Ver o código fonte de «Polinomio»

{{1000 artigos icona título|materia=Matemáticas}}
Un '''polinomio''' é unha [[expresión matemática]] formada por indeterminados (tamén chamados [[Variábel|variables]]) e [[Coeficiente|coeficientes]], que implica só as operacións de [[suma]], [[Subtracción|resta]], [[multiplicación]] e [[Potenciación|potencias enteiras positivas]] das variables. Un exemplo de polinomio dun único {{Math|''x''}} indeterminado é {{Math|''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 7}}. Un exemplo con tres variables é {{Math|''x''<sup>3</sup> + 2''xyz''<sup>2</sup> − ''yz'' + 1}}.

== Etimoloxía ==
A palabra ''polinomio'' [[Híbrido (lingüística)|une dúas raíces diversas]]: o grego ''poly'', que significa "moitos", e o latín ''nomen'', ou "nome".  A palabra ''polinomio'' utilizouse por primeira vez no século XVII.

== Notación e terminoloxía ==
[[Ficheiro:Polynomialdeg3.svg|miniatura| A [[Gráfica dunha función|gráfica]] dunha función polinómica de grao 3]]


Un polinomio ''P'' na variable ''x'' denótase comunmente  ''P'' ou ''P''(''x''). Cando non é necesario salientar o nome da variable, moitas fórmulas son moito máis sinxelas e de fácil lectura se non aparecen os nomes das variables.


Podemos escribir  ''P''(''a'') para asignar o valor {{Mvar|a}} para a variable {{Mvar|x}}. Ese valor {{Mvar|a}} pode pertencer a calquera dominio onde se definan a suma e a multiplicación (é dicir, calquera [[Anel (álxebra)|anel]]). En particular, se ''a'' é un polinomio, entón ''P''(''a'') tamén é un polinomio.

== Definición ==
Unha ''expresión polinómica'' é unha expresión que se pode construír a partir de [[Constante (matemáticas)|constantes]] e símbolos chamados ''variables'' ou ''indeterminados'' mediante a [[suma]], a [[multiplicación]] e a [[Potenciación|exponenciación]] a unha potencia [[Número natural|enteira non negativa]]. Normalmente as constantes son [[Número|números]], pero poden ser calquera expresión que non involucre os indeterminados e representen obxectos matemáticos que se poden sumar e multiplicar. Considérase que dúas expresións polinómicas definen o mesmo ''polinomio'' se se poden transformar, unha a outra, aplicando as propiedades habituais de [[Conmutatividade|conmutividade]], [[Asociatividade (álxebra)|asociatividade]] e [[distributividade]] de suma e multiplicación. Por exemplo <math>(x-1)(x-2)</math> e <math>x^2-3x+2</math> son dúas expresións polinómicas que representan o mesmo polinomio; así, un ten a igualdade <math>(x-1)(x-2)=x^2-3x+2</math> .

Un polinomio nunha única {{Math|''x''}} indeterminada sempre a pordemos reescribir na forma<math display="block">a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,</math>onde <math>a_0, \ldots, a_n</math> son constantes que se denominan ''coeficientes'' do polinomio, e <math>x</math> é o indeterminado.<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Polynomial|url=https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html|access-date=2020-08-28|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> Calquera valor pode ser substituído por <math>x</math>. A correspondencia que asocia o resultado desta substitución ao valor substituído é unha [[función]], chamada ''función polinómica''.

Isto pódese expresar de forma máis concisa usando a  [[sumatorio|notación de suma]]:<math display="block">\sum_{k=0}^n a_k x^k</math>

== Clasificación ==
O expoñente dun indeterminado nun termo chámase grao dese indeterminado nese termo; se hai varios indeterminados o grao do termo é a suma dos graos dos indeterminados nese termo, e o grao dun polinomio é o maior grao de calquera termo con coeficiente distinto de cero.<ref name=":2">{{Cita web|title=Polynomials {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/polynomials/|access-date=2020-08-28|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> Dado que {{Math|''x'' {{=}} ''x''<sup>1</sup>}}, o grao dun indeterminado sen expoñente  é un.

Un termo sen indeterminados e un polinomio sen indeterminados chámanse, respectivamente, termo constante e '''polinomio constante'''. O grao dun termo constante e dun polinomio constante distinto de cero é 0. 

Por exemplo:<math> -5x^2y </math>
é un termo con coeficiente -5, indeterminados {{Mvar|x}} e {{Mvar|y}}, o grao de  {{Mvar|x}} é 2 e o grao de {{Mvar|y}} é 1, por tanto o grao do termo é 3.  

Outro exemplo:
<math display="block">\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{termo}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{termo}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{termo}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}},</math> consta de tres termos: o primeiro é o grao dous, o segundo é o grao un e o terceiro é o grao cero.

Aos polinomios de pequeno grao déronselles nomes específicos. Un polinomio de grao cero é un ''polinomio constante'', ou simplemente unha ''constante''. Os polinomios de grao un, dous ou tres son respectivamente ''polinomios lineares, [[Función cadrática|polinomios cadráticos]]'' e ''polinomios cúbicos''.<ref name=":2"></ref>

No caso de polinomios en máis dun indeterminado, un polinomio denomínase ''homoxéneo'' de {{Nowrap|grao {{math|''n''}}}} se ''todos'' os seus termos distintos de cero teñen {{Nowrap|grao {{math|''n''}}}}.  Por exemplo, {{Math|''x''<sup>3</sup>''y''<sup>2</sup> + 7''x''<sup>2</sup>''y''<sup>3</sup> − 3''x''<sup>5</sup>}} é homoxéneo de grao 5.

A [[Conmutatividade|lei conmutativa]] da suma pódese usar para reorganizar os termos en calquera orde preferida.

Dous termos cos mesmos indeterminados elevados ás mesmas potencias pódense sumar mediante a [[Distributividade|lei distributiva]], nun único termo cuxo coeficiente é a suma dos coeficientes dos termos sumados.  Os polinomios pódense clasificar polo número de termos con coeficientes distintos de cero, de xeito que un polinomio dun termo chámase [[monomio]],{{Efn|Algúns autores usan "monomio" en vez de "[[polinomio mónico|mónico]]". Ver {{cita libro |first=Anthony W. |last=Knapp |title=Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra |page=457 |year=2007 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4522-9}}}} un polinomio de dous termos chámase [[binomio]] e un polinomio de tres termos chámase un [[trinomio]].

Un '''polinomio real''' é un polinomio con coeficientes [[Número real|reais]]. Do mesmo xeito, un '''polinomio enteiro''' é un polinomio con coeficientes [[Número enteiro|enteiros]], e un '''polinomio complexo''' é un polinomio con coeficientes [[Número complexo|complexos]] .

Un polinomio nun indeterminado chámase '''polinomio univariado''', un polinomio en máis dun indeterminado chámase '''polinomio multivariado'''. Un polinomio con dous indeterminados chámase '''polinomio bivariado'''.<ref name=":1"></ref>

== Operacións ==

=== Suma e resta ===
Os polinomios pódense sumar usando a [[Asociatividade (álxebra)|lei asociativa]] da suma e reordenando usando a [[Conmutatividade|lei conmutativa]]. <ref name="Edwards-1995-p47">{{cita libro|last=Edwards |first=Harold M. |title=Linear Algebra |publisher=Springer |year=1995 |isbn=978-0-8176-3731-6 |page=47}}</ref><ref>{{cita libro|last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459}}</ref> Por exemplo, se temos
<math display="block"> P = 3x^2 - 2x + 5xy - 2.</math>
<math display="block"> Q = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 .</math>
Daquela a suma
<math display="block">P + Q = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 - 3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 </math>
pódese reordenar e reagrupar como
<math display="block">P + Q = (3x^2 - 3x^2) +  (- 2x + 3x) + 5xy + 4y^2 + (8 - 2) </math>
E simplificarse finalmente a 
<math display="block">P + Q = x + 5xy + 4y^2 + 6.</math>

Cando se suman polinomios, o resultado é outro polinomio.

A resta faise de modo similar.

=== Multiplicación ===
Os polinomios tamén se poden multiplicar.  Cada termo dun polinomio multiplícase por cada termo do outro.<ref>{{cita libro|last=Salomon |first=David |title=Coding for Data and Computer Communications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-0-387-23804-3 |page=459}}</ref> Por exemplo, se temos<math display="block">\begin{align}
 \color{Red} P &\color{Red}{= 2x + 3y + 5} \\
 \color{Blue} Q &\color{Blue}{= 2x + 5y + xy + 1}
\end{align}</math>

daquela
<math display="block">\begin{array}{rccrcrcrcr}
{\color{Red}{P}} {\color{Blue}{Q}} & {{=}}&&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{2x}})
&+&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&({\color{Red}{2x}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&({\color{Red}{2x}}\cdot{\color{Blue}{1}})
\\&&+&({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{2x}})&+&({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&({\color{Red}{3y}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&
({\color{Red}{3y}}\cdot{\color{Blue}{1}})
\\&&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{2x}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{5y}})&+&
({\color{Red}{5}}\cdot {\color{Blue}{xy}})&+&({\color{Red}{5}}\cdot{\color{Blue}{1}})
\end{array}</math>operando temos<math display="block">\begin{array}{rccrcrcrcr}
PQ & = && 4x^2 &+& 10xy &+& 2x^2y &+& 2x \\
&&+& 6xy &+& 15y^2 &+& 3xy^2 &+& 3y \\
&&+& 10x &+& 25y &+& 5xy &+& 5.
\end{array}</math>A combinación de termos similares produce
<math display="block">\begin{array}{rcccrcrcrcr}
PQ & = && 4x^2 &+&( 10xy + 6xy + 5xy ) &+& 2x^2y &+& ( 2x + 10x ) \\
&& + & 15y^2 &+& 3xy^2 &+&( 3y + 25y )&+&5
\end{array}</math>

que se pode simplificar a
<math display="block">PQ = 4x^2 + 21xy + 2x^2y + 12x + 15y^2 + 3xy^2 + 28y + 5.</math>

O produto de polinomios é sempre un polinomio.<ref name="Barbeau-2003-pp1-2">{{Cita Harvard sen parénteses|Barbeau|2003|p=[https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA1 1]–2}}</ref>

=== Composición ===
Dado un polinomio <math>f</math> dunha soa variable e outro polinomio {{Mvar|g}} de calquera número de variables, a [[Composición de funcións|composición]] <math>f \circ g</math> obtense substituíndo cada copia da variable do primeiro polinomio polo segundo polinomio. <ref name="Barbeau-2003-pp1-2" /> Por exemplo, se <math>f(x) = x^2 + 2x</math> e <math>g(x) = 3x + 2</math> entón<math display="block"> (f\circ g)(x) = f(g(x)) = (3x + 2)^2 + 2(3x + 2).</math>A composición de dous polinomios é outro polinomio.<ref>{{Cita libro|last=Kriete|first=Hartje|url=https://books.google.com/books?id=HwqjxJOLLOoC&q=The+composition+of+two+polynomials+is+always+another+polynomial.&pg=PA159|title=Progress in Holomorphic Dynamics|date=1998-05-20|publisher=CRC Press|isbn=978-0-582-32388-9|pages=159|language=en|quote=This class of endomorphisms is closed under composition,}}</ref>

=== División ===
Normalemtne a división dun polinomio por outro non é un polinomio. Estas divisións son unha familia máis xeral de obxectos, chamadas ''[[Fracción racional|fraccións racionais]]'', ''expresións racionais'' ou ''[[Función racional|funcións racionais]]'', dependendo do contexto. <ref>{{cita libro|last1 = Marecek | first1 = Lynn | last2 = Mathis | first2 = Andrea Honeycutt | title = Intermediate Algebra 2e | date = 6 May 2020 | publisher = [[OpenStax]] <!-- | location = Houston, Texas -->|  url = https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e | at = §7.1}}</ref>  Isto é análogo ao feito de que a división de dous [[Número enteiro|enteiros]] é un [[número racional]], non necesariamente un enteiro.<ref>{{Cita libro|last1=Haylock|first1=Derek|title=Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers|last2=Cockburn|first2=Anne D.|date=2008-10-14|publisher=SAGE|isbn=978-1-4462-0497-9|pages=49|quote=We find that the set of integers is not closed under this operation of division.}}</ref><ref name = openstax></ref>Por exemplo, a fracción {{Math|1/(''x''<sup>2</sup> + 1)}} non é un polinomio e non se pode escribir como unha suma finita de potencias da variable {{Mvar|x}}.

Con polinomios dunha variable podemos realizar a [[División euclidiana de polinomios|división de Euclides de polinomios]], xeneralizando a [[Algoritmo de Euclides|división de Euclides]] de números enteiros. {{Efn|Este parágrafo asume que os coeficientes son dun [[corpo (matemáticas)|corpo]].}} Esta noción da división {{Math|''a''(''x'')/''b''(''x'')}} dá como resultado dous polinomios, un ''cociente'' {{Math|''q''(''x'')}} e un ''resto'' {{Math|''r''(''x'')}}, tal que {{Math|''a'' {{=}} ''b'' ''q'' + ''r''}} e {{Math|grao(''r'') < grao(''b'')}}. O cociente e o resto pódense calcular mediante calquera dos varios algoritmos, incluíndo a [[división polinómica longa]] e a [[división sintética]].<ref>{{cita libro |first1=Peter H. |last1=Selby |first2=Steve |last2=Slavin |title=Practical Algebra: A Self-Teaching Guide |url=https://archive.org/details/practicalalgebra00selb_1 |date=1991 |publisher=Wiley |isbn=978-0-471-53012-1 |edition=2nd}}</ref>

Cando o denominador {{Math|''b''(''x'')}} é [[Polinomio mónico|mónico]] e tamén linear, é dicir, {{Math|1=''b''(''x'') = ''x'' − ''c''}} para algunha constante {{Mvar|c}}, entón o [[Teorema do resto|teorema do resto polinómico]] afirma que o resto da división de {{Math|''a''(''x'')}} por {{Math|''b''(''x'')}} é a [[Polinomio|avaliación]] {{Math|''a''(''c'')}}. <ref name="openstax">{{Cita Harvard sen parénteses|Marecek|Mathis|2020}}</ref> Neste caso, o cociente pódese calcular mediante a [[regra de Ruffini]], un caso especial de división sintética.<ref>{{Cita web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Ruffini's Rule|url=https://mathworld.wolfram.com/RuffinisRule.html|access-date=2020-07-25|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

=== Factorización ===
Todos os polinomios con coeficientes nun [[dominio de factorización única]] (por exemplo, os números enteiros ou un [[Corpo (álxebra)|corpo]]) tamén teñen unha forma factorizada na que o polinomio se escribe como un produto de polinomios irredutibles e unha constante. Por exemplo, a forma factorizada de<math display="block"> 5x^3-5</math>é, no corpo dos enteiros e os reais<math display="block">5(x - 1)\left(x^2 + x + 1\right)</math>e nos complexos<math display="block"> 5(x - 1)\left(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right)</math>

=== Cálculo ===

Calcular [[derivada|derivadas]] e integrais de polinomios é particularmente sinxelo, en comparación con outros tipos de funcións.
A derivada do polinomio <math display="block">P = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i</math> con respecto a {{mvar|x}} é o polinomio
<math display="block"> n a_n x^{n - 1} + (n - 1)a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + 2 a_2 x + a_1 = \sum_{i =1}^n i a_i x^{i-1}.</math>
Do mesmo xeito, a [[integral|integral ou antiderivada]] xeral  de <math>P</math> é
<math display="block"> \frac{a_n x^{n + 1}}{n + 1} + \frac{a_{n - 1} x^{n}}{n} + \dots + \frac {a_2 x^3}{3} + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + c = c + \sum_{i = 0}^n \frac{a_i x^{i + 1}} {i + 1}</math>
onde {{mvar|c}} é unha constante arbitraria. Por exemplo, a integral de {{math|''x''<sup>2</sup> + 1}} ten a forma {{math|{{sfrac|3}}''x''<sup>3</sup> + ''x'' + ''c''}}.

Para polinomios cuxos coeficientes proveñen de configuracións máis abstractas (por exemplo, se os coeficientes son números enteiros [[aritmética modular|módulo]] algún [[número primo]] {{math|''p''}}, ou elementos dun anel), a fórmula da derivada aínda se pode interpretar formalmente, entendendo que o coeficiente {{math|''ka''<sub>''k''</sub>}} significa a suma de {{mvar| k}} copias de {{math|''a''<sub>''k''</sub>}}. Por exemplo, sobre os números enteiros módulo {{math|''p''}}, a derivada do polinomio {{math|''x''<sup>''p''</sup> + ''x''}} é o polinomio constante {{math|1}}.<ref name=Barbeau-2003-pp64-65>{{harvnb|Barbeau|2003|pp=[https://books.google.com/books?id =CynRMm5qTmQC&pg=PA64 64]–5}}</ref>
==Funcións polinómicas==
Unha función polinómica é unha función que se pode definir avaliando un polinomio.

Toda función polinómica é [[función continua|continua]], [[función suave|suave]] e [[función enteira|enteira]].

{{anchor|avaliación}}A [[avaliación polinómica|'''avaliación''']] dun polinomio é o cálculo da función polinómica correspondente; é dicir, a avaliación consiste en substituír un valor numérico en cada indeterminado e realizar as multiplicacións e sumas indicadas.
=== Gráficos ===
<div class="floatright">
<gallery perrow="2" widths="120px" heights="120px">
Ficheiro:Algebra1_fnz_fig037_pc.svg|Polinomios de grao 0:<br /><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} 2}}</small>
Ficheiro:Fonction_de_Sophie_Germain.png|Polinomio de grao 1:<br /><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} 2''x'' + 1}}</small>
Ficheiro:Polynomialdeg2.svg|Polinomios de grao 2:<br /><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 2}}<br />{{Math|{{=}} (''x'' + 1)(''x'' − 2)}}</small>
Ficheiro:Polynomialdeg3.svg|Polinomios de grao 3:<br/><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup>/4 + 3''x''<sup>2</sup>/4 − 3''x''/2 − 2}}{{Math|{{=}} 1/4 (''x'' + 4)(''x'' + 1)(''x'' − 2)}}</small>
Ficheiro:Polynomialdeg4.svg|Polinomios de grao 4:<br/><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} 1/14 (''x'' + 4)(''x'' + 1)(''x'' − 1)(''x'' − 3) <br/>+ 0.5}}</small>
Ficheiro:Quintic_polynomial.svg|Polinomios de grao 5:<br/><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} 1/20 (''x'' + 4)(''x'' + 2)(''x'' + 1)(''x'' − 1)<br/>(''x'' − 3) + 2}}</small>
Ficheiro:Sextic_Graph.svg|Polinomios de grao 6:<br/><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} 1/100 (''x''<sup>6</sup> − 2''x'' <sup>5</sup> − 26''x''<sup>4</sup> + 28''x''<sup>3</sup>}}{{Math|+ 145''x''<sup>2</sup> − 26''x'' − 80)}}</small>
Ficheiro:Septic_graph.svg|Polinomios de grao 7:<br/><small>{{Math|''f''(''x'') {{=}} (''x'' − 3)(''x'' − 2)(''x'' − 1)(''x'')(''x'' + 1)(''x'' + 2)}}{{Math|(''x'' + 3)}}</small>
</gallery>
</div>Unha función polinómica non constante [[Infinito|tende ao infinito]] cando a variable aumenta indefinidamente (en [[valor absoluto]]). Se o grao é superior a un, a gráfica non ten [[asíntota]] ningunha, nese caso ten dúas [[Asíntota|ramas parabólicas]] con dirección vertical (unha rama para ''x'' positivo e outra para ''x'' negativo).

== Ecuacións ==
Unha ''ecuación polinómica'', tamén chamada ''ecuación alxébrica'', é unha [[ecuación]] da forma <ref>{{Cita libro|last=Proskuryakov |first=I.V. |chapter=Algebraic equation |editor=Hazewinkel, Michiel |editor-link=Michiel Hazewinkel |title=Encyclopaedia of Mathematics |volume=1 |publisher=Springer |year=1994 |isbn=978-1-55608-010-4 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=PE1a-EIG22kC&pg=PA88}}</ref><math display="block">a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0.</math>Por exemplo,<math display="block"> 3x^2 + 4x - 5 = 0 </math>Unha ecuación polinómica contrasta cunha ''[[Identidade (matemáticas)|identidade]] polinómica'' como {{Math|(''x'' + ''y'')(''x'' − ''y'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup>}}, onde ambas as expresións representan o mesmo polinomio en diferentes formas e, como consecuencia, calquera avaliación de ambos os membros dá unha igualdade válida.

En [[álxebra]] elemental, ensínanse métodos como a [[fórmula cadrática]] para resolver todas as ecuacións polinómicas de primeiro e segundo grao nunha soa variable. Tamén pódense usar algoritmos de busca de raíces para atopar [[Análise numérica|aproximacións numéricas]] das raíces dunha expresión polinómica de calquera grao.

O número de solucións dunha ecuación polinómica con coeficientes reais non pode exceder o grao, e é igual ao grao cando as solucións [[Número complexo|complexas]] se contan coa súa multiplicidade. Este feito chámase [[teorema fundamental da álxebra]].

Un número {{Math|''a''}} é unha raíz dun polinomio {{Math|''P''}} se e só se o [[Polinomio|polinomio linear]] {{Math|''x'' − ''a''}} divide {{Math|''P''}}, é dicir, se existe outro polinomio {{Math|''Q''}} tal que {{Math|1=''P'' = (''x'' − ''a'') Q}}. Pode ocorrer que unha potencia (maior que {{Math|1}}) de {{Math|''x'' − ''a''}} divida {{Math|''P''}} ; neste caso, {{Math|''a''}} é unha ''raíz múltiple'' de {{Math|''P''}}, e se non {{Math|''a''}} é unha '''raíz simple''' de {{Math|''P''}}. Se {{Math|''P''}} é un polinomio distinto de cero, existe a maior potencia {{Math|''m''}} tal que {{Math|(''x'' − ''a'')<sup>''m''</sup>}} divide {{Math|''P''}}, que se chama ''multiplicidade'' de {{Math|''a''}} como raíz de {{Math|''P''}}. O número de raíces dun polinomio {{Math|''P''}} distinto de cero, contado coas súas respectivas multiplicidades, non pode exceder o grao de {{Math|''P''}},<ref>{{cita libro |last=Leung |first=Kam-tim |title=Polynomials and Equations |publisher=Hong Kong University Press |year=1992 |isbn=9789622092716 |page=134 }}</ref> e é igual a este grao se se consideran todas as raíces [[Número complexo|complexas]] (isto é unha consecuencia do [[teorema fundamental da álxebra]]). Os coeficientes dun polinomio e as súas raíces están relacionados mediante as [[fórmulas de Viète]].

En 1824, [[Niels Henrik Abel]] demostrou o resultado de que hai ecuacións de grao 5 cuxas solucións non se poden expresar mediante unha fórmula (finita), que só implican operacións aritméticas e radicais (ver [[teorema de Abel-Ruffini]]). En 1830, [[Évariste Galois]] demostrou que a maioría das ecuacións de grao superior a catro non se poden resolver mediante radicais, e demostrou que para cada ecuación pódese decidir se é resoluble por radicais e, se é así, resolvela. Este resultado marcou o inicio da [[teoría de Galois]] e [[Teoría de grupos|da teoría de grupos]], dúas ramas importantes da [[álxebra]] moderna.

Cando non hai unha expresión alxébrica para as raíces, e cando tal expresión alxébrica existe mais é demasiado complicada para ser útil, a única forma de resolvela é calcular [[Análise numérica|aproximacións numéricas]] das solucións.<ref>{{cita libro |last=McNamee |first=J.M. |title=Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1 |publisher=Elsevier |year=2007 |isbn=978-0-08-048947-6}}</ref>  (Ver ''[[Algoritmo de busca de raíces]])''.

Para polinomios con máis dun indeterminado, as combinacións de valores das variables para as que a función polinómica toma o valor cero chámanse xeralmente ''ceros'' en lugar de "raíces". (Ver [[Sistema de ecuacións polinómicas]]).

O caso especial no que todos os polinomios son de grao un chámase [[Sistema de ecuacións lineais|sistema de ecuacións lineares]], para o cal existe outra gama de [[Sistema de ecuacións lineais|métodos de solución]] diferentes, incluíndo a [[Eliminación de Gauss|eliminación clásica de Gauss]].

Unha ecuación polinómica na que só se queren as solucións que son [[Número enteiro|enteiros]] chámase [[ecuación diofantiana]]. Resolver ecuacións diofantianas é xeralmente unha tarefa moi difícil. Probouse que non pode haber ningún [[algoritmo]] xeral para resolvelas, nin sequera para decidir se o conxunto de solucións está baleiro (ver o [[décimo problema de Hilbert]]). Algúns dos problemas máis famosos que se resolveron durante os últimos cincuenta anos están relacionados coas ecuacións diofántianas, como o [[Último Teorema de Fermat|último teorema de Fermat]].

== Notas ==
{{reflist|30em}}
{{Reflist|group=lower-alpha}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}} 
=== Bibliografía ===
* {{cita libro |last=Barbeau |first=E.J. |title=Polynomials |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-40627-5 |url=https://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC}}
* {{cita libro |editor-last=Bronstein |editor-first=Manuel |title=Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications |publisher=Springer |year=2006 |isbn=978-3-540-27357-8 |url=https://books.google.com/books?id=aIlSmBV3yf8C|display-editors=etal}}
* {{cita libro |last1=Cahen |first1=Paul-Jean |last2=Chabert |first2=Jean-Luc |title=Integer-Valued Polynomials |publisher=American Mathematical Society |year=1997 |isbn=978-0-8218-0388-2 |url=https://books.google.com/books?id=AlAluH5is6AC}}
* {{cita libro |last1=Horn |first1=Roger A. |last2=Johnson |first2=Charles R. |title=Matrix Analysis |url=https://archive.org/details/matrixanalysis0000horn |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-38632-6 |year=1990}}.
* {{cita libro |last=Leung |first=Kam-tim |title=Polynomials and Equations |publisher=Hong Kong University Press |year=1992 |isbn=9789622092716 |url=https://books.google.com/books?id=v5uXkwIUbC8C|display-authors=etal}}
* {{cita libro |last=Mayr |first=K. |title=Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen |journal=Monatshefte für Mathematik und Physik |volume=45 |year=1937 |pages=280–313 |doi=10.1007/BF01707992 }}
* {{cita libro| last1 = McCoy | first1 = Neal H. | title = Introduction To Modern Algebra, Revised Edition | location = Boston | publisher = [[Allyn and Bacon]] | year = 1968 | lccn = 68015225 }}
* {{cite book |last=Prasolov |first=Victor V. |title=Polynomials |publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-3-642-04012-2 |url=https://books.google.com/books?id=qIJPxdwSqlcC}}
* {{cita libro |last=Sethuraman |first=B.A. |chapter=Polynomials |title=Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra Via Geometric Constructibility |publisher=Springer |year=1997 |isbn=978-0-387-94848-5 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=yWnTIqmUOFgC&pg=PA119 |url=https://archive.org/details/ringsfieldsvecto0000seth }}
* {{cita libro |doi=10.1007/978-3-030-75051-0_6|chapter=Polynomial Expressions |title=Elements of Mathematics |series=Undergraduate Texts in Mathematics |year=2021 |last1=Toth |first1=Gabor |pages=263–318 |isbn=978-3-030-75050-3}}
* {{cita libro |last=Umemura |first=H. |chapter=Resolution of algebraic equations by theta constants |editor-first=David |editor-last=Mumford |title=Tata Lectures on Theta II: Jacobian theta functions and differential equations |chapter-url=https://books.google.com/books?id=xaNCAAAAQBAJ&pg=PA261 |date=2012 |orig-year=1984 |publisher=Springer |isbn=978-0-8176-4578-6 |pages=261–}}
* {{cita libro
 | last1 = Varberg | first1 = Dale E.
 | last2 = Purcell | first2 = Edwin J.
 | last3 = Rigdon | first3 = Steven E.
 | title = Calculus
 | url = https://archive.org/details/isbn_9780558751982 | year = 2007
 | publisher = [[Pearson Prentice Hall]]
 | edition = 9th
 | isbn = 978-0131469686
}}
* {{cita libro |first=F. |last=von Lindemann |title=Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen |journal=Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen |volume=1884 |issue= |pages=245–8 |year=1884 |url=https://eudml.org/doc/180024}}
* {{cita libro |first=F. |last=von Lindemann |title=Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. II |journal=Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen |volume=1892 |issue= |pages=245–8 |year=1892 |url=https://eudml.org/doc/180353}}

=== Outros artigos ===
* [[:en:List of polynomial topics]]
=== Ligazóns externas ===
* {{springer|title=Polynomial|author-last1 = Markushevich| author-first1 = A.I. | oldid = 36519}}
* {{cita web |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&pf=1 |title=Euler's Investigations on the Roots of Equations |data-acceso=13 de maio de 2024 |data-arquivo=22 de maio de 2011 |url-arquivo=https://web.archive.org/web/20110522161001/http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&pf=1 |url-morta=yes }}

{{control de autoridades}}
[[Categoría:Álxebra]]
[[Categoría:Polinomios]]
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]