Ver o código fonte de «Polinomios de Chebyshev»

Os '''polinomios de Chebyshev''' son dúas secuencias de [[Polinomio|polinomios]] relacionadas coas [[Función trigonométrica|funcións coseno e seno]], escritas como <math>T_n(x)</math> e <math>U_n(x)</math>. Pódense definir de varias formas equivalentes, unha das cales comeza con [[Función trigonométrica|funcións trigonométricas]]:

Os '''polinomios de Chebyshev do primeiro tipo''' <math>T_n</math> están definidos por
: <math>T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).</math>
Os '''polinomios de Chebyshev do segundo tipo''' <math>U_n</math> están definidos por
: <math>U_n(\cos \theta) \sin \theta = \sin\big((n + 1)\theta\big).</math>
Que estas expresións definen polinomios en <math>\cos\theta</math> pode non ser obvio a primeira vista, mais conséguese escribindo <math>\cos(n\theta)</math> e <math>\sin\big((n+1)\theta\big)</math> coa  [[Fórmula de De Moivre|fórmula de de Moivre]] ou mediante as [[Lista de identidades trigonométricas|fórmulas de suma de ángulos]] para <math>\cos</math> e <math>\sin</math> repetidamente. Por exemplo, coas [[Lista de identidades trigonométricas|fórmulas de ángulo duplo]], obtemos 
: <math>T_2(\cos\theta) = \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta-1</math>,
: <math>U_1(\cos\theta)\sin\theta = \sin(2\theta) = 2\cos\theta\sin\theta</math>, 

que son respectivamente un polinomio en <math>\cos\theta</math> e un polinomio en <math>\cos\theta</math> multiplicado por <math>\sin\theta</math>. De aí 
: <math>T_2(x) = 2x^2 - 1</math> e 
: <math>U_1(x) = 2x</math>.

Unha propiedade importante e conveniente dos {{Math|''T<sub>n</sub>''(''x'')}} é que son ''[[Funcións ortogonais|ortogonais]]'' con respecto ao [[produto interno]]
: <math>\langle f, g\rangle = \int_{-1}^1 f(x) \, g(x) \, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}},</math>
e os {{Math|''U''<sub>''n''</sub>(''x'')}} son ortogonais con respecto a outro produto interno análogo, que se indica máis abaixo.

Os polinomios de Chebyshev {{Math|''T<sub>n</sub>''}} son polinomios co maior coeficiente posible cuxo [[valor absoluto]] no [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] [−1, 1] está limitado por 1. Tamén son os polinomios "extremos" de moitas outras propiedades.<ref>{{cita libro |last=Rivlin |first=Theodore J. |year=1974 |title=The Chebyshev Polynomials |url=https://archive.org/details/chebyshevpolynom0000rivl |edition=1st |chapter=Chapter &nbsp;2, Extremal properties |pages=[https://archive.org/details/chebyshevpolynom0000rivl/page/56 56]–123 |series=Pure and Applied Mathematics |publisher=Wiley-Interscience [John Wiley & Sons] |place=New York-London-Sydney |isbn=978-047172470-4}}</ref>

En 1952, [[Cornelius Lanczos]] demostrou que os polinomios de Chebyshev son importantes na [[teoría da aproximación]] para a solución de sistemas lineares;<ref>{{ cita libro  | title=Solution of systems of linear equations by minimized iterations | year=1952 | pages=33 | journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards | doi=10.6028/jres.049.006 | volume=49 | issue=1 | last1=Lanczos | first1= C. }}</ref> as [[Raíz dunha función|raíces]] de {{Math|''T<sub>n</sub>''(''x'')}}, que tamén se denominan ''[[Nodos de Chebyshev|nós de Chebyshev]]'', úsanse como puntos de correspondencia para optimizar a [[interpolación polinómica]]. O polinomio de interpolación resultante minimiza o problema do [[fenómeno de Runge]] e proporciona unha aproximación que se aproxima á mellor aproximación polinómica a unha [[función continua]] baixo a [[norma máxima]], tamén chamada criterio [[minimax]]. Esta aproximación leva directamente ao método da [[cuadratura de Clenshaw-Curtis]].

Estes polinomios recibiron o nome de [[Pafnuty Chebyshev]] <ref>Chebyshev polynomials were first presented in {{cita libro|last = Chebyshev |first= P. L. |year= 1854 |title= Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes |language= fr |journal= Mémoires des Savants étrangers présentés à l'Académie de Saint-Pétersbourg |volume= 7 |pages= 539–586 }}</ref> A letra {{Mvar|T}} úsase polas [[Transliteración|transliteracións]] alternativas do nome ''Chebyshev'' como {{Lang|fr|Tchebycheff}}, {{Lang|fr|Tchebyshev}}(francés) ou {{Lang|de|Tschebyschow}} (alemán).

== Definicións ==

=== Definición de recorrencia ===
[[Ficheiro:Chebyshev_Polynomials_of_the_First_Kind.svg|miniatura| Gráfico dos primeiros cinco polinomios {{Mvar|T<sub>n</sub>}} de Chebyshev (primeiro tipo)]]
Os '''polinomios de Chebyshev do primeiro tipo''' obtéñense da [[relación de recorrencia]]:<math display="block">\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2 x\,T_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}</math>
A recorrencia permite tamén unha representación explícita como o determinante dunha matriz tridiagonal de tamaño <math>k \times k</math> :
<math display="block">T_k(x) = \det
\begin{bmatrix}
     x &   1 &   0 & \cdots & 0   \\
     1 &   2x &   1 & \ddots & \vdots \\
     0 &   1 &   2x & \ddots & 0   \\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1   \\
     0 & \cdots &   0 &   1 & 2x
\end{bmatrix}</math>

A [[función xeradora]] ordinaria ven dada por <math display="block">\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\,t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.</math>
A [[función xeradora exponencial]] é:
<math display="block">\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{2}\!\left( e^{t\left(x-\sqrt{x^2 - 1} \right)} + e^{t\left(x+\sqrt{x^2 -1}\right)}\right)
= e^{tx}\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right).</math>
[[Ficheiro:Chebyshev_Polynomials_of_the_Second_Kind.svg|miniatura| Gráfico dos primeiros cinco polinomios {{Mvar|U<sub>n</sub>}} de Chebyshev (segundo tipo)]]
Os '''polinomios de Chebyshev do segundo tipo''' están definidos por unha relación de recorrencia:<math display="block">\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2 x \\
U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}</math>
Observemos que os dous conxuntos de relacións de recorrencia son idénticos, agás <math>T_1(x) = x</math> versus {{Nowrap|<math>U_1(x) = 2x</math>.}}

A función xeradora ordinaria para {{Mvar|U<sub>n</sub>}} é:
<math display="block">\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\,t^n = \frac{1}{1 - 2 t x+t^2},</math>
e a función xeradora exponencial é:
<math display="block">\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\frac{t^n}{n!} = e^{tx}\!\left(\!\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right) + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \sinh\left(t\sqrt{x^2-1}\right)\!\right).</math>

=== Definición trigonométrica ===
Como se describe na introdución, os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo poden definirse como os polinomios únicos que satisfán:
<math display="block">T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)</math>
ou, noutras palabras, como os únicos polinomios  que satisfán:
<math display="block">T_n(x) = \begin{cases}
\cos(n \arccos x) & \text{ if }~ |x| \le 1 \\
\cosh(n \operatorname{arcosh} x)      & \text{ if }~ x \ge 1 \\ 
(-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1 
\end{cases}</math>

Os polinomios do segundo tipo satisfán:
<math display="block">U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta),</math>
que ven sendo
<math display="block">U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta},</math>para {{Math|1=''n'' = 0, 1, 2, 3, …}}.

Os polinomios de Chebyshev pódense definir desta forma cando se estudan [[polinomios trigonométricos]].<ref>{{Cita libro |last=Schaeffer |first=A. C. |date=1941 |title=Inequalities of A. Markoff and S. Bernstein for polynomials and related functions |url=https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-47/issue-8/Inequalities-of-A-Markoff-and-S-Bernstein-for-polynomials-and/bams/1183503783.full |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=47 |issue=8 |pages=565–579 |doi=10.1090/S0002-9904-1941-07510-5 |issn=0002-9904}}</ref>.
Dita forma ten unha estrutura bastante semellante ao [[núcleo de Dirichlet]] 
<math display="block">D_n(x) = \frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{x}{2}\,\right)}{\sin \dfrac{x}{2}} 
= U_{2n}\!\!\left(\cos \frac{x}{2}\right).</math>
(O núcleo de Dirichlet, de feito, coincide co que agora se coñece como o polinomio de Chebyshev do cuarto tipo).

Unha forma equivalente de ver isto  é mediante a exponenciación dun [[número complexo]], dado un número complexo {{Math|1=''z'' = ''a'' + ''bi''}} con valor absoluto de 1:
<math display="block">z^n = T_n(a) + ib U_{n-1}(a).</math>

Que {{Math|cos ''nx''}} é un polinomio de grao {{Mvar|n}}  en {{Math|cos ''x''}} pódese ver observando que {{Math|cos ''nx''}} é a [[Número complexo|parte real]] do lado dereito da fórmula de Moivre:<math display="block">\cos n \theta + i \sin n \theta = (\cos \theta + i \sin \theta)^n.</math>A parte real  é un polinomio en {{Math|cos ''x''}} e {{Math|sin ''x''}}, no que todas as potencias de {{Math|sin ''x''}} son [[Paridade (matemáticas)|pares]] e así substituíbles mediante a identidade {{Math|1=cos<sup>2</sup> ''x'' + sin<sup>2</sup> ''x'' = 1}}. Polo mesmo razoamento, {{Math|sin ''nx''}} é a [[Número complexo|parte imaxinaria]] do polinomio, na que todas as potencias de {{Math|sin ''x''}} son [[Paridade (matemáticas)|impares]] e, polo tanto, se se factoriza un factor de {{Math|sin ''x''}}, os restantes factores pódense substituír para crear un polinomio de grao {{Math|(''n''−1)}} en {{Math|cos ''x''}}.

=== Definición mediante a ecuación de Pell ===
Podemos definir os polinomios de Chebyshev como as solucións da [[ecuación de Pell]] :
<math display="block">T_n(x)^2 - \left(x^2 - 1\right) U_{n-1}(x)^2 = 1</math>
nun [[Anel (álxebra)|anel]] {{Math|''R''[''x'']}}<ref>{{cita libro |first=Jeroen |last=Demeyer |url=http://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf |title=Diophantine Sets over Polynomial Rings and Hilbert's Tenth Problem for Function Fields |archive-url=https://web.archive.org/web/20070702185523/https://cage.ugent.be/~jdemeyer/phd.pdf |archive-date=2007-07-02 |degree=Ph.D. |year=2007 |page=70}}</ref>. Así, pódense xerar mediante a técnica estándar para as ecuacións de Pell de toma de potencias dunha solución fundamental:<math display="block">T_n(x) + U_{n-1}(x)\,\sqrt{x^2-1} = \left(x + \sqrt{x^2-1}\right)^n~. </math>

== Relacións entre os dous tipos de polinomios de Chebyshev ==
Os polinomios de Chebyshev do primeiro e do segundo tipo corresponden a un par complementario de [[Secuencia de Lucas|secuencias de Lucas]] {{Math|''Ṽ<sub>n</sub>''(''P'', ''Q'')}} e {{Math|''Ũ<sub>n</sub>''(''P'', ''Q'')}} cos parámetros {{Math|1=''P'' = 2''x''}} e {{Math|1=''Q'' = 1}}:
<math display="block">\begin{align}
{\tilde U}_n(2x,1) &= U_{n-1}(x), \\
{\tilde V}_n(2x,1) &= 2\, T_n(x).
\end{align}
</math>
Así conseguimos tamén  un par de ecuacións de recorrencia mutua: <ref name="BatemanVol2">{{cita libro |author1-last=Bateman |author1-first=Harry |author1-link=Harry Bateman |author2=Bateman Manuscript Project |editor1-last=Erdélyi |editor1-first=Arthur |editor1-link=Arthur Erdélyi |title=Higher Transcendental Functions |others=Research associates: [[Hans Heinrich Wilhelm Magnus|W. Magnus]], [[Francesco Giacomo Tricomi|F. Tricomi]] <!-- others involved include David Bertin, Watson B. Fulks, Albert Raymond Harvey, Donald L. Thomsen Jr., Maria A. Weber; Eoin Laird Whitney, Rosemarie Stampfel --> |year=1953 |publisher=McGraw-Hill |edition=1st |volume=II |publication-place=New York |at=[https://archive.org/details/highertranscende02bate/page/184/], eq. (3), (4) |lccn=53-5555 |url=https://authors.library.caltech.edu/records/cnd32-h9x80 }} Reprint: 1981. Melbourne, FL: Krieger. {{ISBN|0-89874-069-X}}.</ref>
<math display="block">\begin{align}
T_{n+1}(x) &= x\,T_n(x) - (1 - x^2)\,U_{n-1}(x), \\
U_{n+1}(x) &= x\,U_n(x) + T_{n+1}(x).
\end{align}</math>

Podemos reorganizar o segundo usando a definición de recorrencia para os polinomios de Chebyshev do segundo tipo para dar:
<math display="block">T_n(x) = \frac{1}{2} \big(U_n(x) - U_{n-2}(x)\big).</math>

Usando iterativamente esta ecuación dá a fórmula da suma:<math display="block">
U_n(x) = \begin{cases}
2\sum_{\text{ odd }j}^n T_j(x)      & \text{ for odd }n.\\
2\sum_{\text{ even }j}^n T_j(x) + 1      & \text{ for even }n,
\end{cases}
</math>aquí substituímos <math>U_n(x)</math> e <math>U_{n-2}(x)</math> utilizando a fórmula da derivada para <math>T_n(x)</math> dá a relación de recorrencia para a derivada de <math>T_n</math>:
<math display="block">2\,T_n(x) = \frac{1}{n+1}\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n-1}(x), \qquad n=2,3,\ldots</math>
Os polinomios de Chebyshev cumpren as  [[As desigualdades de Turán|desigualdades de Turán]] coa seguinte expresión:
<ref>{{cita libro|mr=0040487 | last1=Beckenbach | first1= E. F.| last2= Seidel|first2= W.| last3= Szász|first3= Otto | title=Recurrent determinants of Legendre and of ultraspherical polynomials | journal=Duke Math. J. | volume= 18 | year=1951 | pages= 1–10 | doi=10.1215/S0012-7094-51-01801-7}}</ref>
<math display="block">\begin{align}
T_n(x)^2 - T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&= 1-x^2 > 0 &&\text{ for } -1<x<1 &&\text{ and }\\
U_n(x)^2 - U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&= 1 > 0~.
\end{align}</math>
As relacións con [[Integral|integrais]] son {{R|BatemanVol2}} {{sfn|Mason|Handscomb|2002}}
<math display="block">\begin{align}
\int_{-1}^1 \frac{T_n(y)}{y-x} \, \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1 - y^2}} &= \pi\,U_{n-1}(x)~, \\[1.5ex]
\int_{-1}^1\frac{U_{n-1}(y)}{y-x}\, \sqrt{1 - y^2}\mathrm{d}y &= -\pi\,T_n(x)
\end{align}</math>
onde as integrais son consideradas como valor principal.

== Expresións explícitas ==
Diferentes enfoques para definir os polinomios de Chebyshev conducen a diferentes expresións explícitas. A definición trigonométrica dá unha fórmula explícita como segue:<math display="block">\begin{align}
T_n(x)  & = \begin{cases}
\cos(n\arccos x) \qquad \quad & \text{ para }~ -1 \le x \le 1 \\
\cosh(n \operatorname{arcosh}x) \qquad \quad & \text{ para }~ 1 \le x \\
(-1)^n \cosh\big(n \operatorname{arcosh}(-x)\big) \qquad \quad & \text{ para }~ x \le -1
\end{cases}
\end{align}</math>A partir desta forma trigonométrica, podemos calcular a recorrencias con condicións iniciais:<math display="block">T_0(\cos\theta) = \cos(0\theta) = 1</math><math display="block">T_1(\cos\theta) = \cos\theta ,</math>e tendo en conta que a identidade trigonométrica de produto a suma cumpre:<math display="block">2\cos n\theta\cos\theta = \cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos\lbrack (n-1)\theta\rbrack.</math>Usando a definición de exponenciación de números complexos dos polinomios de Chebyshev, pódese obter as seguintes expresións equivalentes:<math display="block"> T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x+\sqrt{x^2-1} \Big)^n \bigg)  \qquad \text{ para }~ x \in \mathbb {R}</math>
<math display="block"> T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^{-n} \bigg)  \qquad \text{ para }~ x \in \mathbb {R}</math>
As dúas son equivalentes porque <math>(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1}) = 1</math>.

Tamén temos unha expresión con monomios {{Math|''x''<sup>''k''</sup>}} que se obtén da fórmula de Moivre:<math display="block">T_n(\cos(\theta)) = \operatorname{Re}(\cos n \theta + i \sin n \theta) = \operatorname{Re}((\cos \theta + i \sin \theta)^n),</math>onde {{Math|Re}} denota a parte real. Se expandimos a fórmula, obtemos:
<math display="block">(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \sum\limits_{j=0}^n \binom{n}{j} i^j \sin^j \theta \cos^{n-j} \theta.</math>
A parte real obtense cos sumandos dos índices pares. Decatándonos de que <math>i^{2j} = (-1)^j</math> e <math>\sin^{2j} \theta = (1-\cos^2 \theta)^j</math>, obtemos a fórmula explícita:
<math display="block">\cos n \theta = \sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2j} (\cos^2 \theta - 1)^j \cos^{n-2j} \theta,</math>
que representa:
<math display="block">T_n(x) = \sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2j} (x^2-1)^j x^{n-2j}.</math>
E á súa vez pode ser escrita como unha [[función hiperxeométrica]] {{math|<sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>}}:
<math display="block">\begin{align}
T_n(x) & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left  \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k}  \qquad\qquad \text{ para }~ n > 0 \\
\\
& = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \qquad\qquad ~ \text{ para }~ n > 0 \\
\\
& = {}_2F_1\!\left(-n,n;\tfrac 1 2; \tfrac{1}{2}(1-x)\right) \\
\end{align}</math>
e os seus inversos:<ref name=Cody>{{cita libro |first1=W. J. |last1=Cody |title=A survey of practical rational and polynomial approximation of functions |year=1970 |journal=SIAM Review |volume=12 |number=3 |pages=400–423 |doi=10.1137/1012082}}</ref><ref name=Mathar>{{cite journal |first1=R. J. |last1=Mathar |year=2006 |arxiv=math/0403344 |title=Chebyshev series expansion of inverse polynomials |journal=J. Comput. Appl. Math. |volume=196 |number=2 |pages=596–607 |doi=10.1016/j.cam.2005.10.013 |bibcode=2006JCoAM.196..596M }}</ref>

<math display="block">x^n = 2^{1-n}\mathop{{\sum}'}^n_{j=0\atop j \,\equiv\, n \pmod 2} \!\!\binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\!\;T_j(x),</math>
onde a vírgual da suma indica que para {{math|''j'' {{=}} 0}} toma a metade do valor.

Relacionado con isto  {{math|''T''<sub>''n''</sub>}} como suma de monomios con [[coeficiente binomial|coeficientes binomiais]] e potencias de 2 é
<math display="block">T_{n}\left(x\right) = \sum\limits_{m=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\left(-1\right)^{m}\left(\binom{n-m}{m} + \binom{n-m-1}{n-2m}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.</math>

{{math|''U''<sub>''n''</sub>}} tamén pode expresarse como unha [[función hiperxeométrica]]:
<math display="block">\begin{align}
U_n(x) & = \frac{\left (x+\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1} - \left (x-\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ para }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} (-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ para }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k & \text{ para }~ n > 0 \\
& = (n+1) \ {}_2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}(1-x) \right). \\
\end{align}</math>

== Propiedades ==

=== Simetría ===
<math display="block">\begin{align}
 T_n(-x) &= (-1)^n\, T_n(x)
 = \begin{cases}
 T_n(x)  \quad & ~\text{ para }~n~\text{ par} \\
 -T_n(x) \quad  & ~\text{ para }~n~\text{ impar}
 \end{cases}
\\
\\
U_n(-x) &= (-1)^n\, U_n(x)
= \begin{cases}
 U_n(x)  \quad & ~\text{ para }~n~\text{ par} \\
 -U_n(x) \quad & ~\text{ para }~n~\text{ impar}
 \end{cases}
\end{align}</math>

=== Raíces e extremos ===
Un polinomio de Chebyshev de calquera tipo con grao {{Mvar|n}} ten {{Mvar|n}} [[Polinomio|raíces simples]] diferentes, chamadas '''raíces de Chebyshev''', no intervalo [ −1, 1]. Usando a definición trigonométrica e o feito de que:<math display="block">\cos\left((2k+1)\frac{\pi}{2}\right)=0</math>pódese demostrar que as raíces de {{Mvar|T<sub>n</sub>}} son:
<math display="block"> x_k = \cos\left(\frac{\pi(k+1/2)}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.</math>
As raíces de {{mvar|U<sub>n</sub>}} son:
<math display="block"> x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.</math>
os [[Extremos dunha función|máximos e mínimos]] de {{mvar|T<sub>n</sub>}} no intervalo {{math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} son:
<math display="block"> x_k = \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right),\quad k=0,\ldots,n.</math>
Unha propiedade única dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo é que no intervalo {{Math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}} todos os [[Extremos dunha función|extremos]] teñen valores que son −1 ou 1. Tanto o primeiro como o segundo tipo de polinomio de Chebyshev teñen extremos nos puntos finais, dados por:<math display="block">\begin{align}
T_n(1) &= 1 \\
T_n(-1) &= (-1)^n \\
U_n(1) &= n+1 \\
U_n(-1) &= (-1)^n (n+1).
\end{align}</math>Os [[Extremos dunha función|extremos]] de <math>T_n(x)</math> no intervalo <math>-1 \leq x \leq 1</math> están situados en <math>n+1</math> valores de <math>x</math>. Son <math> \pm 1</math>, ou <math> \cos\left(\frac{2\pi k}{d}\right)</math> onde <math>d > 2</math>, <math>d \;|\; 2n</math>, <math>0 < k < d/2</math> e <math>(k, d) = 1</math>, é dicir, <math>k</math> e <math>d</math> son números coprimos.<ref>{{cita libro |first1=Y. Z. |last1=Gürtaş |title=Chebyshev Polynomials and the minimal polynomial of  \cos (2 \pi/n) |year=2017 |journal=American Mathematical Monthly |volume=124 |number=1 |pages=74–78 |doi=10.4169/amer.math.monthly.124.1.74}}</ref><ref name=Wolfram0>{{cita libro |first1=D. A. |last1=Wolfram |title=Factoring Chebyshev polynomials of the first and second kinds with minimal polynomials of \cos (2 \pi /d ) |year=2022 |journal=American Mathematical Monthly |volume=129 |number=2 |pages=172–176 |doi=10.1080/00029890.2022.2005391}}</ref>

=== Diferenciación e integración ===
Ao diferenciar os polinomios nas súas formas trigonométricas, pódese demostrar que:<math display="block">\begin{align}
\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\
\frac{\mathrm{d}U_n}{\mathrm{d}x} &= \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1} \\
\frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} &= n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n\, \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.
\end{align}</math>Para a derivada {{Mvar|p}} do polinomio {{Mvar|n}} nos puntos <math>
\pm 1
</math> temos<math display="block">\left.\frac{d^p T_n}{d x^p} \right|_{x = \pm 1} \!\! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}~,</math>que é de gran utilidade na resolución numérica de problemas de [[Valor propio, vector propio e espazo propio|valores propios]].

En canto á integración, a derivada primeira de {{Mvar|T<sub>n</sub>}} implica que:<math display="block">\int U_n\, \mathrm{d}x = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}</math>a maiores a relación de recorrencia para os polinomios de primeiro tipo que inclúen derivadas establece que para {{Math|''n'' ≥ 2}}:<math display="block">\int T_n\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n\,T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x\,T_n}{n - 1}.</math>Podemos manipular a última fórmula  para expresar a integral de {{Mvar|T<sub>n</sub>}} só en función dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo:<math display="block">\begin{align}
\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{n}{n^2 - 1} T_{n + 1} - \frac{1}{n - 1} T_1 T_n \\
&= \frac{n}{n^2 - 1}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,(T_{n + 1} + T_{n - 1}) \\
&= \frac{1}{2(n + 1)}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,T_{n - 1}.
\end{align}</math>Ademais, temos:<math display="block">\int_{-1}^1 T_n(x)\, \mathrm{d}x =
\begin{cases}
\frac{(-1)^n + 1}{1 - n^2} & \text{ if }~ n \ne 1 \\
0             & \text{ if }~ n = 1.
\end{cases}</math>

=== Propiedades de composición e divisibilidade ===
As definicións trigonométricas de {{Math|''T''<sub>''n''</sub>}} e {{Math|''U''<sub>''n''</sub>}} implican a composición ou propiedades de aniñamento: <math display="block">\begin{align}
T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)),\\
U_{mn-1}(x) &= U_{m-1}(T_n(x))U_{n-1}(x).
\end{align}
</math>Para {{Math|''T''<sub>''mn''</sub>}} a orde de composición pódese inverter, e conseguimos que as funcións polinómicas {{Math|''T''<sub>''n''</sub>}} sexan un semigrupo [[Conmutatividade|conmutativo]] baixo composición.

Dado que {{Math|''T''<sub>''m''</sub>(''x'')}} é divisible por {{Mvar|x}} se {{Mvar|m}} é impar, deducimos que {{Math|''T''<sub>''mn''</sub>(''x'')}} é divisible por {{Math|''T''<sub>''n''</sub>(''x'')}} se {{Mvar|m}} é impar. Alén diso, {{Math|''U''<sub>''mn''−1</sub>(''x'')}} é divisible por {{Math|''U''<sub>''n''−1</sub>(''x'')}}, e para o caso de que {{Mvar|m}} sexa par, é divisible por {{Math|''T''<sub>''n''</sub>(''x'')''U''<sub>''n''−1</sub>(''x'')}}.

=== Ortogonalidade ===
Tanto {{Mvar|T<sub>n</sub>}} como {{Mvar|U<sub>n</sub>}} forman unha secuencia de [[polinomios ortogonais]]. Os polinomios do primeiro tipo {{Mvar|T<sub>n</sub>}} son ortogonais con respecto ao peso:<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},</math>no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:<math display="block">\int_{-1}^1 T_n(x)\,T_m(x)\,\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = 
\begin{cases}
0       & ~\text{ se }~ n \ne m, \\[5mu]
\pi      & ~\text{ se }~ n=m=0, \\[5mu]
\frac{\pi}{2} & ~\text{ se }~ n=m \ne 0.
\end{cases}</math>Isto pódese probar con {{Math|1=''x'' = cos ''θ''}} e usando a identidade da definición {{Math|1=''T''<sub>''n''</sub>(cos ''θ'') = cos(''nθ'')}} .

Do mesmo xeito, os polinomios {{Mvar|U<sub>n</sub>}} son ortogonais con respecto ao peso:<math display="block">\sqrt{1-x^2}</math>no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:<math display="block">\int_{-1}^1 U_n(x)\,U_m(x)\,\sqrt{1-x^2} \,\mathrm{d}x =
\begin{cases}
0       & ~\text{ se }~ n \ne m, \\[5mu]
\frac{\pi}{2} & ~\text{ se }~ n = m.
\end{cases}</math>(Con unha constante normalizadora {{Math|{{sqrt|1 − ''x''<sup>2</sup>}} d''x''}} é  a [[Distribución en semicírculo de Wigner|distribución do semicírculo de Wigner]]).

Estas propiedades de ortogonalidade danse porque os polinomios de Chebyshev resolven as [[Ecuación de Chebyshev|ecuacións diferenciais de Chebyshev]]:<math display="block">\begin{align}
(1 - x^2)T_n'' - xT_n' + n^2 T_n &= 0, \\[1ex]
(1 - x^2)U_n'' - 3xU_n' + n(n + 2) U_n &= 0,
\end{align}</math>que son [[Problema Sturm-Liouville|ecuacións diferenciais de Sturm-Liouville]]. É unha característica xeral destas [[Ecuación diferencial|ecuacións diferenciais]] que hai un conxunto significativo de solucións ortonormais. 

O {{Mvar|T<sub>n</sub>}} tamén satisfai unha condición de ortogonalidade discreta:<math display="block">\sum_{k=0}^{N-1}{T_i(x_k)\,T_j(x_k)} =
\begin{cases}
0      & ~\text{ se }~ i \ne j, \\[5mu]
N      & ~\text{ se }~ i = j = 0, \\[5mu]
\frac{N}{2} & ~\text{ se }~ i = j \ne 0,
\end{cases} </math>onde o número {{Mvar|N}} é calquera enteiro maior que {{Math|max(''i'', ''j'')}},{{Sfn|Mason|Handscomb|2002}} e {{Math|''x''<sub>''k''</sub>}} son os {{Mvar|N}} [[Nodos de Chebyshev|nós de Chebyshev]] (ver arriba) de {{Math|''T''<sub>''N''&thinsp;</sub>(''x'')}} :<math display="block">x_k = \cos\left(\pi\,\frac{2k+1}{2N}\right) \quad ~\text{ para }~ k = 0, 1, \dots, N-1.</math>Para os polinomios {{Mvar|U<sub>n</sub>}} e calquera número enteiro {{Math|''N'' > ''i'' + ''j''}} cos mesmos nós de Chebyshev {{Math|''x''<sub>''k''</sub>}}, hai sumas similares:<math display="block">\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(x_k)\,U_j(x_k)\left(1-x_k^2\right)} =
\begin{cases}
0      & \text{ se }~ i \ne j, \\[5mu]
\frac{N}{2} & \text{ se }~ i = j,
\end{cases}</math>e sen a función de peso:<math display="block">\sum_{k=0}^{N-1}{ U_i(x_k) \, U_j(x_k) } =
\begin{cases}
0             & ~\text{ se }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\[5mu]
N \cdot (1 + \min\{i,j\}) & ~\text{ se }~ i \equiv j\pmod{2}.
\end{cases} </math>Para todo número enteiro {{Math|''N'' > ''i'' + ''j''}}, baseado nos {{Mvar|N}} ceros de {{Math|''U''<sub>''N''&thinsp;</sub>(''x'')}}:
<math display="block">y_k = \cos\left(\pi\,\frac{k+1}{N+1}\right) \quad ~\text{ para}~ k=0, 1, \dots, N-1,</math>pódese obter a suma:<math display="block">\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)(1-y_k^2)} =
\begin{cases}
0 & ~\text{ if } i \ne j, \\[5mu]
\frac{N+1}{2} & ~\text{ se } i = j,
\end{cases}</math>e de novo sen a función de peso:<math display="block">\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)} =
\begin{cases}
0 & ~\text{ se }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\[5mu]
\bigl(\min\{i,j\} + 1\bigr)\bigl(N-\max\{i,j\}\bigr) & ~\text{ se }~ i \equiv j\pmod{2}.
\end{cases}</math>

== Exemplos ==

=== Primeiro tipo ===
Os primeiros polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son {{OEIS|id=A053120}}<math display="block"> \begin{align}
T_0(x) &= 1 \\
T_1(x) &= x \\
T_2(x) &= 2x^2 - 1 \\
T_3(x) &= 4x^3 - 3x \\
T_4(x) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\
T_5(x) &= 16x^5 - 20x^3 + 5x \\
T_6(x) &= 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \\
T_7(x) &= 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \\
T_8(x) &= 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \\
T_9(x) &= 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \\
T_{10}(x) &= 512x^{10} - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2-1 \\
T_{11}(x) &= 1024x^{11} - 2816x^9 + 2816x^7 - 1232x^5 +220x^3 - 11x
\end{align}</math>

=== Segundo tipo ===
Os primeiros polinomios de Chebyshev do segundo tipo son {{OEIS|id=A053117}}<math display="block">\begin{align}
U_0(x) &= 1 \\
U_1(x) &= 2x \\
U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\
U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\
U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\
U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\
U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\
U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \\
U_8(x) &= 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \\
U_9(x) &= 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x
\end{align}</math>

== Como conxunto de bases ==
No [[Espazo Sobolev|espazo de Sobolev]] apropiado, o conxunto de polinomios de Chebyshev forma unha [[Espazo de Hilbert|base ortonormal]], de xeito que unha función no mesmo espazo pode, en {{Math|−1 ≤ ''x'' ≤ 1}}, expresarse mediante a expansión:<ref name=boyd>{{cita libro|title = Chebyshev and Fourier Spectral Methods|first = John P.|last = Boyd|isbn = 0-486-41183-4|edition = second|year = 2001|publisher = Dover|url = http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/aaabook_9500may00.pdf|9 = |data-acceso = 28 de abril de 2024|data-arquivo = 25 de maio de 2013|url-arquivo = https://web.archive.org/web/20130525234416/http://www-personal.umich.edu/~jpboyd/aaabook_9500may00.pdf|url-morta = yes}}</ref>
<math display="block">f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).</math>Os polinomios de Chebyshev forman unha base [[ortogonal]] que implica que os coeficientes {{Math|''a''<sub>''n''</sub>}} poden determinarse facilmente mediante a aplicación dun [[produto interno]]. Esta suma chámase unha '''serie de Chebyshev''' ou unha '''expansión de Chebyshev''' .

Unha serie de Chebyshev está relacionada cunha serie coseno de Fourier mediante un cambio de variables. Así  todos os teoremas, identidades, etc. que se aplican ás [[Serie de Fourier|series de Fourier]] teñen unha contraparte de Chebyshev. <ref name="boyd"></ref> Estes atributos inclúen:

A abundancia de teoremas e identidades herdados das [[Serie de Fourier|series de Fourier]] fan que os polinomios de Chebyshev sexan ferramentas importantes na [[análise numérica]]; por exemplo, son as funcións básicas de propósito xeral máis populares utilizadas no [[método espectral]],<ref name="boyd"></ref> moitas veces máis favorables que as series trigonométricas debido á converxencia xeralmente máis rápida para funcións continuas (o [[fenómeno de Gibbs]] segue sendo un problema).

=== Exemplo 1 ===
Vemos a expansión de Chebyshev de {{Math|log(1&thinsp;+&nbsp;''x'')}}: <math display="block"> \log(1+x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)~. </math>Podemos atopar os coeficientes {{Math|''a<sub>n</sub>''}} mediante a aplicación dun produto interno ou pola condición de ortogonalidade discreta. Para o produto interno:<math display="block">\int_{-1}^{+1}\,\frac{T_m(x)\,\log(1 + x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{-1}^{+1}\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x,</math>que dá:<math display="block">a_n = \begin{cases}
-\log 2      & \text{ para }~ n = 0, \\
\frac{-2(-1)^n}{n} & \text{ para }~ n > 0.
\end{cases}</math>Como alternativa, cando non se pode avaliar o produto interno da función que se está a aproximar, a condición de ortogonalidade discreta dá un resultado frecuentemente útil para obter os coeficientes ''aproximados'':<math display="block">a_n \approx \frac{\,2-\delta_{0n}\,}{N}\,\sum_{k=0}^{N-1}T_n(x_k)\,\log(1+x_k),</math>onde o {{Mvar|δ<sub>ij</sub>}} é a función [[delta de Kronecker]] e os {{Mvar|x<sub>k</sub>}} son os {{Mvar|N}} ceros de Gauss–Chebyshev de {{Math|''T''<sub>''N''&thinsp;</sub>(''x'')}} :<math display="block"> x_k = \cos\left(\frac{\pi\left(k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right) .</math>Así podemos calcular os coeficientes aproximados {{Mvar|a<sub>n</sub>}} de forma moi eficiente mediante a [[transformada do coseno discreta]]:<math display="block">a_n \approx \frac{2-\delta_{0n}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\cos\left(\frac{n\pi\left(\,k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right)\log(1+x_k).</math>

=== Exemplo 2 ===
Para poñer outro exemplo:<math display="block">\begin{align}
\left(1-x^2\right)^\alpha &= -\frac{1}{\sqrt{\pi}} \, \frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + \alpha\right)}{\Gamma(\alpha+1)} + 2^{1-2\alpha}\,\sum_{n=0} \left(-1\right)^n \, {2 \alpha \choose \alpha-n}\,T_{2n}(x) \\[1ex]
 &= 2^{-2\alpha}\,\sum_{n=0} \left(-1\right)^n \, {2\alpha+1 \choose \alpha-n}\,U_{2n}(x).
\end{align}</math>

=== Sumas parciais ===
As sumas parciais de:<math display="block">f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)</math>son moi útiles na [[Teoría da aproximación|aproximación]] de varias funcións e na resolución de [[Ecuación diferencial|ecuacións diferenciais]] (ver [[método espectral]]). Dous métodos comúns para determinar os coeficientes {{Mvar|a<sub>n</sub>}} son o uso do [[produto interno]] como no [[método de Galerkin]] e o uso da [[Método de colocación|colocación]] que está relacionada coa [[interpolación]].

Como interpolante, os {{Mvar|N}} coeficientes das {{Math|(''N''&nbsp;−&thinsp;1)}}  primeiras sumas parciales adoitan obterse nos puntos Chebyshev–Gauss–Lobatto<ref>{{Cita web |url=http://www.scottsarra.org/chebyApprox/chebyshevApprox.html |title=Chebyshev Interpolation: An Interactive Tour |access-date=2016-06-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170318214311/http://www.scottsarra.org/chebyApprox/chebyshevApprox.html |archive-date=2017-03-18}}</ref> (ou retícula de Lobatto), o que resulta nun erro mínimo e evita o fenómeno de Runge asociado a unha retícula uniforme.
Esta colección de puntos ven dada por:
<math display="block">x_k = -\cos\left(\frac{k \pi}{N - 1}\right); \qquad k = 0, 1, \dots, N - 1.</math>

== Familias de polinomios relacionados cos polinomios de Chebyshev ==
Moitas veces son usados os polinomios denotados como <math>C_n(x)</math> e <math>S_n(x)</math> relacionados cos de Chebyshev do seguinte modo: <math display="block">C_n(x) = 2T_n\left(\frac{x}{2}\right),\qquad S_n(x) = U_n\left(\frac{x}{2}\right)</math>{{OEIS|id=A049310}}
e satisfai:<math display="block">C_n(x) = S_n(x) - S_{n-2}(x).</math>AF Horadam chamou aos polinomios <math>C_n(x)</math> '''Polinomios de Vieta–Lucas''' con nomenclatura <math>v_n(x)</math> e chamou aos <math>S_n(x)</math> '''Polinomios de Vieta–Fibonacci''' con nomenclatura {{Nowrap|<math>V_n(x)</math>.}} As listas dos dous conxuntos de polinomios aparecen na ''Opera Mathematica'' [[François Viète|de Viète]], capítulo IX, teoremas VI e VII.<ref>{{cita libro|last=Viète|first=François|title=Francisci Vietae Opera mathematica : in unum volumen congesta ac recognita / opera atque studio Francisci a Schooten|year=1646|publisher=Bibliothèque nationale de France|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d.pdf}}</ref> Os polinomios de Vieta–Lucas e Vieta–Fibonacci do argumento real son, ata unha potencia de <math>i</math> e un desprazamento de índice no caso deste último, igual aos polinomios de Lucas e Fibonacci {{Math|''L''<sub>''n''</sub>}} e {{Math|''F''<sub>''n''</sub>}} de argumento imaxinario.

== Notas ==
{{reflist|30em}} 

== Véxase tamén ==

=== Bibliografía ===
* {{cita libro
 |last1=Dette |first1=Holger
 |year=1995
 |title= A note on some peculiar nonlinear extremal phenomena of the Chebyshev polynomials
 |journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society
 |volume=38 |number=2 |pages=343–355
 |arxiv=math/9406222 |doi=10.1017/S001309150001912X
 }}
* {{cita libro
 |first1=David |last1=Elliott
 |year=1964
 |title=The evaluation and estimation of the coefficients in the Chebyshev Series expansion of a function
 |journal=Math. Comp.
 | volume=18 | number=86 | pages=274–284
 |mr=0166903
 |doi=10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 
}}
*{{cita libro
 | last1=Eremenko | first1=A.
 |last2=Lempert  |first2=L.
 |year =1994
 | url=http://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/lempert.pdf
 |doi=10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1
 |mr=1207536
 |title=An Extremal Problem For Polynomials
 | journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 |volume=122 |number=1 |pages=191–193
 }}
*{{cita libro
 | first1=M. A. | last1=Hernandez
 | title=Chebyshev's approximation algorithms and applications
 | year=2001
 | journal=Computers & Mathematics with Applications
 | volume=41 | issue=3–4 |pages=433–445
 | doi=10.1016/s0898-1221(00)00286-8
 }}
*{{cita libro
 |first1=J. C. |last1=Mason
 |title=Rational Approximation and Interpolation
 |year=1984
 |chapter=Some properties and applications of Chebyshev polynomial and rational approximation
 |series=Lecture Notes in Mathematics
 |volume=1105 |pages=27–48
 |doi=10.1007/BFb0072398  |isbn=978-3-540-13899-0
}}
*{{cita libro
 |last1=Mason |first1=J. C.
 |last2=Handscomb |first2=D.C.
 |year=2002
 |title=Chebyshev Polynomials
 |publisher=Chapman and Hall/CRC
 |isbn=978-1-4200-3611-4
 |doi=10.1201/9781420036114
}}

*{{cita libro
 | first1= Richard J. | last1=Mathar
 | year=2006
 | title =Chebyshev series expansion of inverse polynomials
 | journal=Journal of Computational and Applied Mathematics
 | volume=196 | issue=2 | pages=596–607
 | doi=10.1016/j.cam.2005.10.013 
 | arxiv=math/0403344 | bibcode=2006JCoAM.196..596M
 }}
* {{cita web
 |last=Remes |first=Eugene
 |title= On an Extremal Property of Chebyshev Polynomials
|url=https://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/remeztrans.pdf
}}
*{{cita libro
 |first1=Herbert E. |last1=Salzer
 | year=1976
 | title=Converting interpolation series into Chebyshev series by recurrence formulas
 |journal=Mathematics of Computation
 | volume=30|number=134 | pages=295–302
 |doi=10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 |mr=0395159
}}
*{{cita libro
 | first1=R.E. | last1=Scraton
 | year=1969
 | title=The Solution of integral equations in Chebyshev series
 | journal=Mathematics of Computation
 | volume=23 | number=108 |pages=837–844
 | mr=0260224 | doi=10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4  
}}
*{{cita libro
 |first1=Lyle B. |last1=Smith
 |year=1966
 |title=Computation of Chebyshev series coefficients
 |id=Algorithm 277
 |journal=Comm. ACM
 |volume=9 | number=2 | pages=86–87
 |doi=10.1145/365170.365195
 }}

=== Outros artigos ===
*[[Filtro de Chebyshev]]
*[[Polinomios de Hermite]]
*[[Chebfun|O sistema Chebfun]]
*[[Transformada discreta de Chebyshev]]
*[[Algoritmo de Clenshaw]]

=== Ligazóns externas ===
 
* {{MathWorld
 |title=Chebyshev polynomial[s] of the first kind
 |urlname=ChebyshevPolynomialoftheFirstKind
}}
* {{cita web
 |first=John H. |last=Mathews
 |year=2003
 |title=Module for Chebyshev polynomials
 |series=Course notes for Math 340 ''Numerical Analysis'' & Math 440 ''Advanced Numerical Analysis''
 |publisher=California State University
 |place=Fullerton, CA
 |department=Department of Mathematics
 |url=http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ChebyshevPolyMod.html
|df=dmy-all
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070529221407/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/ChebyshevPolyMod.html
 |archive-date=2007-05-29
}}
* {{cita web
 |title=Chebyshev interpolation: An interactive tour
 |publisher=Mathematical Association of America (MAA)
 |url=http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/4/vol6/Sarra/Chebyshev.html
 |postscript=none
}} – includes illustrative [[Java applet]].
* {{cita web
 |title=Numerical computing with functions
 |url=http://www.chebfun.org
 |website=The Chebfun Project 
}}
* {{cita web
 |title=Is there an intuitive explanation for an extremal property of Chebyshev polynomials?
 |website=Math Overflow
 |id=Question&nbsp;25534
 |url=https://mathoverflow.net/q/25534
}}
* {{cita web
 |title=Chebyshev polynomial evaluation and the Chebyshev transform
 |website=Boost
 |series=Math
 |url=https://www.boost.org/doc/libs/release/libs/math/doc/html/math_toolkit/sf_poly/chebyshev.html 
}}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Polinomios]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
[[Categoría:Teoría de números]]