Ver o código fonte de «Problema de Monty Hall»


O '''problema de Monty Hall''' ou '''paradoxo de Monty Hall''' é un problema matemático de [[probabilidade]] baseado no [[Concurso de televisión|concurso televisivo]] [[Estados Unidos de América|estadounidense]] ''Trato feito'' (''Let's Make a Deal''). O problema foi exposto e resolto polo matématico [[Steve Selvin]], na revista [[American Statistician]] en 1975. O problema foi bautizado co nome do presentador de devandito concurso, Monty Hall. En España o mesmo tipo de problema aparecía no concurso televisivo [[:es:Un,_dos,_tres..._responda_otra_vez|Un, dos, tres... responda otra vez]].

== A premisa ==
O concursante debe escoller unha porta entre tres (todas pechas); o premio consiste en levarse o que se atopa detrás da escollida. Sábese con certeza que tras unha delas ocúltase un [[automóbil]], e tras as outras dúas hai [[Capra (xénero)|cabras]]. Unha vez que o concursante elixa unha porta e comunicado a súa elección aos presentes, o presentador, que sabe o que hai detrás de cada porta, abrirá unha das outras dúas, na que haberá unha cabra. A continuación, dálle a opción ao concursante de mudar, se o desexa, de porta (ten dúas opcións). Debe o concursante manter a súa elección orixinal ou escoller a outra porta? Hai algunha diferenza?

Esa pregunta xerou un intenso debate. Como a resposta correcta parece contradicir a intuición, é un [[paradoxo]]. 

No concurso "''un, dos, tres ... responda otra vez''", unha porta tiña un coche, outra unha cabaza e outra un regalo ruín.

=== A premisa concreta ===
A mecánica do concurso é a seguinte:

* Ao concursante ofréceselle a posibilidade de escoller unha entre tres portas. Tras unha delas atópase un coche, e tras as outras dúas hai senllas cabras. O concursante gaña o premio que se oculta detrás da porta que escolla.
* Despois de que o concursante escolla unha porta, o presentador abre unha das outras dúas portas, mostrando unha cabra. Sempre pode facelo, xa que mesmo se o concursante escolleu unha cabra, fica outra entre as portas que descartou e o presentador coñece o que hai detrás de cada porta.
* Entón, ofrece ao concursante a ''posibilidade de cambiar a súa elección inicial'' e escoller a outra porta que descartou orixinalmente, que continúa pechada.

A pregunta oportuna é: debe facelo ou non?

== A solución ==

=== Un estudo probabilístico ===
A probabilidade de que o concursante escolla na súa primeira oportunidade a porta que oculta o coche é de 1/3, polo que a [[probabilidade]] de que o coche se atope nunha das portas que non escolleu é de 2/3. Que muda cando o presentador mostra unha cabra tras unha das outras dúas portas?

Unha suposición errónea é que, unha vez só fiquen dúas portas, ambas teñen a mesma probabilidade (é 1/2) de conter o coche. É errónea xa que o presentador abre a porta ''despois'' da elección do xogador. Isto é, a elección do xogador afecta á porta que abre o presentador. Non é un suceso aleatorio nin inconexo.

Se o xogador escolle na súa primeira opción a porta que contén o coche (cunha probabilidade de 1/3), entón o presentador pode abrir calquera das outras dúas portas. Ademais, o xogador perde o coche se cambia cando se lle ofrece a oportunidade, posto que acertara na primeira escolla.

Mais, se o xogador escolle unha cabra na súa primeira opción (cunha probabilidade de 2/3), o presentador ''só'' ten a opción de abrir unha porta, e esta é a única porta restante que contén unha cabra. Nese caso, a porta restante ''ten'' que conter o coche, polo que mudando gaña o coche con seguridade, posto que escollera unha cabra na primeira opción.

En resumo, se mantén a súa elección orixinal gaña se escolleu orixinalmente o coche (con probabilidade de 1/3), mentres que se muda, gaña se escolleu orixinalmente unha das dúas cabras (con probabilidade de 2/3). Por tanto, o concursante debe cambiar a súa elección se quere maximizar a probabilidade de gañar o coche.<ref>{{Cita libro|title=Monty Hall Problem|author=Christopher Williams, Adam Strandberg, Ansh Bhatt|publisher=Brilliant Math|url=https://brilliant.org/wiki/monty-hall-problem/|}}</ref>

{| class="wikitable" style="margin:left; text-align: center;"
!Detrás da porta 1
!Detrás da porta 2
!Detrás da porta 3
!Resultado se mantén<br />a selección da porta 1
!Resultado se<br />cambia de porta
|-
|Cabra
|Cabra
|{{Color|green|Coche}}
|Gañar unha cabra
|Gañar un {{Color|green|coche}}
|-
|Cabra
|{{Color|green|Coche}}
|Cabra
|Gañar unha cabra
|Gañar un {{Color|green|coche}}
|-
|{{Color|green|Coche}}
|Cabra
|Cabra
|Gañar un {{Color|green|coche}}
|Gañar unha cabra
|}

== Fórmula matemática ==
A solución cunha ecuación matemática para un problema xenérico cun total de {{Mvar|t}} portas totais, {{Mvar|n}} portas escollidas ao principio e {{Mvar|l}} portas que se abren nas que  non está o coche.{{Ecuación|<math>P[A]=100\times \frac{n+l}{t}\%</math>||center}}

== Notas == 
{{reflist|30em}} 


== Véxase tamén ==
{{commons|Monty Hall problem}}

=== Bibliografía ===
* Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". ''The Mathematical Scientist'' 17, no. 2, pp. 89–94
* Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". ''Journal of Recreational Mathematics'' 1995, pp.{{esd}}1–9.
* Joseph Bertrand (1889) ''Calcul des probabilites''
* Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, ''Scientific American'', October 1959, pp. 180–182. Reprinted in ''The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions''.
* <span class="citation" id=refGnedin2011>Gnedin, Sasha  "The Mondee Gills Game."  ''The Mathematical Intelligencer'', 2011 {{Enlace roto|1=http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf |2=http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf |bot=InternetArchiveBot }} </span>
* Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", ''Bridge Today'', May-June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), ''For Experts Only'', Granovetter Books.

* Nahin, Paul J. ''Duelling idiots and other probability puzzlers''. [[Princeton University Press]], Princeton, NJ: 2000, pp. 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).
* Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). ''American Statistician'' 29(1):67 (February 1975).
* Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). ''American Statistician'' 29(3):134 (August 1975).
* Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", ''The New York Times'' [[21 July]] 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
* Tijms, Henk (2004). ''Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life''. [[Cambridge University Press]], New York, pp. 213-215.
* Ziemer, Rodger E. (1997). ''Elements of Engineering Probability & Statistics''. Prentice Hall, pp. 31-32.

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Probabilidade]]