.2251344 |arxiv=2305.17576|mr=4669236}}</ref> usando, por exemplo, a fórmula do coeficiente de Cauchy para funcións holomorfas, argumentos de conta de árbores ou indución). Observando <math>\operatorname{ord}(f) =1 </math>, podemos aplicar as regras de cálculo anteriores, fundamentalmente a regra (4) substituíndo <math>X \rightsquigarrow f(X)</math> para obter:

:<math>
\begin{align}
k[X^k] g^n & 
\ \stackrel{\mathrm{(5)}}=\ 
k\operatorname{Res}\left( g^n X^{-k-1}  \right)
\ \stackrel{\mathrm{(4)}}=\ 
k\operatorname{Res}\left(X^n f^{-k-1}f'\right)
\ \stackrel{\mathrm{cadea}}=\ 
-\operatorname{Res}\left(X^n (f^{-k})'\right) \\
& 
\ \stackrel{\mathrm{(2)}}=\ 
\operatorname{Res}\left(\left(X^n\right)' f^{-k}\right)
\ \stackrel{\mathrm{cadea}}=\ 
n\operatorname{Res}\left(X^{n-1}f^{-k}\right)
\ \stackrel{\mathrm{(5)}}=\ 
n[X^{-n}]f^{-k}.
\end{align}
</math>

== Notas ==
{{reflist|30em}}
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* {{cita libro | last1=Berstel | first1=Jean | author-link1=Jean Berstel | last2=Reutenauer | first2=Christophe | title=Noncommutative rational series with applications | series =Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=137 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2011 | isbn=978-0-521-19022-0 | zbl=1250.68007 }}
* [[Nicolas Bourbaki]]: ''Algebra'', IV, §4. Springer-Verlag 1988.
=== Outros artigos ===
* [[Función xeradora]].



{{control de autoridades}}
[[Categoría:Estatística]]
[[Categoría:Teoría de números]]
[[Categoría:Teoría de aneis]]
[[Categoría:Álxebra abstracta]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
[[Categoría:Serie matemática]]