Ver o código fonte de «Serie de Taylor»

[[Ficheiro:Sintay.svg|miniatura|<font color=#333333>sin(x)</font> e aproximacións de Taylor centradas en 0, con polinomios de grao <font color=red>1</font>, <font color=orange>3</font>, <font color=yellow>5</font>, <font color=green>7</font>, <font color=blue>9</font>, <font color=indigo>11</font> e <font color=violet>13</font>.]]

Nas [[matemáticas]], unha '''serie de Taylor''' dunha [[función (matemáticas)|función]] ''f(x)'' infinitamente derivable (real ou complexa) definida nun [[intervalo aberto]] (''a-r, a+r'') defínese do seguinte xeito:

[[Ficheiro:Exp series.gif|dereita|miniatura|A función exponencial (en azul), e a suma dos primeiros ''n''+1 termos da súa serie de Taylor arredor de cero (en vermello).]]

:<math> f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}. </math>

Onde ''n!'' é o [[factorial]] de ''n'' e ''f''&nbsp;<sup>(''n'')</sup>(''a'') indica a n-ésima [[derivada]] de ''f'' no punto ''a''.

Se esta serie converxe para todo ''x'' pertencente ao intervalo (''a-r, a+r'') e a suma é igual a ''f''(''x''), entón a función ''f''(''x'') denomínase '''analítica'''. Para comprobar se a serie converxe en ''f''(''x''), acostúmase empregar unha estimación do resto do [[teorema de Taylor]]. Unha función é analítica se e só se se pode representar cunha serie de potencias; os coeficientes desta serie son necesariamente os determinados na fórmula da serie de Taylor.

Se ''a'' = 0, a serie denomínase '''serie de Maclaurin'''.

Esta representación ten tres vantaxes importantes:

* A derivación e integración dunha destas series pódese realizar termo a termo, que resultan operacións triviais.
* Pódese utilizar para calcular valores aproximados da función.
* É posible demostrar que, se é viable a transformación dunha función nunha serie de Taylor, é a óptima aproximación posible.

Algunhas funcións non se poden escribir como serie de Taylor porque teñen algunha [[Singularidade matemática|singularidade]]. Nestes casos normalmente pódese conseguir un desenvolvemento en serie utilizando potencias negativas de ''x''. Por exemplo ''f''(''x'') = exp(−1/''x''²) pódese desenvolver como serie de Laurent.

== Definición ==
A serie de Taylor dunha función ''f'' de [[Número real|números reais]] ou [[Número complexo|complexos]] que é [[Función continuamente diferenciable|infinitamente diferenciable]] nunha [[Contorna (topoloxía)|contorna]] de números reais ou complexos ''a'', é a serie de potencias:
:<math>
f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots
</math>
que pode ser escrito dunha maneira máis compacta como
:<math>
f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,
</math>
onde ''n!'' é o [[factorial]] de ''n'' e ''f''&nbsp;<sup>(''n'')</sup>(''a'') denota a enésima [[derivada]] de ''f'' no punto ''a''; a derivada cero de ''f'' é definida como a propia ''f'' e <math>(x-a)^0</math> e <math>0!</math> son ambos definidos como un.

== Historia ==
O filósofo eleata [[Zenón de Elea]] estudou o problema de sumar unha serie infinita para lograr un resultado finito, pero descartouno por consideralo imposible: o resultado foron os [[paradoxos de Zenón]]. Posteriormente, [[Aristóteles]] propuxo unha resolución filosófica ao paradoxo, aínda que o contido matemático deste ficou resolto cando retomaron a cuestión [[Demócrito]] e despois [[Arquimedes]]. Foi a través do [[método exhaustivo]] de Arquimedes que un número [[infinito]] de subdivisións xeométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.<ref>Kline, M. (1990) ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times''. Oxford University Press. pp. 35-37.</ref> Independentemente, [[Liu Hui]] utilizou un método similar centos de anos despois.<ref>Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) ''A History of Mathematics''. John Wiley and Sons. pp. 202-203.</ref>

No [[século XIV]], os primeiros exemplos do uso de series de Taylor e métodos similares foron dados por [[Madhava de Sangamagrama]].<ref name="MAT 314">{{cita web  | editorial=Canisius College  | obra=MAT 314  | url=http://www.canisius.edu/topos/rajeev.asp  | título=Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala  | data-acceso=28 de outubro de 2011  | urlarquivo=https://web.archive.org/web/20060806040307/http://www.canisius.edu/topos/rajeev.asp  | dataarquivo=06 de agosto de 2006  | urlmorta=yes  }}</ref> A pesar de que ningún rexistro do seu traballo chegou aos nosos días, escritos de matemáticos hindús posteriores suxiren que el encontrou un número de casos especiais da serie de Taylor, incluídos aqueles para as [[función trigonométrica|funcións trigonométricas]] do seno, coseno, tanxente e arcotanxente.

No [[século XVII]], [[James Gregory]] tamén traballou nesta área e publicou varias series de Maclaurin. Pero en [[1715]] presentouse unha forma xeral para construír estas series para calquera función e foi presentado por [[Brook Taylor]], de quen recibe o seu nome.

As series de Maclaurin foron chamadas así por [[Colin Maclaurin]], un profesor de [[Edimburgo]], quen publicou o caso especial das series de Taylor no [[século XVIII]].

== Series de Maclaurin (Taylor arredor de 0) notables ==
[[Ficheiro:TaylorCosCos.png|200px|miniatura|A función coseno.]]
[[Ficheiro:TaylorCosPol.png|200px|miniatura|Unha aproximación de oitava orde da función coseno no plano dos [[Números complexos|complexos]].]]
[[Ficheiro:TaylorCosAll.png|200px|miniatura|As dúas imaxes de arriba postas xuntas.]]
A continuación enuméranse algunhas series de Taylor de funcións básicas. Todos os desenvolvementos son tamén válidos para valores complexos de ''x''.

=== [[Función exponencial]] e [[logaritmo natural]] ===

:<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x; n \in \mathbb{N}_0</math>

:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1 </math>

=== [[Serie xeométrica]] ===

:<math>\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1</math>

=== [[Teorema do binomio]] ===

:<math>(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-\alpha)}
x^n\quad</math> para <math>\left| x \right| < 1\quad</math>

=== [[Función trigonométrica|Funcións trigonométricas]] ===

:<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x</math>

:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x</math>

:<math>\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>

::''B<sub>s</sub>'' son os [[Números de Bernoulli]].

:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>

:<math>\csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad\mbox{, para } 0<\left |{x}\right |< \pi </math>

:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1</math>

:<math>\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1</math>

=== [[Función hiperbólica|Funcións hiperbólicas]] ===

:<math>\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x</math>

:<math>\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x</math>

:<math>\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>

:<math>\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1</math>

:<math>\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1</math>

=== [[Función W de Lambert]] ===

:<math>W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}</math>

Os números ''B''<sub>''k''</sub> que aparecen nas fórmulas de tan(''x'') e tanh(''x'') son [[Números de Bernoulli]]. Os valores C(α,''n'') da fórmula do binomio son os coeficientes binomiais. Os ''E''<sub>''k''</sub> da fórmula de sec(''x'') son [[Números de Euler]].

== Varias variables ==

A serie de Taylor pódese xeneralizar a funcións de <math>d</math> variables:

:<math>
\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d} =
</math>

:<math>
\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \sum_{n_1+\cdots+n_d=n} {n \choose n_1 \cdots n_d} {\partial^n 
f(a_1,\cdots,a_d) \over \partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}} 
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}, 
</math>

onde <math>{n \choose n_1 \cdots n_d}</math> é un coeficiente multinomial. Como exemplo, para unha función de dúas variables, ''x'' e ''y'', a serie de Taylor de segunda orde nun contorno do punto (''a'', ''b'') é:

:<math>f(x,y) \,</math>
::<math>\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,</math>
:::<math>+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right). </math>

Un polinomio de Taylor de segundo grao pode ser escrito de maneira compacta así:

:<math>
T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots
</math>

onde <math>\nabla f(\mathbf{a})</math> é o [[gradiente]] e <math>\nabla^2 f(\mathbf{a})</math> é a [[matriz hessiana]]. Outra forma:

:<math>
T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}
</math>

== Aplicacións ==

Ademais de para ter funcións polinómicas en lugar de funcións de maior complexidade e poder analizar facilmente o comportamento local dunha función, tamén se pode utilizar para resolver outros problemas como son: a análise de límites e estudos paramétricos dos mesmos, a estimación de [[Número irracional|números irracionais]] acoutando o seu erro, o teorema de L'Hopital para a resolución de límites indeterminados, o estudo de puntos estacionarios de funcións (máximos ou mínimos relativos ou puntos cadeira de tendencia estritamente crecente ou decrecente), a estimación de integrais, determinación de converxencia e suma dalgunhas series importantes, o estudo da orde e parámetro principal de infinitésimos etc.

== Notas ==
{{Listaref}}

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Serie (matemáticas)|Serie matemática]]
* [[Serie de Laurent]]
=== Ligazóns externas ===
* [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Weisstein, Eric W., «Serie de Taylor» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research]
* [https://web.archive.org/web/20100418193553/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html Madhava of Sangamagramma ]
* [https://web.archive.org/web/20111123022056/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/TaylorSeriesMod.html Taylor Series Representation Module by John H. Mathews]
* "[http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm Discussion of the Parker-Sochacki Method] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051202115417/http://csma31.csm.jmu.edu/physics/rudmin/ParkerSochacki.htm |date=02 de decembro de 2005 }}"
* [https://web.archive.org/web/20070605020930/http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html Another Taylor visualisation] - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/taylor_series.html Taylor series revisited for numerical methods] at [http://numericalmethods.eng.usf.edu Numerical Methods for the STEM Undergraduate]
* [http://cinderella.de/files/HTMLDemos/2C02_Taylor.html Cinderella 2: Taylor expansion] 
* [http://www.sosmath.com/calculus/tayser/tayser01/tayser01.html Taylor series]
* [http://www.efunda.com/math/taylor_series/inverse_trig.cfm Inverse trigonometric functions Taylor series]


{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Análise matemática]]
[[Categoría:Serie matemática]]

[[pl:Wzór Taylora#Szereg Taylora]]