Ver o código fonte de «Relación reflexiva»

En [[matemáticas]], unha relación binaria <math>R</math> nun [[conxunto]] <math>X</math> é '''reflexiva''' se relaciona cada elemento de <math>X</math> consigo mesmo. {{Sfn|Levy|1979|p=74}} {{Sfn|Schmidt|2010}}

Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de [[Número real|números reais]], xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a [[Relación transitiva|transitividade]], a reflexividade é unha das tres propiedades que definen [[Relación de equivalencia|as relacións de equivalencia]].

== Definición ==
{{Stack|{{Binary relations}}}}
Sexa <math>R</math> unha relación binaria nun conxunto <math>X,</math> que por definición é só un subconxunto de <math>X \times X.</math> Para calquera <math>x, y \in X,</math> a notación <math>x R y</math> significa que <math>(x, y) \in R</math> mentres "non <math>x R y</math> " significa que <math>(x, y) \not\in R.</math>

A relación <math>R</math> chámase reflexiva se <math>x R x</math> para todo <math>x \in X</math>.

De forma equivalente, se <math>\operatorname{I}_X := \{ (x, x) ~:~ x \in X \}</math> denota a [[relación de identidade]] en <math>X</math >, a relación <math>R</math> é reflexiva se <math>\operatorname{I}_X \subseteq R</math>.

O '''[[peche reflexivo]]''' de <math>R</math> é a unión <math>R \cup \operatorname{I}_X,</math> que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a <math>\subseteq</math>) relación reflexiva en <math>X</math> que é un [[superconxunto]] de <math>R.</math> Unha relación <math>R</math> é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.

A '''redución reflexiva''' ou '''kernel irreflexivo''' de <math>R</math> é a relación máis pequena (con respecto a <math>\subseteq</math>) en <math>X </math> que ten o mesmo peche reflexivo que <math>R.</math> É igual a <math>R \setminus \operatorname{I}_X = \{ (x, y) \in R ~:~ x \neq y \}.</math> 

A redución reflexiva de <math>R</math> pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de <math>R. </math>
Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica <math> < </math> nos [[número real|reais]] <math>\mathbb{R}</math> é a desigualdade non estrita habitual <math >\leq</math> mentres que a redución reflexiva de <math>\leq</math> é <math><.</math>

=== Definicións relacionadas ===
Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación <math>R</math> chámase:
:; '''{{visible anchor|irreflexiva}}''', '''{{visible anchor|antireflexiva}}''': se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se <math>x R x</math> non vale para ningún <math>x \in X.</math> Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu [[Complementario (conxuntos)|complemento]] en <math>X \times X</math> é reflexivo. Unha [[relación simétrica|relación asimétrica]] é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica.
:; '''{{visible anchor|case reflexiva pola esquerda}}''': se sempre que <math>x, y \in X</math> son tal que <math>x R y,</math> entón necesariamente <math>x R x.</math><ref name="Britannica"> [https://www.britannica.com/topic/formal-logic/Logical-manipulations-in-LPC#ref534730 A Enciclopedia Británica] chama a esta propiedade quase-reflexividade.</ref>
:; '''{{visible anchor|case reflexiva pola dereita}}''': se sempre que <math>x, y \in X</math> son tal que <math> x R y,</math> entón necesariamente <math>y R y.</math>
:; '''{{visible anchor|case reflexiva|case reflexividade}}''' : se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que <math>x, y \in X</math> sexan tal que <math>x R y,</math> entón necesariamente <math>x R x</math> e <math>y R y.</math> De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación <math>R</math> é case- reflexiva se e só se o seu [[peche simétrico]] <math>R \cup R^{\operatorname{T}}</math> é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo.
:; '''[[Relación  simétrica|antisimétrica]]''': se sempre que <math>x, y \in X</math> son tal que <math>x R y \text{ e } y R x,</math> entón necesariamente <math>x = y.</math>
:; '''{{visible anchor|coreflexiva|Coreflexividade|Relación reflexiva}}''': se sempre que <math>x, y \in X</math> son tal que <math>x R y</math> entón necesariamente <math>x = y.</math>{{sfn|ps=|Fonseca de Oliveira|Pereira Cunha Rodrigues|2004|p=337}} Unha relación <math>R</math> é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é [[Relación simétrica|simétrica]].

Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro <math>X</math> non pode ser irreflexiva, nin [[Relación simétrica|asimétrica]] (<math>R</math> chámase {{em|asimétrica}} se <math> x R y</math> non implica <math>y R x</math>), nin [[relación transitiva|antitransitiva]] (<math>R</math> é {{em|antitransitiva}} se <math>x R y \text{ e } y R z</math> implica non <math>x R z</math>).

== Representación ==

Sexa <math>R</math> unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto ''A'', entón ''R'' ten unha representación particular para cada forma de describir unha [[relación binaria]].

{| class="wikitable"
! Notación || Relación reflexiva || Relación antirreflexiva
|-
| Como  pares ordenados  || <math>\forall x\in A, \; (x, x)\in R</math> || <math>\forall x\in A, \; (x, x)\notin R</math>
|-
| Como [[matriz de adxacencia]] || A diagonal principal da matriz conterá só 1's, é dicir, <math>\forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=1.</math> || A diagonal principal da matriz conterá só 0's, é dicir, <math>\forall i=\{1, ..., n\}, \; (a_{i,i})_{n\times n}=0.</math>
|-
| Como [[grafo]] || O grafo conterá [[bucle (teoría de grafos)|bucles]] en todos os seus [[vértice (teoría de grafos)|nodos]]. || O grafo non conterá [[bucle (teoría de grafos)|bucles]] en ningún dos seus [[vértice (teoría de grafos)|nodos]].
|}
== Exemplos ==
Exemplos de relacións reflexivas inclúen:

* "é igual a" (igualdade)
* "é un subconxunto de" 
* "divide a" ([[Divisor|divisibilidade]])
* "é maior ou igual a"
* "é menor ou igual a"

Exemplos de relacións irreflexivas inclúen:

* "non é igual a"
* "é [[Números primos entre si|coprimo]] a" nos enteiros maiores que 1
* "é un [[subconxunto]] propio de"
* "é maior que"
* "é menor que"
{{Clear}}

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro |first1=D.S. |last1=Clarke |first2=Richard |last2=Behling |year=1998 |title=Deductive Logic – An Introduction to Evaluation Techniques and Logical Theory |publisher=University Press of America |isbn=0-7618-0922-8 }}
* {{cita libro|last1=Fonseca de Oliveira |first1=José Nuno |last2=Pereira Cunha Rodrigues |first2=César de Jesus |year=2004 |title=Transposing relations: from Maybe functions to hash tables |journal=Mathematics of Program Construction |publisher=Springer |pages=334–356 }}
* {{cita libro |first1=Alan |last1=Hausman |first2=Howard |last2=Kahane |first3=Paul |last3=Tidman |year=2013 |title=Logic and Philosophy – A Modern Introduction |url=https://archive.org/details/logicphilosophym0000haus |publisher=Wadsworth |isbn=1-133-05000-X }}
* {{cita libro|last1=Levy |first1=A. |year=1979 |title=Basic Set Theory |series=Perspectives in Mathematical Logic |publisher=Dover |isbn=0-486-42079-5 }}
* {{cita libro|last1=Lidl |first1=R. |last2=Pilz |first2=G. |year=1998 |title=Applied abstract algebra |series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-98290-6 }}
* {{cita libro|last1=Quine |first1=W. V. |year=1951 |title=Mathematical Logic |others=Revised Edition, Reprinted 2003 |publisher=Harvard University Press |isbn=0-674-55451-5 }}
* {{cita libro|first1=Bertrand |last1=Russell |author1-link=Bertrand Russell |year=1920 |title=Introduction to Mathematical Philosophy |location=London |publisher=George Allen & Unwin, Ltd. |edition=2nd |url=https://people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf | isbn= }}  (Online corrected edition, Feb 2010)
* {{cita libro|first1=Gunther |last1=Schmidt |year=2010 |title=Relational Mathematics |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76268-7 }}
=== Outros artigos ===
* [[Relación simétrica]].
* [[Relación transitiva]].
* [[Relación de equivalencia]].
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Reflexivity|id=p/r080590}}


{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría da orde]]
[[Categoría:Teoría de conxuntos]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]