Ver o código fonte de «Relación ben ordenada»

En [[matemáticas]], unha '''relación ben ordenada''' nun [[conxunto]] {{Mvar|S}} é unha [[orde total]] en {{Mvar|S}} coa propiedade de que cada [[subconxunto]] [[Conxunto baleiro|non baleiro]] de {{Mvar|S}} ten un [[Elemento maior e menor|elemento menor]] nesta ordenación. O conxunto {{Mvar|S}} xunto coa ordenación chámase entón '''conxunto ben ordenado'''.

Todo conxunto ben ordenado non baleiro ten un elemento menor. Cada elemento {{Mvar|s}} dun conxunto ben ordenado, agás un posíbel [[Elemento maior e menor|elemento maior]], ten un sucesor único (elemento seguinte), é dicir, o elemento menor do subconxunto de todos os elementos maiores que {{Mvar|s}}. Pode haber elementos, alén do elemento menor, que non teñan antecesores (ver abaixo § Números naturais). Un conxunto {{Mvar|S}} ben ordenado contén para cada subconxunto {{Mvar|T}} cun [[Elemento maiorante e minorante|límite superior]] un [[Ínfimo e supremo|límite superior mínimo (supremo)]], é dicir, o elemento mínimo do subconxunto de todos os límites superiores de {{Mvar|T}} en {{Mvar|S}}.

Se ≤ é unha relación ben ordenada non estrita, entón < é unha relación ben ordenada estrita. Unha relación é ben ordenada estrita  se e só se é unha [[Orde total|orde total estrita]] [[Relación ben fundada|ben fundada]]. A distinción entre relacións ben ordenadas  estritas e non estritas adoita ignorarse xa que son facilmente interconvertíbeis.
{{Stack|{{Binary relations}}}}
Todo conxunto ben ordenado ten un [[isomorfismo de orde]] en relación a un [[número ordinal]] único, chamado [[tipo de orde]] do conxunto ben ordenado. O [[teorema de Zermelo]], que é equivalente ao [[axioma da escolla]], afirma que todo conxunto pode estar ben ordenado. 

== Números ordinais ==
A observación de que os [[Número natural|números naturais]] están ben ordenados pola relación usual "menor que", chámase comunmente [[principio de ben ordenado]] (para os números naturais).

Todo conxunto ben ordenado ten un [[isomorfismo de orde]] única a un [[número ordinal]] único, chamado [[tipo de orde]] do conxunto ben ordenado. A posición de cada elemento dentro do conxunto ordenado tamén vén dada por un número ordinal. No caso dun conxunto finito, a operación básica de contar,asigan un número a cada obxecto. O tamaño (número de elementos, [[número cardinal]]) dun conxunto finito é igual ao tipo de orde.<ref>{{cita publicación periódica
 | last1 = Bonnet | first1 = Rémi
 | last2 = Finkel | first2 = Alain
 | last3 = Haddad | first3 = Serge
 | last4 = Rosa-Velardo | first4 = Fernando
 | doi = 10.1016/j.ic.2012.11.003
 | journal = Information and Computation
 | mr = 3016456
 | pages = 1–22
 | title = Ordinal theory for expressiveness of well-structured transition systems
 | volume = 224
 | year = 2013}}</ref> Teña en conta que estes números son un máis que os números ordinais formais segundo a orde isomorfa, porque estes son iguais ao número de obxectos anteriores (o que corresponde a contar desde cero). Así, para {{Mvar|n}} finito, a expresión " {{Mvar|n}}-ésimo elemento" dun conxunto ben ordenado require contexto para saber se isto conta desde cero ou un. Nunha notación " {{Mvar|β}}-ésimo elemento" onde {{Mvar|β}} tamén pode ser un ordinal infinito, normalmente contará desde cero.

Para un conxunto infinito o tipo de orde determina a [[cardinalidade]], mais non á inversa: hai conxuntos ben ordenados dunha cardinalidade particular que poden ter moitos tipos de orde diferentes (ver § Números naturais, a continuación, por exemplo). Para un conxunto [[Conxunto numerable|numerábel infinito]], o conxunto de posíbeis tipos de orde é incontábel.

== Exemplos e contraexemplos ==

=== Números naturais ===
A ordenación estándar ≤ dos [[Número natural|números naturais]] é unha relación ben ordenada e ten a propiedade adicional de que cada número natural distinto de cero ten un único predecesor.

Outra ordenación correcta dos números naturais dáse ao definir que todos os números pares son menores que todos os números impares, e a ordenación habitual aplícase dentro dos pares e dos impares:

: <math>\begin{matrix}
0 & 2 & 4 & 6 & 8 & \dots & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & \dots
\end{matrix}</math>

Este é un conxunto ben ordenado co  tipo de orde {{Math|''ω'' + ''ω''}}. Cada elemento ten un sucesor (non hai un elemento máis grande). Dous elementos carecen de predecesor: 0 e 1.

=== Números enteiros ===
A diferenza da ordenación estándar ≤ dos [[Número natural|números naturais]], a ordenación estándar ≤ dos [[Número enteiro|enteiros]] non é unha relación ben  ordenada, xa que, por exemplo, o conxunto de enteiros [[Número negativo|negativos]] non contén un elemento menor.

A seguinte [[relación binaria]] {{Mvar|R}} é un exemplo de relación ben ordenada dos números enteiros: {{Mvar|x R y}} [[se e só se]] cumpre unha das seguintes condicións:

# {{Math|1=''x'' = 0}}
# {{Mvar|x}} é positivo, e {{Mvar|y}} é negativo
# {{Mvar|x}} e {{Mvar|y}} son positivos, e {{Math|''x'' ≤ ''y''}}
# {{Mvar|x}} e {{Mvar|y}} son negativos, e {{Math|{{abs|''x''}} ≤ {{abs|''y''}}}}

Esta relación {{Mvar|R}} pódese visualizar do seguinte xeito:

: <math>\begin{matrix}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & -1 & -2 & -3 & \dots
\end{matrix}</math>

{{Mvar|R}} é isomorfa ao [[Número ordinal|número]] [[Número ordinal|ordinal]] {{Math|''ω'' + ''ω''}}.

Outra relación ben ordenada dos números enteiros é a seguinte definición: <math>x \leq_z y</math> [[se e só se]]

: <math>|x| < |y| \qquad \text{ou} \qquad |x| = |y| \text{ e } x \leq y.</math>

Esta relación ben ordenada pódese visualizar do seguinte xeito:

: <math>\begin{matrix}
0 & -1 & 1 & -2 & 2 & -3 & 3 & -4 & 4 & \dots
\end{matrix}</math>

Esta ten o tipo de orde {{Mvar|ω}}.

=== Reais ===
A ordenación estándar ≤ de calquera [[Intervalo (matemáticas)|intervalo real]] non é unha relación ben ordenada, xa que, por exemplo, o [[Intervalo (matemáticas)|intervalo aberto]] {{Tmath|(0, 1) \subseteq [0, 1]}} non contén un elemento menor. A partir dos axiomas [[ZFC]] da teoría de conxuntos (incluíndo o [[Axioma da escolla|axioma de escolla]]) pódese demostrar que hai unha relación ben ordenada dos reais. Tamén [[Wacław Sierpiński]] demostrou que ZF + GCH (a [[hipótese do continuo xeneralizada]]) implica o axioma da escolla e, polo tanto, unha relación ben ordenada dos reais. No entanto, é posíbel demostrar que os axiomas ZFC+GCH en solitario non son abondo para demostrar a existencia nos reais dunha relación ben ordenada definíbel (por unha fórmula).<ref>{{cite journal |author-link=Solomon Feferman |first=S. |last=Feferman |title=Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets |journal=[[Fundamenta Mathematicae]] |volume=56 |issue=3 |year=1964 |pages=325–345 |doi=10.4064/fm-56-3-325-345 |url=https://eudml.org/doc/213821 }}</ref>  No entanto, é coherente con ZFC que existe unha relación ben ordenada definíbel dos reais; por exemplo, é consistente con ZFC que [[Axioma de construtibilidade|V=L (axioma de construtibilidade]]), e de ZFC+V=L se desprende que unha fórmula particular ordena ben os reais, ou de feito calquera conxunto.

Un subconxunto incontábel dos números reais coa ordenación estándar ≤ non pode ser unha conxunto ben ordenado Por outra banda, un subconxunto numerábel infinito dos reais pode ser ou non ben ordenado co estándar ≤ . Por exemplo,

* Os números naturais están ben ordenados baixo a ordenación estándar ≤.
* O conxunto <math>\{1/n \,|\, n=1,2,3,\dots\}</math> non ten menor elemento e, polo tanto, non están ben ordenados baixo a ordenación estándar ≤.

== Formulacións equivalentes ==
Se un conxunto está [[Orde total|totalmente ordenado]], entón os seguintes son equivalentes entre si:

# O conxunto está ben ordenado. É dicir, cada subconxunto non baleiro ten un elemento menor.
# A [[Inducción transfinita|indución transfinita]] funciona para todo o conxunto ordenado.
# Toda secuencia estritamente decrecente de elementos do conxunto debe terminar despois dun número finito de pasos (asumindo o [[Axioma de escolla dependente|axioma da escolla dependente]] ).
# Toda suborde é isomorfa a un segmento inicial.

== Topoloxía de orde ==
Todo conxunto ben ordenado pódese converter nun [[espazo topolóxico]] dotándoo da [[topoloxía de orde]].

Con respecto a esta topoloxía pode haber dous tipos de elementos:

* [[Punto illado|puntos illados]]: estes son os mínimos e os elementos cun antecesor.
* [[Punto límite|puntos límite]]: este tipo non aparece en conxuntos finitos, e pode ou non ocorrer nun conxunto infinito; os conxuntos infinitos sen punto límite son os conxuntos de tipo de orde {{Mvar|ω}}, por exemplo os [[Número natural|números naturais]] {{Tmath|\N.}}

Para os subconxuntos podemos distinguir:

* Subconxuntos cun máximo (é dicir, subconxuntos que están [[Conxunto limitado|limitados]] en si mesmos); este pode ser un punto illado ou un punto límite de todo o conxunto; neste último caso pode ser ou non tamén un punto límite do subconxunto.
* Subconxuntos que non están limitados en si mesmos mais están limitados no conxunto completo; non teñen un máximo mais si teñen un supremo fóra do subconxunto; se o subconxunto non está baleiro este supremo é un punto límite do subconxunto e, polo tanto, tamén do conxunto completo; se o subconxunto está baleiro este supremo é o mínimo de todo o conxunto.
* Subconxuntos que son ilimitados en todo o conxunto.

Un subconxunto é [[cofinal]] en todo o conxunto se e só se é ilimitado en todo o conxunto ou ten un máximo que tamén é máximo de todo o conxunto.

Un conxunto ben ordenado como espazo topolóxico é un [[Primeiro axioma de numerabilidade|primeiro espazo contábel]] se e só se ten un tipo de orde menor ou igual a ω<sub>1</sub> ([[Primeiro ordinal incontábel|omega-uno]]), é dicir, se e só se o conxunto é [[Conxunto numerable|contábel]] ou ten o menor número dentro dos tipos de orde [[Contábel|incontábeis]].

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro | last = Folland | first = Gerald B. | author-link = Gerald Folland
  | title = Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications | url = https://archive.org/details/realanalysismode0000foll_q2y3 | edition = 2nd
  | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | series = Pure and applied mathematics | year = 1999
  | isbn = 978-0-471-31716-6
  | pages = [https://archive.org/details/realanalysismode0000foll_q2y3/page/n23 4]–6,&nbsp;9}}
=== Outros artigos ===
* [[Conxunto dirixido]]
* [[Conxunto parcialmente ordenado]]
* [[Relación binaria]]
=== Ligazóns externas ===
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Well-ordered_set Encyclopedia of mathematics].

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Teoría da orde]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]