Ver o código fonte de «Rng»

En [[álxebra abstracta]], un '''rng''' (ou '''anel non unitario''' ou '''pseudoanel''') é unha [[estrutura alxébrica]] que satisfai as mesmas propiedades que un [[Anel (álxebra)|anel]], mais sen asumir a existencia dunha [[Elemento neutro|identidade multiplicativa]]. O termo ''rng''  é para suxerir que é un anel sen ''i'', é dicir, sen a necesidade dun elemento de identidade.{{Sfnp|Jacobson|1989}}

Non hai consenso na comunidade sobre se a existencia dunha identidade multiplicativa debe ser un dos [[Anel (álxebra)|axiomas de anel]]. O termo ''rng'' foi acuñado para aliviar esta ambigüidade cando as persoas queren referirse explicitamente a un anel sen o axioma da identidade multiplicativa.

== Definición ==
Formalmente, un '''rng''' é un [[conxunto]] ''R'' con dúas [[Operación binaria|operacións binarias]] {{Nowrap|(+, ·)}} chamadas ''adición'' e ''multiplicación'' tal que:

* (''R'',+) é un [[grupo abeliano]].
* (''R'',·) é un [[semigrupo]].
* A multiplicación é [[Distributividade|distributiva]] sobre a adición.

Un '''homomorfismo de rngs''' é unha función {{Nowrap|''f'': ''R'' → ''S''}} dun rng a outro tal que

* ''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y''),
* ''f''(''x'' · ''y'') = ''f''(''x'') · ''f''(''y'')

para todos os ''x'' e ''y'' en ''R''.

Se ''R'' e ''S'' son aneis, entón un [[homomorfismo de aneis]] {{Nowrap|''R'' → ''S''}} é o mesmo que un homomorfismo de rng {{Nowrap|''R'' → ''S''}} que mapea 1 a 1.

== Exemplos ==
Todos os aneis son rngs. Un exemplo simple dun rng que non é un anel ven dado polos [[Paridade (matemáticas)|enteiros pares]] coa suma e multiplicación ordinaria de números enteiros. 

Outro exemplo pode ser o conxunto de todos as [[Matriz (matemáticas)|matrices]] <math>3 \times 3</math> cuxa fila inferior é cero. 

Ambos os exemplos son exemplos do feito xeral de que todo [[Ideal (teoría dos aneis)|ideal]] é un rng.

Os rng adoitan aparecer con naturalidade na [[análise funcional]] cando consideramos os [[Aplicación linear|operadores lineares]] en [[Espazo vectorial|espazos vectoriais]] de dimensión infinita. Tomemos por exemplo calquera espazo vectorial de dimensión infinita ''V'' e considere o conxunto de todos os operadores lineares {{Nowrap|''f'' : ''V'' → ''V''}} con [[Rango (álxebra linear)|rango]] finito (é dicir, {{Nowrap|dim ''f''(''V'') < ∞}}). Xunto coas operacións adición e [[Composición de funcións|composición]], este é un rng, mais non un anel. Outro exemplo é o rng de todas as [[Sucesión (matemáticas)|secuencias]] reais que [[Límite dunha sucesión|converxen]] a 0, coas operacións de compoñentes a compoñente.

=== Exemplo: números enteiros pares ===
O conxunto 2'''Z''' de números enteiros pares está pechado baixo adición e multiplicación e ten unha identidade aditiva, 0, polo que é un rng, mais non ten unha identidade multiplicativa, polo que non é un anel.

En 2'''Z''', o único multiplicativo [[idempotencia|idempotente]] é 0, o único [[nilpotente]] é 0.

=== Exemplo: secuencias finitas quinarias ===
A suma directa <math display="inline">\mathcal T = \bigoplus_{i=1}^\infty \mathbf{Z}/5 \mathbf{Z}</math> equipada con adición e multiplicación por coordenadas é un rng coas seguintes propiedades::

* Os seus elementos idempotentes forman unha retícula sen límite superior.
* Cada elemento ''x'' ten un [[Inverso xeneralizado|inverso reflexivo]], é dicir, un elemento ''y'' tal que {{Nowrap|1=''xyx'' = ''x''}} e {{Nowrap|1=''yxy'' = ''y''}}.
* Para cada subconxunto finito de <math>\mathcal T</math>, existe un idempotente en <math>\mathcal T</math> que actúa como unha identidade para todo o subconxunto: a secuencia cun un en cada posición onde unha secuencia do subconxunto ten un elemento non cero nesa posición e cero en cada unha das outras posicións.

== Propiedades ==
{{Lista con marcas
|Os [[Ideal (teoría dos aneis)|ideais]], os [[anel cociente|aneis cocientes]] e os [[módulo (álxebra)|módulos]] pódense definir para os rngs do mesmo xeito que para os aneis.
|No entanto, traballar con rngs en lugar de aneis complica algunhas definicións relacionadas. Por exemplo, nun anel ''A'', o ideal pola esquerda (''f'') xerado por un elemento ''f'', definido como o ideal pola esquerda máis pequeno que contén ''f'', é simplemente ''Af'', mais se ''A'' é só un rng, entón ''Af'' pode non conter ''f'', polo que debemos dar a definición máis longa
:<math>(f) = Rf + \mathbf{Z} f = \{ af+nf : a \in A, n\in \mathbf{Z} \},</math>
onde ''nf'' debe interpretarse usando suma/resta repetida xa que ''n'' non ten por que representar un elemento de ''A''. Complicacións similares xorden na definición de [[submódulo]] xerado por un conxunto de elementos dun módulo.
|Algúns teoremas para aneis son falsos para rngs. Por exemplo, nun anel, cada ideal propio está contido nun [[ideal máximal]], polo que un anel distinto de cero sempre ten polo menos un ideal máximal. Estas dúas declaracións fallan para rngs.
|Un homomorfismo de rngs {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} asigna a calquera [[elemento idempotente (teoría do anel)|elemento idempotente]] un elemento idempotente.
|Se {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} é un homomorfismo de rngs dun rng a outro rng, e a imaxe de ''f'' contén un divisor distinto de cero de ''S'', entón ''S'' é un anel e ''f'' é un homomorfismo de aneis.}}

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro
  | last1=Bourbaki | first1=N. | author1-link=Nicolas Bourbaki
  | title=Algebra I, Chapters 1–3
  | publisher=Springer
  | year=1998
  }}
* {{cita libro
  | last1=Dummit | first1=David S.
  | last2=Foote | first2=Richard M.
  | title=Abstract Algebra
  | edition=3rd
  | publisher=Wiley
  | year=2003
  | isbn=978-0-471-43334-7
  }}
* {{cita publicación periódica
  | last1 = Dorroh | first1 = J. L.
  | doi = 10.1090/S0002-9904-1932-05333-2
  | journal = Bull. Amer. Math. Soc.
  | volume = 38
  | pages = 85–88
  | title = Concerning Adjunctions to Algebras
  | year = 1932
  | issue = 2
  }}
* {{cita publicación periódica
  | last1=Jacobson | first1=Nathan
  | title=Basic algebra
  | date=1989
  | publisher=W.H. Freeman | location=New York
  | isbn=0-7167-1480-9
  | edition=2nd
  | url=https://archive.org/details/basicalgebra00jaco
  }}
* {{cita publicación periódica
  | last = Kreinovich | first = V.
  | doi = 10.1007/BF01190935
  | issue = 2
  | journal = Algebra Universalis
  | mr = 1318988
  | pages = 237–242
  | title = If a polynomial identity guarantees that every partial order on a ring can be extended, then this identity is true only for a zero-ring
  | volume = 33
  | year = 1995
  }}
* {{cita libro
  | last=Herstein | first=I. N.
  | author-link=Israel Nathan Herstein
  | title=Abstract Algebra
  | edition=3rd
  | publisher=Wiley
  | year=1996
  | isbn = 978-0-471-36879-3
  }}
* {{cita libro
  | last=McCrimmon | first=Kevin
  | title=A taste of Jordan algebras
  | publisher=Springer
  | year=2004
  | isbn=978-0-387-95447-9
  }}
* {{cita publicación periódica
  | last        = Noether | first       = Emmy | author-link = Emmy Noether
  | date        = 1921
  | title       = Idealtheorie in Ringbereichen
  | trans-title = Ideal theory in rings
  | url         = https://doi.org/10.1007/BF01464225
  | journal     = Mathematische Annalen
  | volume      = 83
  | issue       = 1–2
  | pages       = 24–66
  | doi         = 10.1007/BF01464225
  }}
* {{cita publicación periódica
  | last = Szele | first = Tibor
  | year = 1949
  | journal = Mathematische Annalen
  | mr = 0033822
  | pages = 242–246
  | title = Zur Theorie der Zeroringe
  | url = https://archive.org/details/sim_mathematische-annalen_1949-1950_121/page/242 | volume = 121
  | doi=10.1007/bf01329628
  }}
* {{cita libro
  | last1=Zariski | first1=Oscar
  | last2=Samuel | first2=Pierre
  | year=1958
  | title=Commutative Algebra
  | volume=1
  | publisher=Van Nostrand
  }}

=== Outros artigos ===
* [[Anel (álxebra)]].
=== Ligazóns externas ===
* [https://qchu.wordpress.com/2012/11/04/non-unital-rings/ Qiaochu Yuan "Non-unital rings"].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría de aneis]]