Ver o código fonte de «Rango (álxebra linear)»

* o '''rango dunha familia de [[vector|vectores]]''' é a [[dimensión]] do [[subespazo vectorial]] xerado por esta familia. Por exemplo, para unha familia de vectores [[Independencia linear|linearmente independentes]], o seu rango é o número de vectores;
* o '''rango dun [[Aplicación linear|mapa linear]]''' <math>
 f
</math> de <math>
 E
</math> en <math>
 F
</math> é a dimensión da súa [[Imaxe (matemáticas)|imaxe]], que é un subespazo vectorial de <math>
 F
</math>. O [[teorema do rango]] relaciona a dimensión de <math>
 E
</math>, a dimensión do [[Kernel (álxebra)|kernel]] de <math>
 f
</math> e o rango de <math>
 f
</math>;
* o '''rango dunha [[Matriz (matemáticas)|matriz]]''' é o rango do mapa linear que representa, ou o rango da familia dos seus [[Vector columna|vectores columna]];
* O '''rango dun [[Sistema de ecuacións lineais|sistema de ecuacións lineares]]''' é o número de ecuacións que ten calquera [[Matriz escalonada|sistema escalonado]] equivalente. É igual ao rango da matriz de coeficientes do sistema.

== Rango dunha matriz ==
O rango dunha matriz <math>A</math> (cuxos coeficientes pertencen a un [[Corpo (álxebra)|corpo conmutativo]] de [[Escalar|escalares]], <math>\mathbb{K}</math> ), denotado <math>\text{rank}(A)</math>, pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados:

* o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
* a dimensión do [[subespazo vectorial xerado]] polos vectores fila (ou columna) de <math>A</math>;
* a maior orde das [[Matriz (matemáticas)|matrices cadradas]] [[Matriz invertíbel|invertíbeis]] extraídas de <math>A</math>;
* a maior das ordes de [[Menor (álxebra linear)|menores]] non nulos de <math>A</math>;
* o menor tamaño das matrices <math>B</math> e <math>C</math> cuxo produto é igual a <math>A</math>.

O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o [[Eliminación de Gauss|método Gauss-Jordan]] e examinando a [[Matriz escalonada|forma escalonada]] obtida deste xeito.

=== Exemplo ===
Considere a seguinte matriz :

:<math>
 A =
 \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 2 & 3 \\
  2 & 0 & 4 & 6 \\
  0 & 2 & 2 & 0 \\
  1 & 2 & 4 & 3 \\
 \end{pmatrix}
</math>

Chamamos <math>l_1,l_2,l_3,l_4</math> os vectores formados polas catro filas de <math>A</math>.

Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de <math>A</math> é igual ao da familia <math>(l_1,l_3,l_4)</math> .

Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i.e. <math>l_4 = l_1 + l_3</math> ). Entón o rango de <math>(l_1,l_3,l_4)</math> é igual ao de <math>(l_1,l_3)</math> .

As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que <math>(l_1,l_3)</math> é de rango 2 e por tanto o rango de <math>A</math> é 2.

== Rango dunha [[Forma cadrática|forma cuadrática]] ==
O [[Forma cadrática|rango dunha forma cuadrática]] é o rango da matriz asociada.

== Rango dun mapa linear ==
Dados dous <math>K</math>-espazos vectoriais <math>E</math>, <math>F</math>, onde <math>K</math> é un corpo conmutativo e un mapa linear <math>f</math> de <math>E</math> en <math>F</math>, o rango de <math>f</math> é a dimensión da [[Imaxe (matemáticas)|imaxe]] <math>f</math>.

Se <math>E</math> e <math>F</math> son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada <math>f</math> en dúas [[Base (álxebra linear)|bases]] de <math>E</math> e <math>F</math>. En particular, o rango da matriz asociada <math>f</math> non depende das bases escollidas para representar <math>f</math>. De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva <math>\text{rank}\left(P^{-1}AQ\right) = \text{rank}(A)</math>, onde <math>A</math> é a matriz que representa <math>f</math> nun primeiro par de bases, e <math>P</math>, <math>Q</math> son as [[Matriz de paso|matrices de cambio de bases]].

== Rango dunha familia de vectores ==

* Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
* Tamén podemos definir o rango dunha familia <math>u</math> por : <math>\text{rank}(u) = \dim(\text{Vect}(u))</math> .

Nota : se <math>(u_1,\dots,u_n)</math> é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a <math>n</math>, entón o rango de <math>u</math> é o rango do mapa linear <math display="block">\mathbb{K}^n\rightarrow E:(r_1,\dots,r_n)\mapsto \sum r_iu_i</math>Onde <math>\mathbb{K}</math> é o corpo dos escalares. A razón é esta : <math>\text{Vect}(u)</math> é a imaxe deste mapa linear.

== Teorema do rango ==
[[Teorema do rango]]: sexa <math>f</math> unha aplicación linear de <math>E</math> en <math>F</math>, <math>\dim(E) = \text{rank}(f) + \dim(\text{Ker}(f))</math>

== Caso no que o corpo dos escalares non é conmutativo ==
No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.

Sexa <math>K</math> un corpo non necesariamente conmutativo e <math>M</math> unha matriz con ''m'' filas e ''n'' columnas con coeficientes en <math>\mathbb{K}</math>. Chamamos '''rango''' de <math>M</math> (en relación con <math>K</math>) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de <math>M</math> en <math>
K^{m}</math> equipado coa súa estrutura de <math>K</math>-espazo vectorial pola '''dereita'''<ref>Definición conforme a N. Bourbaki, ''Algèbre'', partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, definición 7.</ref>. Demostramos que o rango de <math>M</math> tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de <math>M</math> en <math>\mathbb{K}^n</math> equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola '''esquerda'''<ref>Ver N. Bourbaki, ''Algèbre'', partie I, Paris, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10.</ref>.

Considere por exemplo un corpo non conmutativo ''K'' e a matriz <math>
 A :=
 \begin{pmatrix}
  a & 1\\
  ca & c\\
  \end{pmatrix}
</math>, onde <math>a</math> e <math>c</math> son dous elementos de <math>K</math> que non conmutan (e son distintos de cero).

As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola '''esquerda''' <math>K^2</math>, porque <math>c(a, 1) - (ca, c) = (0, 0)</math>. Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola '''dereita''' <math>K^2</math>, porque <math>(a, ca) - (1, c)a = (0, 0)</math>. O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.

Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial '''pola esquerda''' <math>K^2</math>. De feito, sexan <math>d</math>, <math>e</math> escalares tal que <math>d(a, ca) + e(1, c) = (0, 0)</math>. Entón (primeiros compoñentes) <math>e = -da</math>, polo tanto (segundos compoñentes) <math>dca - dac = 0</math>. Posto que <math>a</math>, <math>c</math>  non  conmutan, isto resulta en <math>d = 0</math> (ao multiplicar por <math>d^{-1}</math> obtemos unha contradición) . Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial '''pola esquerda''' <math>K^2</math>.
== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro| author = Roger A. Horn and Charles R. Johnson| title = Matrix Analysis| year = 1985| publisher = Cambridge University Press| isbn = 978-0-521-38632-6 }}
* Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_vectors.pdf] and System of Equations [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_system.pdf]
* Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#rank]
=== Outros artigos ===
* [[Rango dun módulo libre]].
=== Ligazóns externas ===
* [https://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix+rank+calculator WolframAlpha matrix rank calculator].
{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra lineal]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]