Ver o código fonte de «Produto de Hadamard»

[[Ficheiro:Hadamard_product_qtl1.svg|miniatura| O produto de Hadamard opera sobre matrices de forma idéntica e produce unha terceira matriz das mesmas dimensións.]]
En [[matemáticas]], o '''produto de Hadamard''' (tamén coñecido como '''produto elemento a elemento''' ou '''produto de Schur'''<ref>{{cita revista|last=Davis|first=Chandler|year=1962|title=The norm of the Schur product operation|journal=Numerische Mathematik|volume=4|pages=343–44|doi=10.1007/bf01386329|number=1}}</ref>) é unha [[operación binaria]] que toma dúas [[Matriz (matemáticas)|matrices]] das mesmas dimensións e devolve unha matriz dos elementos correspondentes multiplicados. Esta operación pódese pensar como unha "multiplicación matricial inxenua" e é diferente do [[Produto de matrices|produto matricial]]. Atribúese e recibe o nome do matemático francés [[Jacques Hadamard]] ou do matemático ruso-alemán [[Issai Schur]].

O produto de Hadamard é [[Asociatividade (álxebra)|asociativo]] e [[Distributividade|distributivo]]. A diferenza do produto matricial, tamén é [[Conmutatividade|conmutativo]].<ref name=":1">{{Cita web|last=Million|first=Elizabeth|date=April 12, 2007|title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|access-date=September 6, 2020|website=buzzard.ups.edu}}</ref>

== Definición ==
Para dúas matrices {{Math|''A''}} e {{Math|''B''}} da mesma dimensión {{Math|''m'' × ''n''}}, o produto de Hadamard <math>A \odot B</math> (ás veces <math>A \circ B</math><ref>{{cita web|url=https://machinelearning.wtf/terms/hadamard-product/|title=Hadamard product - Machine Learning Glossary|website=machinelearning.wtf}}</ref><ref>{{cita web|url=https://math.stackexchange.com/q/815315 |title=linear algebra - What does a dot in a circle mean?|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref><ref>{{cita web|url=https://math.stackexchange.com/a/601545/688715|title=Element-wise (or pointwise) operations notation?|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>) é unha matriz da mesma dimensión que os operandos, con elementos dados por <ref name=":1"></ref>

: <math>(A \odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.</math>

Para matrices de diferentes dimensións ( {{Math|''m'' × ''n''}} e {{Math|''p'' × ''q''}}, onde {{Math|''m'' ≠ ''p''}} ou {{Math|''n'' ≠ ''q''}} ), o produto de Hadamard non está definido.

Por exemplo, o produto Hadamard para dúas matrices arbitrarias de 2&nbsp;×&nbsp;3  sería:

: <math> 
 \begin{bmatrix}
  2 & 3 & 1 \\
  0 & 8 & -2
 \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}
  3 & 1 & 4 \\
  7 & 9 & 5
 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  2 \times 3 & 3 \times 1 & 1 \times 4 \\
  0 \times 7 & 8 \times 9 & -2 \times 5
 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  6 & 3 & 4 \\
  0 & 72 & -10
 \end{bmatrix}
</math>

== Teorema do produto de Schur ==
{{Main|Teorema do produto de Schur}}
O produto de Hadamard de dúas [[Matriz definida|matrices positivas-semidefinidas]] é positiva-semidefinida.<ref name=":1"></ref>  Isto coñécese como o teorema do produto de Schur<ref name="hadamardpdf1">{{cita web|last=Million| first=Elizabeth | title=The Hadamard Product|url=http://buzzard.ups.edu/courses/2007spring/projects/million-paper.pdf|access-date=2 January 2012}}</ref>. Para dúas matrices positivas-semidefinidas {{Mvar|A}} e {{Mvar|B}}, tamén se sabe que o [[Determinante (matemáticas)|determinante]] do seu produto de Hadamard é maior ou igual ao produto dos seus respectivos determinantes:<ref name=styan1973>{{Cita libro | doi=10.1016/0024-3795(73)90023-2 | last=Styan | first=George P. H. | title=Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis | journal=Linear Algebra and Its Applications | year=1973 | volume=6 | pages=217–240 }}</ref> 
:<math>\det({A} \odot {B}) \ge \det({A}) \det({B}).</math>

== Aplicacións ==
O produto Hadamard aparece en algoritmos [[Algoritmo de compresión con perda|de compresión con perdas]] como [[JPEG]]. O paso de decodificación implica un produto de elemento por elemento, noutras palabras, o produto Hadamard.

Tamén se usa para estudar as propiedades estatísticas de vectores aleatorios e matrices.<ref>
{{cita revista
|last1=Neudecker|first1=Heinz|last2=Liu|first2=Shuangzhe|last3=Polasek|first3=Wolfgang
|year=1995
|title= The Hadamard product and some of its applications in statistics
|journal= Statistics |volume=26|issue=4|pages=365–373|doi=10.1080/02331889508802503 }}
</ref><ref>
{{cita revista
|last1=Neudecker|first1=Heinz|last2=Liu|first2=Shuangzhe 
|year=2001
|title= Some statistical properties of Hadamard products of random matrices
|journal= Statistical Papers|volume=42|issue=4 |pages=475–487|doi=10.1007/s003620100074 }}
</ref>

== Notas ==
{{Listaref|30em}} 

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Punto a punto]]

=== Ligazóns externas ===
* [https://arxiv.org/abs/1504.04301 Hadamard Products of Linear Spaces ([[ArXiv]])].

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Matrices]]