Ver o código fonte de «Retícula (teoría da orde)»

{{Binary relations}}
Unha '''retícula''' (en inglés '''lattice''') é unha estrutura abstracta estudada nas subdisciplinas [[matemáticas]] da [[teoría da orde]] e [[Álxebra abstracta|da álxebra abstracta]]. Consiste nun [[conxunto parcialmente ordenado]] no que cada par de elementos ten un [[Ínfimo e supremo|supremo]] único (tamén chamado límite superior mínimo ou [[Join e meet|join]]) e un [[Ínfimo e supremo|ínfimo]] único (tamén chamado límite inferior máximo ou [[Join e meet|meet]]). Un exemplo é o [[conxunto de partes]] dun conxunto, parcialmente ordenado por [[Subconxunto|inclusión]], para o cal o supremo é a [[Unión (conxuntos)|unión]] e o ínfimo é a [[Intersección (conxuntos)|intersección]]. Outro exemplo son os [[Número natural|números naturais]], parcialmente ordenados pola [[Divisor|divisibilidade]], para os que o supremo é o [[mínimo común múltiplo]] e o ínfimo é o [[máximo común divisor]].

== Definición ==
Unha retícula pode definirse tanto na teoría da orde como un conxunto parcialmente ordenado ou como unha estrutura alxébrica.

=== Como conxunto parcialmente ordenado ===
Un [[conxunto parcialmente ordenado]] (poset) <math>(L, \leq)</math> chámase '''retícula''' se é á vez unha [[Semilreticula|semiretícula]] join e meet, é dicir, cada subconxunto de dous elementos <math>\{ a, b \} \subseteq L</math> ten unha [[Join e meet|join]] (é dicir, límite superior mínimo, denotado por <math>a \vee b</math> ) e [[Dualidade (teoría da orde)|dualmente]] un [[Join e meet|meet]] (é dicir, límite inferior máximo, denotado por <math>a \wedge b</math>). Esta definición fai <math>\,\wedge\,</math> e <math>\,\vee\,</math> [[Operación binaria|operacións binarias]]. Ambas as operacións son monótonas en relación á orde dada: <math>a_1 \leq a_2</math> e <math>b_1 \leq b_2</math> implica que <math>a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2</math> e <math>a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2.</math>

=== Como estrutura alxébrica ===
Unha '''retícula''' é unha [[estrutura alxébrica]] <math>(L, \vee, \wedge)</math>, composta por un conxunto <math>L</math> e dúas [[Operación (matemáticas)|operacións]] binarias, conmutativas e asociativas <math>\vee</math> e <math>\wedge</math> en <math>L</math> satisfacendo as seguintes identidades axiomáticas para todos os elementos <math>a, b \in L</math> (ás veces chamadas {{Em|leis de absorción}}): <math display="block">a \vee (a \wedge b) = a</math><math display="block">a \wedge (a \vee b) = a</math>

As dúas identidades seguintes tamén son consideradas como axiomas, aínda que se deducen das dúas leis de absorción anteriores.<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Birkhoff|1948|p=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.166886/page/n35/mode/2up 18]}}. "since <math>a = a \vee (a \wedge (a \vee a)) = a \vee a</math> and dually". Birkhoff attributes this to {{Cita Harvard sen parénteses|Dedekind|1897|p=[https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00006737/V.C.1596.pdf#page=10 8]}}</ref> Estas son as chamadas {{Em|leis de idempotencia}} . <math display="block">a \vee a = a</math><math display="block">a \wedge a = a</math>

== Retícula limitada ==
Unha '''retícula limitada''' é unha retícula que ten a maiores un [[Elemento maior e menor|elemento maior]] (denotado por <math>1,</math> ou por {{Nowrap|<math>\top</math>)}} e un [[Elemento maior e menor|elemento  menor]](denotado por <math>0</math> ou por {{Nowrap|<math>\bot</math>),}} que satisfán <math display="block">0 \leq x \leq 1 \;\text{ para todo } x \in L.</math>

Unha retícula limitada tamén se pode definir como unha estrutura alxébrica da forma <math>(L, \vee, \wedge, 0, 1)</math> tal que <math>(L, \vee, \wedge)</math> é unha retícula, <math>0</math> (o elemento menor) é o [[Elemento neutro|elemento identidade]] para a operación join <math>\vee,</math> e <math>1</math> (o elemento maior) é o elemento  identidade para a operación meet <math>\wedge.</math><math display="block">a \vee 0 = a.</math><math display="block">a \wedge 1 = a.</math>

Un conxunto parcialmente ordenado é unha retícula limitada se e só se cada conxunto finito de elementos (incluíndo o conxunto baleiro) ten un join e un meet.

Toda retícula pode ser mergullada nunha retícula limitada engadindo un elemento maior e un menor. A maiores, toda retícula finita non baleira está limitada, tomando o join (respectivamente o meet) de todos os elementos, denotado por <math display="inline">1 = \bigvee L = a_1 \lor \cdots \lor a_n</math> (respectivamente <math display="inline">0 = \bigwedge L = a_1 \land \cdots \land a_n</math> ) onde <math>L = \left\{a_1, \ldots, a_n\right\}</math> é o conxunto de todos os elementos.

== Conexión con outras estruturas alxébricas ==
As retículas teñen algunhas conexións coa familia de [[Magma (álxebra)|estruturas alxébricas de tipo grupo]]. Debido a que o join e o meet teñen a propiedade conmuttiva e asociativa, unha retícula pode ser vista como dous [[Semigrupo|semigrupos]] conmutativos que teñen o mesmo dominio. Para unha retícula limitada, estes semigrupos son de feito [[Monoide|monoides]] conmutativos. A [[lei de absorción]] é a única identidade definitoria que é propia da teoría de retículas. Unha retícula limitada tamén se pode pensar como un semianel conmutativo sen o axioma distributivo.

== Exemplos ==
<gallery>
Ficheiro:Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg|'''Imaxe.1:''' Subsconxuntos de  <math>\{x, y, z\},</math> baixo a inclusión de conxuntos.
Ficheiro:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg|'''Imaxe.2:''' Retícula de enteiros divisores de 60, ordenados por  "''divide a''".
Ficheiro:Lattice_of_partitions_of_an_order_4_set.svg|'''Imaxe.3:''' Reticula de [[Partición dun conxunto|particións]] de <math>\{1, 2, 3, 4\},</math> ordenado por "''refina''".
Ficheiro:Nat_num.svg|'''Imaxe.4:'''Retícula de enteiros positivos, ordenados por <math>\,\leq,</math>
Ficheiro:N-Quadrat,_gedreht.svg|'''Imaxe.5:''' Retícula de pares de enteiros non negativos, ordenados compoñente a compoñente.
</gallery>

== Exemplos de non retículas ==
{| style="float:left"
|[[Ficheiro:KeinVerband.svg|miniatura|150x150px| '''Imaxe.6:''' Poset sen retícula: <math>c</math> e <math>d</math> non teñen límite superior común.]]
|}
{| style="float:left"
|[[Ficheiro:NoLatticeDiagram.svg|miniatura|177x177px| '''Imaxe.7:''' Poset sen retícula: <math>b</math> e <math>c</math> teñen límites superiores comúns <math>d, e,</math> e <math>f,</math> pero ningún deles é o [[Ínfimo e supremo|límite superior mínimo]].]]
|}
{| style="float:left"
|[[Ficheiro:Pow3nonlattice.svg|miniatura|155x155px| '''Imaxe.8:''' Poset sen retícula: <math>a</math> e <math>b</math> teñen límites inferiores comúns <math>0, d, g, h,</math> e <math>i,</math> pero ningún deles é o [[Ínfimo e supremo|límite inferior máis grande]].]]
|}
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Morfismos de retículas ==
[[Ficheiro:Monotonic_but_nonhomomorphic_map_between_lattices.gif|miniatura| '''Imaxe.&nbsp;9:''' Mapa monótono <math>f</math> entre retículas que non conserva nin joins nin meets, xa que <math>f(u) \vee f(v) = u^{\prime} \vee u^{\prime}= u^{\prime}</math><math>\neq</math><math>1^{\prime} = f(1) = f(u \vee v)</math> e <math>f(u) \wedge f(v) = u^{\prime} \wedge u^{\prime} = u^{\prime}</math><math>\neq</math><math>0^{\prime} = f(0) = f(u \wedge v).</math>]]
A noción apropiada dun [[morfismo]] entre dúas retículas flúe facilmente da definición alxébrica dada previamente na parte superior do artigo. Dadas dúas retículas <math>\left(L, \vee_L, \wedge_L\right)</math> e <math>\left(M, \vee_M, \wedge_M\right),</math> un '''homomorfismo reticular''' de ''L'' a ''M'' é unha función <math>f : L \to M</math> tal que para todos os <math>a, b \in L:</math><math display="block">f\left(a \vee_L b\right) = f(a) \vee_M f(b), \text{ e mesmo }</math><math display="block">f\left(a \wedge_L b\right) = f(a) \wedge_M f(b).</math>

En particular, un '''homomorfismo de retícula limitada''' (xeralmente chamado só "homomorfismo de retícula") <math>f</math> entre dúas retículas limitadas <math>L</math> e <math>M</math> tamén debe ter as seguintes propiedades: <math display="block">f\left(0_L\right) = 0_M, \text{ e }</math><math display="block">f\left(1_L\right) = 1_M.</math>

== Subretícula ==
Unha subretícula dunha retícula <math>L</math> é un subconxunto de <math>L</math> que é unha retícula coas mesmas operacións de join e meet que <math>L.</math> É dicir, se <math>L</math> é unha retícula e <math>M</math> é un subconxunto de <math>L</math> tal que para cada par de elementos <math>a, b \in M</math> ambos os <math>a \wedge b</math> e <math>a \vee b</math> están en <math>M,</math> entón <math>M</math> é unha subretícula de <math>L.</math><ref>Burris, Stanley N., and Sankappanavar, H. P., 1981. [http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html ''A Course in Universal Algebra''.] Springer-Verlag. {{ISBN|3-540-90578-2}}.</ref>

Unha subretícula <math>M</math> dunha retícula <math>L</math> é unha '''retícula convexa''' de <math>L,</math> se <math>x \leq z \leq y</math> e <math>x, y \in M</math> implica que <math>z</math> pertence a <math>M,</math> para todos os elementos <math>x, y, z \in L.</math>

== Propiedades das retículas ==
Agora introducimos unha serie de propiedades importantes que levan a clases especiais interesantes das retículas. Unha delas xa foi tratada co concepto de '''limitada'''.

=== Completude ===
Un poset chámase '''retícula completa''' se todos os seus subconxuntos teñen un join e un meet. En particular, toda retícula completa é unha retícula limitada. Mentres que os homomorfismos de retículas limitadas en xeral só conservan os joins e os meets finitos, para os homomorfismos de retículas completas é necesario preservar joins e meets arbitrarios.

"Reticula parcial" non é o contrario de "retícula completa"; máis ben, "retícula parcial", "retícula" e "retícula completa" son definicións cada vez máis restritivas.

=== Completude condicional ===
Unha '''retícula condicionalmente completa''' é unha retícula na que cada subconxunto non baleiro que ten un límite superior ten un join (é dicir, un límite superior mínimo). Esas retículas proporcionan a xeneralización máis directa do [[axioma de completude]] dos [[Número real|números reais]]. Unha retícula condicionalmente completa é unha retícula completa ou unha retícula completa sen o seu elemento máximo <math>1,</math> o seu elemento mínimo <math>0,</math> ou sen ambos os dous.<ref>{{Cita web |last=Baker |first=Kirby |date=2010 |title=Complete Lattices |url=https://www.math.ucla.edu/~baker/222a/handouts/s_complete.pdf |access-date=8 June 2022 |website=UCLA Department of Mathematics}}</ref><ref>{{Cita libro |last=Kaplansky |first=Irving |title=Set Theory and Metric Spaces |publisher=[[Chelsea Publishing Company|AMS Chelsea Publishing]] |year=1972 |isbn=9780821826942 |edition=2nd |location=New York City |pages=14}}</ref>

=== Distributividade ===
{| style="float:right"
|[[Ficheiro:N_5_mit_Beschriftung.svg|miniatura|150x150px| '''Imaxe.&nbsp;11:''' A menor retícula  non modular (e, polo tanto, non distributiva) N<sub>5</sub>.<math>b \leq c</math>, mais<math>b \vee (a \wedge c) = b</math> e <math>(b \vee a) \wedge c = c</math>, polo que se incumpre a lei modular.<br />Os elementos etiquetados tamén violan a ecuación da distributividade <math>c \wedge (a \vee b) = (c \wedge a) \vee (c \wedge b),</math> mais  satisfán o seu dual <math>c \vee (a \wedge b) = (c \vee a) \wedge (c \vee b).</math>]]
|}
{| style="float:right"
|[[Ficheiro:M_3_mit_Beschriftung.svg|miniatura|150x150px| '''Imaxe.&nbsp;10:''' Retícula máis pequena non distributiva (mais modular) M<sub>3</sub>.]]
|}
Dado que as retícula veñen con dúas operacións binarias, é natural preguntarse se unha delas [[Distributividade|se distribúe]] sobre a outra, é dicir, se unha ou outra das seguintes leis [[Dualidade (teoría da orde)|duais]] cúmprese para cada tres elementos. <math>a, b, c \in L,</math> :

; Distributividade de <math>\vee</math> sobre <math>\wedge</math>

<math display="block">a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c).</math>

; Distributividade de <math>\wedge</math> sobre <math>\vee</math>

<math display="block">a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c).</math>

Unha retícula que satisfai o primeiro ou o segundo axioma, chámase '''retícula''' '''distributiva'''. As únicas retículas non distributivas con menos de 6 elementos chámanse M<sub>3</sub> e N<sub>5</sub>;<ref>{{Harvtxt|Davey|Priestley|2002}}, Exercise 4.1, [https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA104 p.&nbsp;104].</ref> móstranse nas imaxes 10 e 11, respectivamente. Unha retícula é distributiva se e só se non ten unha subretícula isomorfa a M<sub>3</sub> ou N<sub>5</sub>.<ref name="Davey.Priestley.2002.10.6">{{Harvtxt|Davey|Priestley|2002}}, Theorem 4.10, [https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA89 p.&nbsp;89].</ref> Cada retícula distributiva é isomorfa a unha retícula de conxuntos (con unión e intersección como join e meet, respectivamente). <ref>{{Harvtxt|Davey|Priestley|2002}}, Theorem 10.21, [https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA238 pp.&nbsp;238–239].</ref>

=== Modularidade ===
Para algunhas aplicacións a condición de distributividade é demasiado forte, e a seguinte propiedade máis débil adoita ser útil. Unha retícula <math>(L, \vee, \wedge)</math> é modular se, para todos os elementos <math>a, b, c \in L,</math> ten a seguinte identidade: <math>(a \wedge c) \vee (b \wedge c) = ((a \wedge c) \vee b) \wedge c.</math> (Identidade modular)Esta condición é equivalente ao seguinte axioma: <math>a \leq c</math> implica <math>a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge c.</math> (Lei modular)Unha retícula é modular se e só se non ten unha subretículas  isomorfas a N<sub>5</sub> (mostrada na Fig.&nbsp;11).<ref name="Davey.Priestley.2002.10.6">{{Harvtxt|Davey|Priestley|2002}}, Theorem 4.10, [https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC&pg=PA89 p.&nbsp;89].</ref> A maiores das retículas distributivas, exemplos de retículas modulares son as retículas de submódulos dun [[Módulo (álxebra)|módulo]] (polo tanto, ''modular''), a retícula de [[Ideal (teoría dos aneis)|ideais bilaterais]] dun [[Anel (álxebra)|anel]] e a retícula de [[Subgrupo normal|subgrupos normais]] dun [[Grupo (matemáticas)|grupo]]. 

=== Semimodularidade ===
Unha retícula finita é modular se e só se é semimodular tanto superiormente como inferiormente. Para unha retícula graduada, a semimodularidade (superior) é equivalente á seguinte condición na función de rango <math>r\colon</math>

: <math>r(x) + r(y) \geq r(x \wedge y) + r(x \vee y).</math>

=== Continuidade e alxebricidade ===
Na [[teoría de dominios]], é natural buscar aproximar os elementos nunha orde parcial mediante elementos "moito máis simples". Isto leva á clase de [[Poset continuo|posets continuos]], que consiste en posets onde todo elemento se pode obter como o supremo dun [[Set dirixido|conxunto dirixido]] de elementos que están moi por debaixo do elemento. Se se pode restrinxir adicionalmente estes aos [[Elemento compacto|elementos compactos]] dun poset para obter estes conxuntos dirixidos, entón o poset é mesmo [[Poset alxébrico|alxébrico]]. Ambos os conceptos pódense aplicar ás retículas do seguinte xeito:

* Unha  [[Retícula continua|'''retícula''' '''continua''']] é unha retícula completa que é continua como poset.
* Unha '''[[Reticula alxébrica|retícula alxébrica]]''' é unha retícula completa que é alxébrica como poset.

=== Complementos e pseudocomplementos ===
Sexa <math>L</math> unha retícula limitada co elemento maior 1 e o elemento menor 0. Dous elementos <math>x</math> e <math>y</math> de <math>L</math> son '''complementos''' entre si, se e só se: <math display="block">x \vee y = 1 \quad \text{ e } \quad x \wedge y = 0.</math>

=== Condición de cadea de Jordan-Dedekind ===
Unha '''cadea''' de <math>x_0</math> a <math>x_n</math> é un conxunto <math>\left\{ x_0, x_1, \ldots, x_n\right\},</math> onde <math>x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n.</math> A '''lonxitude''' desta cadea é ''n'', ou un menos que o seu número de elementos. Unha cadea é '''máximal''' se <math>x_i</math> cubre <math>x_{i-1}</math> para todos os <math>1 \leq i \leq n.</math>

Se para calquera par, <math>x</math> e <math>y,</math> onde <math>x < y,</math> todas as cadeas maximais de <math>x</math> a <math>y</math> teñen a mesma lonxitude, entón dise que a retícula satisfai a '''condición da cadea de Jordan-Dedekind'''.

== Importantes nocións teóricas de retículas ==
Definimos agora algunhas nocións da teoría da orde importantes para a teoría de retículas. No seguinte, denominamos como <math>x</math> un elemento dalgunha retícula <math>L.</math> Así <math>x</math> chámase:

* '''Join irreducíbel''' se <math>x = a \vee b</math> implica <math>x = a \text{ ou } x = b.</math> para todos os <math>a, b \in L.</math> Se <math>L</math> ten un elemento menor <math>0,</math> algúns autores requiren <math>x \neq 0</math>.{{Sfn|Davey|Priestley|2002|p=53}} Cando a primeira condición se xeneraliza a joins arbitrarios <math>\bigvee_{i \in I} a_i,</math> <math>x</math> chámase '''join completamente irreducíbel''' (ou <math>\vee</math>-irreducíbel). A noción dual é '''meet irreducíbel''' (<math>\wedge</math>-irreducíbel). Por exemplo, na imaxe.2, os elementos 2, 3, 4 e 5 son join irreducíbeis, mentres que 12, 15, 20 e 30 son meet irreducibeis. Dependendo da definición, o elemento menor 1 e o elemento maior 60 poden considerarse ou non join irreducíbeis e meet irreducíbeis respectivamente. Na retícula de [[Número real|números reais]] coa orde habitual, cada elemento é join irreducíbele mais ningún é completamente join irreducíbel.
* '''Join primo''' se <math>x \leq a \vee b</math> implica <math>x \leq a \text{ ou } x \leq b.</math> De novo algúns autores requiren <math>x \neq 0</math>, aínda que isto é infrecuente. Isto tamén se pode xeneralizar para obter a noción '''join completamente primo'''. A noción dual é '''meet primo'''. Todo elemento join primo tamén é join irreducíbel, e todo elemento meet primo tamén é meet irreducíbel. A inversa cúmprese se <math>L</math> é distributiva.

Teña <math>L</math> un elemento menor 0. Un elemento <math>x</math> de <math>L</math> é un [[átomo (teoría da orde)|átomo]] se <math>0 < x</math> e non existe ningún elemento <math>y \in L</math> tal que <math>0 < y < x.</math> Entón <math>L</math> chámase:

* Atómica se para cada elemento distinto de cero <math>x</math> de <math>L,</math> existe un átomo <math>a</math> de <math>L</math> tal que <math>a \leq x;</math> {{Sfn|Grätzer|2003|p=246}}
* Atomista se cada elemento de <math>L</math> é un [[Ínfimo e supremo|supremo]] de átomos. {{Sfn|Grätzer|2003|p=234}}

== Notas ==
{{reflist|30em}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===

* Burris, Stanley N., and Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]''  Springer-Verlag. {{isbn|3-540-90578-2}}.
* Jipsen, Peter, and Henry Rose, ''[http://www1.chapman.edu/~jipsen/JipsenRoseVoL.html Varieties of Lattices]'', Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. {{isbn|0-387-56314-8}}.

Textos elementais:
* Donnellan, Thomas, 1968. ''Lattice Theory''. Pergamon.
* [[George Grätzer|Grätzer, George]], 1971. ''Lattice Theory: First concepts and distributive lattices''. W. H. Freeman.

Texto contemporáneos introdutorios, algo máis duros que os anteriores:
* {{Cita libro | last1=Davey | first1=B. A. | last2=Priestley | first2=H. A. | author2-link=Hilary Priestley | title=Introduction to Lattices and Order|title-link= Introduction to Lattices and Order | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-78451-1 | year=2002}}
=== Outros artigos ===
* [[Join e meet]]
* [[Mapa de retículas]]
* [[Retícula ortocomplementeda]]
* [[Orde total]]
* [[Ideal (teoría da orde)]] e [[Filtro (matemáticas)]] (nocións duais)
* [[Retícula Euleriana]]
* [[Retícula de Post]]
* [[Retícula de Tamari]]

=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Lattice-ordered group|id=p/l057670}}
* {{Mathworld|urlname=Lattice |title=Lattice}}
* J.B. Nation, [https://math.hawaii.edu/~jb/ ''Notes on Lattice Theory''], course notes, revised 2017.
* Ralph Freese, [http://www.math.hawaii.edu/LatThy/ "Lattice Theory Homepage"].
* {{OEIS|id=A006966}} Number of unlabeled lattices with ''n'' elements

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría da orde]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]